立式捏合機(jī)攪拌槳曲面的NURBS表示與誤差分析

展俊德 李錫文 史鐵林

華中科技大學(xué)，武漢，430074

0 引言

立式捏合機(jī)作為固體推進(jìn)劑研制和生產(chǎn)的關(guān)鍵設(shè)備，是固體推進(jìn)劑技術(shù)的重要組成部分。兩槳立式捏合機(jī)具有物料混合均勻、生產(chǎn)率高等優(yōu)點(diǎn)，在固體推進(jìn)劑的生產(chǎn)中得到了廣泛的應(yīng)用［1］。立式捏合機(jī)的混合效率及混合效果在很大程度上取決于攪拌槳的幾何形狀，故攪拌槳曲面設(shè)計(jì)是立式捏合機(jī)設(shè)計(jì)和制造過程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)［2］。兩槳立式捏合機(jī)攪拌槳由實(shí)心槳與空心槳組成，攪拌槳曲面是由其水平截面輪廓線按照一定數(shù)值的螺旋升角順時(shí)針或逆時(shí)針掃掠生成的。攪拌槳水平截面輪廓線是由自由曲線、圓弧和直線段等以一定的幾何連續(xù)條件依次組合而成的復(fù)雜曲線，攪拌槳水平截面輪廓線和攪拌槳曲面不能用初等解析函數(shù)來表示。

非均勻有理B樣條（NURBS）能夠?qū)崿F(xiàn)二次解析幾何和自由曲線曲面的統(tǒng)一，通過局部改變控制點(diǎn)或權(quán)因子即可調(diào)整局部的曲線曲面形狀，而不影響其他部分，具有良好的幾何性質(zhì)［3］。因此，本文根據(jù)攪拌槳不同高度的截面輪廓線生成了若干個(gè)3次NURBS平面曲線，利用蒙皮法生成了立式捏合機(jī)攪拌槳的NURBS曲面；在生成的NURBS曲面誤差分析的基礎(chǔ)上，提出了一種新的控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算曲面理論坐標(biāo)點(diǎn)到NURBS曲面的最小距離的算法，用以評價(jià)NURBS曲面的重構(gòu)精度。

1 NURBS曲線曲面表示

一條k次NURBS曲線可以表示為一分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)［4］：

其中，ωi為權(quán)因子，分別與控制頂點(diǎn)Pi相關(guān)。首末權(quán)因子ω0＞0，ωn＞0，其余ωi≥0。Ni，k（u）是節(jié)點(diǎn)矢量U＝ （u0，u1，…，un＋k＋1）決定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，滿足德布爾－考克斯遞推公式：

在實(shí)際應(yīng)用中，節(jié)點(diǎn)矢量首尾的重復(fù)度取為k＋1次，即u0＝u1＝ … ＝uk＝0，un＋1＝un＋2＝…＝un＋k＋1＝1。這樣使得曲線具有同次有理Bezier曲線的端點(diǎn)幾何性質(zhì)，即在權(quán)因子ω1，ωn－1≠0的情況下，曲線在首末端點(diǎn)處分別與控制多邊形首末邊相切。

類似于NURBS曲線，一張p×q次的NURBS曲面可表示為

其中，Pi，j呈矩形陣列，形成一個(gè)控制網(wǎng)格；ωi，j是與控制頂點(diǎn)Pi，j有關(guān)的權(quán)因子，規(guī)定四角控制頂點(diǎn)處的權(quán)因子ω0，0，ωm，0，ω0，n，ωm，n都大于0，其余ωi，j≥0，且順序p×q個(gè)權(quán)因子不同時(shí)為0；Ni，p（u）和Nj，q（v）分別為沿u向的p次和沿v向的q次規(guī)范B樣條基函數(shù)，同樣由德布爾－考克斯遞推公式確定；節(jié)點(diǎn)矢量U、V與NURBS曲線節(jié)點(diǎn)矢量的定義形式相同，這樣可使曲面角點(diǎn)具有Bezier曲面的角點(diǎn)性質(zhì)。

