直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度分析

趙 磊 鞏 巖

中國科學院長春光學精密機械與物理研究所應用光學國家重點實驗室，長春，130033

0 引言

柔性鉸鏈利用其自身的彈性變形而非剛性元件的運動來傳遞或轉(zhuǎn)換運動、力或能量，相對于傳統(tǒng)運動鉸鏈，具有運動分辨率高、無摩擦、無需潤滑、制造工藝簡單等優(yōu)點，廣泛應用于光刻物鏡［1－4］、微動工作臺［5－8］、電子掃描顯微鏡［9］、超精密加工機床［10－12］等領域。

理想鉸鏈轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動中心是固定不動的，而柔性鉸鏈依靠自身彈性變形產(chǎn)生運動，其轉(zhuǎn)動中心隨著載荷變化而移動，因此會引起轉(zhuǎn)動誤差。其轉(zhuǎn)動誤差可以通過柔性鉸鏈幾何中心的偏移量表示。國內(nèi)外學者圍繞柔性鉸鏈的精度進行了相關研究工作。文獻［13－14］基于卡氏第一、第二定理建立了圓弧型、橢圓型、拋物線型、雙曲線型以及直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的理論模型，但其模型中沒有考慮剪切引起的應變能。文獻［15］同樣基于卡氏第一、第二定理給出了直梁圓角型、拋物線型以及正割曲線型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的解析計算公式，但其推導過程中同樣沒有考慮剪切引起的應變能的影響。文獻［16］采用有限元法分析了圓弧型、直梁圓角型和橢圓型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度，結果表明：當鉸鏈的長度、寬度和最小厚度相等，且施加的外載荷和鉸鏈偏轉(zhuǎn)相同時，直梁圓角型柔性鉸鏈相對回轉(zhuǎn)精度最高。文獻［17］分析了加工誤差對柔性鉸鏈精度的影響。

上述針對柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的分析大都是基于卡氏第一、第二定理采用能量法進行的推導，本文則根據(jù)材料力學懸臂梁理論，在考慮軸向拉伸、彎曲和剪切等作用下，針對直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度進行了分析。首先，基于懸臂梁理論推導了柔性鉸鏈幾何中心平面內(nèi)線性變形量Δx、Δy的解析計算方法，建立了柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度矩陣的閉環(huán)解析模型，并給出了當r?t時回轉(zhuǎn)精度矩陣各項參數(shù)的簡化計算公式。然后，建立了直梁圓角型柔性鉸鏈的有限元模型，通過比較解析值和有限元仿真值，驗證了回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。最后，分析了柔性鉸鏈的材料參數(shù)和結構參數(shù)對其回轉(zhuǎn)精度的影響。

1 直梁圓角型柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度

直梁圓角型柔性鉸鏈如圖1所示，鉸鏈為直梁片狀結構，兩端與基體采用圓角方式連接。直梁圓角型柔性鉸鏈的主要幾何參數(shù)有鉸鏈高度h、鉸鏈長度l、鉸鏈厚度t及圓角半徑r。建模時將柔性鉸鏈的右端固定，左端為自由端，x軸正方向從柔性鉸鏈的固定端指向變形端，y軸垂直于直梁薄片平面。

圖1 直梁圓角型柔性鉸鏈

圖2所示為直梁圓角型柔性鉸鏈的截面圖。圖中0－1段和3－4段為圓角部分，1－3段為直梁部分。直梁圓角型柔性鉸鏈是厚度t隨x變化的變截面梁，其函數(shù)表達式為

圖2 直梁圓角型柔性鉸鏈截面圖

柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度是指在自由端4點處外載荷Fx、Fy、Mz作用下柔性鉸鏈幾何中心2點處的位姿變化量Δx、Δy。當柔性鉸鏈的變形量較小時，可以認為其變形為線彈性變形，建模時應考慮軸向拉壓、彎曲和剪切的影響。

