特殊值法應用八型

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目前，全國各地特別強調通性通法，這無疑是正確的，但在強調通性通法的同時，不應該忽視特性特法，通性通法與特性特法是對立統(tǒng)一的，是相互依存的，通性通法是相對于特性特法而言的，無特性特法則也無通性通法.故堅持特性特法的研究是有一定道理的.2012年高考天津卷文科第（4）題、遼寧卷理科第（11）題、全國大綱卷文科第（6）題等不少試題的求解都用到了取特殊值的方法，或者說用取特殊值的方法收效較好.

在解某些數(shù)學問題時，選擇適當?shù)牧?，賦以一些特殊值，再分別進行研究；或將一些特殊值帶入給定的表達式，以解決給定的問題；或將一般問題特殊化，復雜問題簡單化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求結論，探索解決問題的途徑，這種方法可稱為特殊值法，下面我們分八種類型談談特殊值法的應用.

一、解選擇題

例1 多項式（x+1）（x+2）…（x+n）（n≥2，n∈N）乘開整理后，xn-2項的系數(shù)為（ ）.

二、待定系數(shù)

解：使原式成立的A、B、C、D也必使

A（x+2）（x+3）（x+4）+B（x+1）（x+3）（x+4）+C（x+1）（x+2）（x+4）+D（x+1）（x+2）（x+3）=1恒成立.

點評：去分母，將分式等式變成整式等式，其中四次進行多項式乘以多項式，再利用多項式恒等，解方程組也可求出A、B、C、D的值，但那樣相當浩繁，苦不堪言.在這里，特殊值法清新自然、活潑可愛.

三、求代數(shù)式的值

例3 設（x2+x+1）1006=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012，求

log3［2（a0+a2+a4…+a2012）-1］的值.

解：令x=1有31006=a0+a1+a2+a3+…+a2012；

令x=-1有：1=a0-a1+a2-a3+…+a2012.

兩式相加有：31006+1=2（a0+a2+a4+…+a2012），

所以log3［2（a0+a2+a4…+a2012）-1］=1006

點評：令x=1、令x=-1，這是在用特殊值法，但其實這就是這類問題求解的通性通法，這也說明特性特法有時就是通性通法，這時它們并不對立而是統(tǒng)一的.在這里，特殊值法探囊取物、妙手揭蓋.

四、用于反證法

證明：函數(shù)定義域為非負實數(shù)集，假設y=cos是周期函數(shù)，則存在常數(shù)T≠0，使得定義域內的一切x都滿足cos

點評：否定性命題的證明，大多用反證法，假設原命題不成立之后，尋求矛盾是關鍵，本題妙取兩個特殊值矛盾立現(xiàn).在這里，特殊值法立竿見影、多姿多彩.

五、函數(shù)性質的證明

例5 已知整式函數(shù)y=f（x），對一切a、b∈R，等式f（ab）=f（a）+f（b）恒成立，求證：f（x）必有因式x2-x.

解：令a=b=0有f（0）=f（0）+f（0）?f（0）=0，所以f（x）必有因式x.

令a=b=1有f（1）=f（1）+f（1）?f（1）=0，所以f（x）必有因式x-1.

從而f（x）必有因式x（x-1），即x2-x.

點評：因為整式函數(shù)y=f（x）有因式x-m等價于f（m）=0，故本題只需證明f（0）=0、f（1）=0，令a=b=0，得f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=0，問題立即得解.在這里，特殊值法賞心悅目，舒心爽快.

六、發(fā)現(xiàn)規(guī)律探求結論

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

解：（Ⅰ）略，

七、歸納猜測結論

例7 已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=1，b1=2，若an，bn，an+1成等差數(shù)列，

并且bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列，求兩數(shù)列的通項公式.

解：由已知有2bn=an+an+1，且1，又a1=1，b1=2，

計算得{an}前三項為：1，3，6，

證明：（略）.

八、解決“恒成立”問題

例8 已知a，b，A，B∈R，f（θ）=1-acos θ-bsin θ-Acos 2θ-Bsin 2θ，

對于任意θ都有（fθ）≥0，求證a2+b2≤2，A2+B2≤1.

由已知有：f（β）≥0，f（π+β）≥0，

點評：利用輔助角化簡原函數(shù)式，是比較明顯的，因為結論中有平方，接下來直接證明所給兩個不等式是頗有難度的，既然所給條件是一系列不等式，那就不妨先取幾個已知不等式出來進行研究，這就是特殊值法.妙取四個特殊值，一切問題迎刃而解.至于如何取得理想的特殊值，那也有蛛絲馬跡可尋，容下文分解.在這里，特殊值法另辟蹊徑，奇兵奏凱.

所以tan0+tana+tan0tana=b?b=tana.①

綜上所述，特殊值法應用廣泛，既能簡潔迅速解選擇題，待定系數(shù)，求代數(shù)式的值，求定點坐標，輔助反證法推出矛盾，又能發(fā)現(xiàn)規(guī)律尋求結論，也能別開生面的解決“恒成立”的等式、不等式等問題.