2 立式捏合機(jī)攪拌槳曲面的NURBS表示

2.1 立式捏合機(jī)攪拌槳的幾何特征

立式捏合機(jī)兩個(gè)攪拌槳（實(shí)心槳和空心槳）均垂直安裝，其支撐軸位于槳葉的上部，兩攪拌槳軸線均偏離混合釜中心軸線一定距離，即具有一定的偏心距。其中，實(shí)心槳的偏心距es小于空心槳的偏心距ek。兩攪拌槳中心距為L，實(shí)心槳和空心槳直徑為d，基圓直徑為db，槳葉高度為h，混合釜直徑為D。攪拌槳葉刀尖與混合釜內(nèi)壁的最小間隙為c1，兩攪拌槳葉之間的最小間隙為c2，槳葉底端與混合釜內(nèi)底部之間的最小間隙為c3。在物料混合過程中，兩攪拌槳在混合釜內(nèi)做行星捏合運(yùn)動(dòng)，實(shí)心槳和空心槳的自轉(zhuǎn)角速度分別為ωs和ωk，公轉(zhuǎn)角速度均為ωH。為了使物料在混合釜內(nèi)自上而下、自下而上充分翻動(dòng)混合，攪拌槳葉表面采用螺旋曲面，根據(jù)捏合原理，空心槳和實(shí)心槳螺旋角方向應(yīng)該相反，根據(jù)兩個(gè)槳葉的轉(zhuǎn)速比，螺旋角也應(yīng)滿足一定的比例關(guān)系。立式捏合機(jī)攪拌槳外形及主要幾何尺寸如圖1所示。

2.2 立式捏合機(jī)攪拌槳的NURBS表示

圖1 立式捏合機(jī)工作原理

立式捏合機(jī)攪拌槳曲面的NURBS表示過程是：首先根據(jù)攪拌槳水平截面輪廓線上的理論型值點(diǎn)，利用參數(shù)曲線方法反算出控制頂點(diǎn)，同理可以求出槳葉不同高度水平截面輪廓線的控制頂點(diǎn)，進(jìn)而利用蒙皮法反求出槳葉曲面的控制頂點(diǎn)，再用參數(shù)曲面方法構(gòu)造出曲面模型，最后在Visual C＋＋6.0編程環(huán)境下，調(diào)用 OpenGL 接口函數(shù)，生成攪拌槳水平截面輪廓的NURBS曲線和攪拌槳的NURBS曲面。具體構(gòu)造過程如下［5－7］：

（1）根據(jù)攪拌槳水平截面輪廓線上的型值點(diǎn)，依次生成各曲線段（自由曲線、圓弧段、直線段等）的NURBS表示；把階次小于3次的NURBS曲線段升階為3次；依次拾取各曲線段的控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，相鄰兩段的控制頂點(diǎn)和權(quán)因子要滿足連接點(diǎn)處的幾何連續(xù)性要求，確定復(fù)合后整條曲線的控制頂點(diǎn)和權(quán)因子；計(jì)算各曲線段的控制多邊形長度在復(fù)合曲線的控制多邊形總長中所占有的比例，得出各曲線段在整體節(jié)點(diǎn)域u∈［0，1］中的定義區(qū)間，依次對各曲線段的節(jié)點(diǎn)做整體參數(shù)變換，得到復(fù)合曲線在整體參數(shù)下的節(jié)點(diǎn)矢量。得出的立式捏合機(jī)攪拌槳水平截面輪廓線的3次NURBS曲線如圖2所示。圖2中左半部分是實(shí)心槳的水平截面曲線，右半部分是空心槳中部的水平截面曲線。

圖2 立式捏合機(jī)攪拌槳截面輪廓的NURBS表示

（2）由于攪拌槳曲面是由其水平截面輪廓線以一定的螺旋升角順時(shí)針或逆時(shí)針掃掠生成的，所以在攪拌槳不同軸向位置處的水平截面曲線形狀是相同的，只是在其徑向平面內(nèi)繞軸向做了不同角度的旋轉(zhuǎn)。所以，在求出空心槳和實(shí)心槳某一個(gè)水平位置截面輪廓線的NURBS表示的基礎(chǔ)上，依據(jù)NURBS曲線的幾何不變性，可以求出槳葉若干個(gè)不同高度水平截面輪廓線的NURBS表示。

（3）在復(fù)雜曲面的外形設(shè)計(jì)中，曲面多是由一組給定的截面曲線蒙皮生成的。由于不同高度攪拌槳截面輪廓的NURBS曲線的節(jié)點(diǎn)和階次相同，不需要進(jìn)行截面曲線間的u向相容處理，只需計(jì)算相鄰截面NURBS曲線的對應(yīng)控制頂點(diǎn)之間的距離，故采用累積弦長參數(shù)法計(jì)算v向節(jié)點(diǎn)矢量。以各截面曲線的NURBS控制頂點(diǎn)為型值點(diǎn)反算出NURBS曲面的控制頂點(diǎn)。對于空心槳，由于上下實(shí)心部分曲面與中間空心曲面的交線滿足文獻(xiàn)［8］提出的條件，故在曲面拼接處至少是G1連續(xù)的。利用蒙皮法生成的立式捏合機(jī)攪拌槳的NURBS曲面如圖3所示。

