拓廣探究，凸顯直角梯形“垂直”美

☉江西省大余中學 廖達凡 楊 紅

《義務教育課程標準實驗教科書》人教版數(shù)學八年級下冊“19.3梯形”中講授直角梯形時只給出定義：“有一個角是直角的梯形叫做直角梯形”.除此外，教材中并沒有占用更多的筆墨去探討直角梯形，但從定義中不難看出，“垂直”是直角梯形一個顯著的特征.倘若拓廣探究直角梯形上、下兩底之和等于其中一腰時，筆者發(fā)現(xiàn)更能凸顯直角梯形“垂直”美的個性.

一、探究“上、下兩底之和等于斜腰”的直角梯形中的“垂直”美

探究1 如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD+BC=DC.

（1）在線段DC上是否存在一個點E，使得AE⊥BE？若存在，請找出并證明；若不存在，請說明理由.

（2）在線段AB上是否存在一個點M，使得DM⊥CM？若存在，請找出并證明；若不存在，請說明理由.

（3）若（1）（2）問中滿足條件的點E、M存在，請進一步探究是否有ME⊥DC？請說明理由.

圖1

圖2

解析：（1）存在.

如圖2，在線段DC上截取DE=DA，則EC=BC，連接AE、BE，此時AE⊥BE.證明如下.

由DA=DE，EC=BC，得∠DAE=∠DEA，∠CEB=∠CBE，

則∠ADE=180°-2∠DEA，∠BCE=180°-2∠CEB.

由AD∥BC，得∠ADE+∠BCE=180°，

則180°-2∠DEA+180°-2∠CEB=180°.

即∠DEA+∠CEB=90°.

即∠AEB=90°.

即AE⊥BE.

（2）存在.

如圖2，取線段AB的中點M，連接DM、CM，此時，DM⊥CM.證明如下.

取線段DC的中點N，連接MN，

則DN=CN=MN.

則∠NMD=∠NDM，∠NMC=∠NCM.

由BC∥MN∥AD，

得∠NMD=∠ADM，∠NMC=∠BCM.

則∠ADM=∠NDM，∠NCM=∠BCM.

又∠ADC+∠BCD=180°，

則∠MDC+∠MCD=90°.

則∠DMC=90°.

即DM⊥CM.

則△DAM≌△DEM（SAS）.

則∠MAD=∠DEM=90°.

即ME⊥DC.

點評：探究直角梯形中“上、下兩底之和等于斜腰”時，梯形中三種線段的“垂直”美值得欣賞：一種是斜腰的兩端點與直角腰中點的連線段互相垂直；一種是直角腰兩端點與分斜腰使所得兩部分分別等于上、下兩底的點的連線段互相垂直；一種是分斜腰使所得兩部分分別等于上、下兩底的點與直角腰中點的連線段垂直于斜腰.

二、探究“上、下兩底之和等于直角腰”的直角梯形中的“垂直”美

探究2 如圖3，將探究1中的條件“AD+BC=DC”改為“AD+BC=AB”.

（1）在線段DC上是否存在一個點E，使得AE⊥BE？若存在，請找出并證明；若不存在，請說明理由.

（2）在線段AB上是否存在兩點P、Q，使得DP⊥CP、DQ⊥CQ？若存在，請找出并證明；若不存在，請說明理由.

圖3

圖4

解析：（1）存在.

如圖4，取線段DC的中點E，連接AE、BE，此時，AE⊥BE.證明如下.

則EF=AF=BF.

則∠FAE=∠FEA，∠FBE=∠FEB.

由BC∥FE∥AD，得∠FEA=∠DAE，∠FEB=∠CBE.

則∠DAE=∠FAE=45°，∠FBE=∠CBE=45°.

則∠FAE+∠EBF=90°.

則∠AEB=90°.

即AE⊥BE.

（2）存在.

如圖5，在線段AB上截取AP=BC，則AD=BP，連接DP、CP，此時，DP⊥CP.證明如下.

則△DAP≌△PBC（SAS）.

則∠APD=∠BCP.

由于∠BCP+∠BPC=90°，則∠APD+∠BPC=90°.

則∠DPC=90°.

即DP⊥CP.

圖5

圖6

如圖6，在線段AB上截取AQ=AD，則BC=BQ，連接DQ、CQ，此時，DQ⊥CQ.證明如下.

∠AQD=∠ADQ=45°，∠BQC=∠BCQ=45°.

則∠DQC=90°.

即DQ⊥CQ.

點評：探究直角梯形中“上、下兩底之和等于直角腰”時，梯形中也有兩種線段的“垂直”美值得欣賞：一種是直角腰兩端點與斜腰中點的連線段互相垂直；一種是斜腰兩端點與分直角腰使所得兩部分分別等于上、下兩底的點的連線段互相垂直，且滿足條件的點在直角腰上有兩個.

1.朱光洪.斜腰等于兩底之和的直角梯形與輔助圓［J］.中學數(shù)學教學參考（中旬），2005（6）.