圖3 立式捏合機(jī)攪拌槳曲面的NURBS表示

3 曲面誤差分析

為了驗(yàn)證所生成的NURBS曲面的精確性，本文以計(jì)算得到的曲面理論坐標(biāo)點(diǎn)到NURBS曲面的最小距離作為評價(jià)NURBS曲面的誤差值［9］。最小距離越小，說明生成的NURBS曲面精度越高。關(guān)于點(diǎn)到NURBS曲面的投影和距離的算法，國外相關(guān)學(xué)者已經(jīng)做了很多研究［10－14］。通常地，計(jì)算一點(diǎn)P到曲面S（u，v）的最小距離通常可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算點(diǎn)在曲面上的投影［15］，即要滿足：

由于點(diǎn)P在曲面S（u，v）上可能不存在或存在若干個(gè)投影點(diǎn)，即式（3）可能無解或存在若干個(gè)解，為此，本文提出了一種新的利用控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算點(diǎn)到NURBS曲面最小距離的算法。該算法首先將控制頂點(diǎn)投影到NURBS曲面上，得到相應(yīng)的投影點(diǎn)；其次在NURBS曲面上依次生成相鄰?fù)队包c(diǎn)之間的曲線，這些曲線將NURBS曲面分割成若干個(gè)至少是G1連續(xù)的曲面片，使得點(diǎn)P在每個(gè)曲面片上至多存在一個(gè)投影點(diǎn)；最后通過判斷點(diǎn)P與每個(gè)曲面片邊界曲線之間的關(guān)系，可以得出點(diǎn)P在曲面片上是否存在投影點(diǎn)，計(jì)算點(diǎn)P與投影點(diǎn)（如果存在）之間的距離，即為點(diǎn)P到該曲面片的最小距離；同理可以求出點(diǎn)P到其他曲面片的最小距離，這些最小距離中的最小值即為點(diǎn)P到整個(gè)NURBS曲面的最小距離。下面給出該算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟。

3.1 將控制頂點(diǎn)投影到NURBS曲面上

依次將每行控制頂點(diǎn)向NURBS曲面進(jìn)行投影，得出對應(yīng)的投影點(diǎn)。以控制頂點(diǎn)Pi，j為例，Pi，j在曲面上的投影點(diǎn)Pti，j應(yīng)該滿足式（3），即控制頂點(diǎn)Pi，j與其在曲面上的投影點(diǎn)Pti，j的線段分別和投影點(diǎn)Pti，j的u向、v向切矢之間的點(diǎn)積為0。特別地，對于第一行和最后一行的u向控制頂點(diǎn)，投影到對應(yīng)的NURBS曲面u向邊界曲線上，僅要求控制頂點(diǎn)與投影點(diǎn)的線段和投影點(diǎn)的u向切矢之間的點(diǎn)積為0；同樣地，對于第一列與最后一列的v向控制頂點(diǎn)，也投影到對應(yīng)的NURBS曲面v向邊界曲線上，僅要求控制頂點(diǎn)與投影點(diǎn)的線段和投影點(diǎn)的v向切矢之間的點(diǎn)積為0；如果控制頂點(diǎn)在NURBS曲面上，則該控制頂點(diǎn)與投影點(diǎn)重合；如果曲面上存在u向或v向G0連續(xù)的折痕曲線時(shí)，在折痕曲線兩側(cè)，找出一個(gè)距離折痕曲線最近的控制頂點(diǎn)，將該控制頂點(diǎn)投影到折痕曲線上，僅要求該控制頂點(diǎn)與投影點(diǎn)的線段與投影點(diǎn)的v向或u向切矢之間的點(diǎn)積為0。

在求投影點(diǎn)的計(jì)算過程中，目前一般利用Newton－Raphson迭代方法對式（3）進(jìn)行求解，此方法計(jì)算速度快，可以達(dá)到較高的計(jì)算精度，迭代公式為

假定上一個(gè)控制頂點(diǎn)Pi，j－1在曲面上的投影點(diǎn)Pti，j－1對 應(yīng) 的 節(jié) 點(diǎn) 值 為 （uti，j－1，vti，j－1），以（uti，j－1，vti，j－1）作為迭代初始值，其收斂準(zhǔn)則為

ε為計(jì)算精度，這里ε取1×10－10，求出控制頂點(diǎn)Pi，j在NURBS曲面上的投影點(diǎn)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值（uti，j，vti，j），再利用式（2）求出Pi，j在曲面上的投影點(diǎn)Pti，j。類似地可以求出其他控制頂點(diǎn)在NURBS曲面上的投影點(diǎn)以及投影點(diǎn)對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)值。

3.2 NURBS曲面片的生成

由于在曲面尖點(diǎn)、角點(diǎn)等只滿足G0連續(xù)的位置處有一個(gè)或多個(gè)控制頂點(diǎn)投影點(diǎn)，故在u向或v向折痕曲線上也有多個(gè)控制頂點(diǎn)的投影點(diǎn)。這樣，u向或v向相鄰?fù)队包c(diǎn)之間至少滿足G1連續(xù)。以控制頂點(diǎn)Pi，j、Pi＋1，j、Pi，j＋1和Pi＋1，j＋1在 NURBS曲面對應(yīng)的投影點(diǎn)Pti，j、Pti＋1，j、Pti，j＋1和Pti＋1，j＋1為例，投 影 點(diǎn) 對 應(yīng) 的 節(jié) 點(diǎn) 值 分 別 為 （uti，j，vti，j）、（uti＋1，j，vti＋1，j）、 （uti，j＋1，vti，j＋1） 和 （uti＋1，j＋1，vti＋1，j＋1），當(dāng) 節(jié) 點(diǎn) 變 量 （u，v）在 （uti，j，vti，j）與（uti＋1，j，vti＋1，j）之間以微小量（Δu，Δv）變化時(shí)，可以得到投影點(diǎn)Pti，j與Pti＋1，j之間在 NURBS曲面上的連續(xù)曲線，由多元函數(shù)的微分公式知，這些曲線至少是G1連續(xù)的。類似地可以得到其他相鄰?fù)队包c(diǎn)之間在NURBS曲面上的曲線。這些曲線把NURBS曲面分割成若干個(gè)至少是G1連續(xù)的曲面片，而曲面上尖點(diǎn)、角點(diǎn)或折痕曲線等G0連續(xù)的位置被分割在曲面片的邊界曲線上。

圖4形象化地說明了控制頂點(diǎn)投影點(diǎn)間的曲線將NURBS曲面分割成若干個(gè)曲面片的實(shí)現(xiàn)過程。

圖4 控制頂點(diǎn)投影法分割NURBS曲面

3.3 計(jì)算點(diǎn)P到每個(gè)曲面片的最小距離

對 于 曲 面 片Pti，jPti＋1，jPti，j＋1Pti＋1，j＋1， 由NURBS曲面的凸包性質(zhì)及曲面片邊界曲線的變差縮減性質(zhì)可知，曲面片內(nèi)在u向或v向上至多存在一條極值點(diǎn)曲線。由于曲面片內(nèi)的Su和Sv是連續(xù)的，所以曲面片的Su和Sv變化邊界值在曲面片的四條邊線上，又由于邊線也是連續(xù)的，所以曲面片的Su和Sv邊界值在曲面片的四個(gè)角點(diǎn)Pti，j、Pti＋1，j、Pti，j＋1和Pti＋1，j＋1處。將曲面片四個(gè)角點(diǎn)的Su和Sv分別投影到XY平面、XZ平面和YZ平面，得出四個(gè)角點(diǎn)的Su和Sv二維投影向量，依據(jù)連續(xù)函數(shù)極值存在的判別條件，可以點(diǎn)積四個(gè)角點(diǎn)Pti，j與Pti＋1，j、Pti，j＋1與Pti＋1，j＋1的Su，Pti，j與Pti，j＋1、Pti＋1，j與Pti＋1，j＋1的Sv在三個(gè)投影面上的向量，如果點(diǎn)積值均是正，說明曲面片的Su或Sv是單調(diào)連續(xù)的；如果存在負(fù)值，說明曲面片內(nèi)存在u向或v向的極值曲線，則利用二分法可以在相應(yīng)邊線上找出極值點(diǎn)，在曲面片上連接極值點(diǎn)，極值點(diǎn)間的曲線將曲面片分為兩片u向或v向單調(diào)連續(xù)的小曲面片。類似地，可以使得其他曲面片在u向和v向上是單調(diào)連續(xù)的。

由于曲 面 片Pti，jPti＋1，jPti，j＋1Pti＋1，j＋1或 其 子曲面片在u向和v向上是單調(diào)連續(xù)的，則在曲面片上f（u，v）與g（u，v）是連續(xù)函數(shù)，可以通過計(jì)算f（u，v）與g（u，v）在曲面片四個(gè)角點(diǎn)的值，判斷點(diǎn)P在曲面片內(nèi)的投影點(diǎn)Pt是否存在。具體過程如下：

f（u，v）如果在Pti，j與Pti＋1，j的值異號，或在Pti，j＋1與Pti＋1，j＋1的值異號，說明點(diǎn)P在曲面片上的u向投影存在；如果都是同號，說明點(diǎn)P在曲面片上的u向投影不存在。同樣地，g（u，v）如果在Pti，j與Pti，j＋1的值異號，或在Pti＋1，j與Pti＋1，j＋1的值異號，說明點(diǎn)P在曲面片上的v向投影存在；如果都是同號，說明點(diǎn)P在曲面片上的v向投影不存在。

如果點(diǎn)P在曲面片上的u向投影和v向投影同時(shí)存在，說明點(diǎn)P在曲面片上的投影點(diǎn)存在；如果點(diǎn)P在曲面片上的u向投影和v向投影同時(shí)不存在，說明點(diǎn)P在曲面片上的投影點(diǎn)不存在。

如果投影點(diǎn)存在，則點(diǎn)P到曲面片的最小距離就是點(diǎn)P與其投影點(diǎn)Pt之間的距離。如果投影點(diǎn)不存在，則點(diǎn)P到曲面片的最小距離點(diǎn)存在于曲面的四個(gè)邊線上。如果僅u向投影存在，則在相應(yīng)的曲線段Pti，jPti＋1，j或Pti，j＋1Pti＋1，j＋1上利用二分法求出u向投影點(diǎn)；同樣地，如果僅v向投影存在，則在相應(yīng)的曲線段Pti，jPti，j＋1或Pti＋1，jPti＋1，j＋1上利用二分法求出v向投影點(diǎn)；點(diǎn)P到曲面片的最小距離就是點(diǎn)P與u向投影點(diǎn)或v向投影點(diǎn)之間的距離。如果u向投影和v向投影都不存在，計(jì)算點(diǎn)P與曲面片四個(gè)角點(diǎn)之間的距離，其中最小值就是點(diǎn)P到曲面片的最小距離。

在投影點(diǎn)的計(jì)算上，以曲面片一個(gè)角點(diǎn)作為初始值，利用Newton－Raphson迭代方法求解式（3）。由于曲面片至少是G1連續(xù)的，在u向和v向是單調(diào)連續(xù)的，u向邊界曲線間Su變化不大，v向邊界曲線間Sv變化也不大，所以，以曲面片的角點(diǎn)為初始值，一般都可以使迭代過程收斂。

3.4 計(jì)算點(diǎn)P到NURBS曲面的最小距離

比較點(diǎn)P到各曲面片的最小值，找出全局最小值，即為點(diǎn)P到整個(gè)NURBS曲面的最小距離。取多組攪拌槳水平截面輪廓線上的理論坐標(biāo)點(diǎn)，利用控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算理論點(diǎn)到攪拌槳NURBS曲面的最小距離，得出的最大距離為0.1mm，說明立式捏合機(jī)攪拌槳的NURBS曲面精度是較高的。

4 結(jié)語

本文在立式捏合機(jī)攪拌槳水平截面曲線的NURBS表示的基礎(chǔ)上，利用蒙皮曲面方法，生成了立式捏合機(jī)攪拌槳的NURBS曲面。在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算點(diǎn)到NURBS曲面最小距離的方法，驗(yàn)證了立式捏合機(jī)攪拌槳曲面的NURBS表示的精確性和可靠性，為攪拌槳的優(yōu)化設(shè)計(jì)打下了較好的基礎(chǔ)。同時(shí)，控制頂點(diǎn)投影法計(jì)算點(diǎn)到NURBS曲面最小距離的算法具有重要的實(shí)用價(jià)值，可以在CAD/CAM等領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)行進(jìn)一步推廣和應(yīng)用。

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