1.1 Fx引起的x方向線性變形

柔性鉸鏈幾何中心2點處x方向的線性變形主要是由力Fx拉壓引起的。

根據(jù)拉壓胡克定律，得到0－1段變截面梁的軸向變形量為

式中，E為柔性鉸鏈材料的彈性模量。

根據(jù)拉壓胡克定律，得到1－2段等截面梁的軸向變形量為

柔性鉸鏈幾何中心2點沿x軸方向的變形量為0－1段和1－2段變形量的總和，因此有

當r?t時，式（4）、式（5）分別簡化為

1.2 Fy引起的y方向線性變形

力Fy引起的沿y方向變形主要由彎矩變形和剪切變形組成。

Fy彎矩引起的0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

Fy彎矩引起的1－2段等截面梁沿y方向的變形量為

Fy剪切引起的0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

式中，G為柔性鉸鏈材料的切變模量；ν為柔性鉸鏈材料的泊松比。

Fy剪切引起的1－2段等截面梁沿y方向的變形量根據(jù)剪切胡克定律有

于是得到Fy作用下柔性鉸鏈幾何中心2點沿y方向的總變形量為

于是得到柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣參數(shù)為

當r?t時，式（13）、式（14）可簡化為

1.3 Mz引起的y方向的線性變形

施加力矩Mz時，0－1段變截面梁沿y方向的變形量為

施加力矩Mz時，1－2段等截面梁沿y方向的變形量為

由Mz引起的沿y方向的變形量為0－1段、1－2段變形量的總和，因此有

于是得到柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣參數(shù)為

當r?t時，式（19）、式（20）可簡化為

1.4 柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)模型

根據(jù)式（5）、式（13）、式（20）可以得到直梁圓角型柔性鉸鏈幾何中心2點處平面內(nèi)的偏移量Δx、Δy與平面內(nèi)力/力矩Fx、Fy、Mz的關系，將公式轉(zhuǎn)換成矩陣形式為

式中，C為柔性鉸鏈平面內(nèi)的回轉(zhuǎn)精度矩陣。

2 直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的有限元驗證

圖3 直梁圓角型柔性鉸鏈有限元模型

為了驗證推導得到的直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度閉環(huán)解析式，采用UG NX NASTRAN軟件對直梁圓角型柔性鉸鏈進行了有限元建模仿真和分析。直梁圓角型柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示。柔性鉸鏈的材料參數(shù)和結構參數(shù)分別為：彈性模量E＝141GPa，泊松比ν＝0.259，鉸鏈高度h＝11mm，鉸鏈厚度t＝1mm，鉸鏈長度l＝4mm，圓角半徑r＝0.3mm。建模時，柔性鉸鏈的右端完全約束，在左側(cè)的直梁自由端4點處施加單位力Fx、Fy和單位力矩Mz，觀察柔性鉸鏈幾何中心2點的偏移量Δx、Δy。圖4為單位力Fx、Fy和單位力矩Mz綜合作用下的直梁圓角型柔性鉸鏈的變形圖，圖中虛線所示為柔性鉸鏈變形前的位置，由圖可知施加單位載荷時，偏移量Δy遠大于偏移量Δx。

圖4 直梁圓角型柔性鉸鏈仿真分析結果

回轉(zhuǎn)精度矩陣各參數(shù)的有限元仿真分析結果與解析計算值如表1所示，兩者的相對誤差控制在5%以內(nèi)，從而驗證了直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的閉環(huán)解析式的正確性。

表1 回轉(zhuǎn)精度矩陣各參數(shù)的解析值與仿真值

3 材料參數(shù)和幾何參數(shù)對柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度的影響

柔性鉸鏈的回轉(zhuǎn)精度是通過其幾何中心2點的偏移量來表示的，相同外載荷作用下，幾何中心2點的偏移量越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。為了便于分析，取加載到自由端4點的外載荷為單位力和單位力矩，于是式（23）可以表示為

由式（24）可知，柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度與材料彈性模量E和泊松比ν有關系，其中，彈性模量E越大，回轉(zhuǎn)精度越高；泊松比ν越大，回轉(zhuǎn)精度越低；柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度與鉸鏈高度h成反比，即柔性鉸鏈高度h越大時，其回轉(zhuǎn)精度越高。

為了分析鉸鏈厚度t、鉸鏈長度l及圓角半徑r對回轉(zhuǎn)精度的影響，以及量綱一參數(shù)s和q對偏移量Δx、Δy的影響，假設s＝r/t，q＝l/t，且0≤s≤1，3≤q≤10，如圖5所示。由圖5可知，柔性鉸鏈幾何中心2點的偏移量Δx隨著s的增大而近似線性減小，隨著q的增大而線性增大；Δy隨著s的增大而非線性減小，隨著q的增大而非線性增大。因此，當柔性鉸鏈的厚度t確定時，圓角半徑r越大，鉸鏈長度l越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。

圖5 回轉(zhuǎn)精度隨量鋼一參數(shù)s和q的變化圖

為了分析柔性鉸鏈的厚度t對其回轉(zhuǎn)精度的影響，若假定0.5mm≤t≤4mm，h＝11mm，r＝0.3mm，l＝4mm，則Δx、Δy均隨著t的增大而非線性減小，且其減小的速率均隨著t的增大越來越小，如圖6所示。

4 結論

本文基于懸臂梁理論推導了直梁圓角型柔性鉸鏈幾何中心點2的偏移量Δx、Δy的解析計算方法，建立了柔性鉸鏈平面內(nèi)回轉(zhuǎn)精度矩陣的閉環(huán)解析模型，給出了r?t時回轉(zhuǎn)精度矩陣模型的簡化計算公式。采用與有限元分析結果相比較的方式對解析模型進行了驗證，結果表明兩者的相對誤差小于5%，從而驗證了回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型的正確性。分析了柔性鉸鏈的材料參數(shù)（彈性模量E、泊松比ν）以及結構參數(shù)（鉸鏈高度h、鉸鏈厚度t、鉸鏈長度l和圓角半徑r）對回轉(zhuǎn)精度的影響，結果表明：

圖6 回轉(zhuǎn)精度隨柔性鉸鏈厚度t的變化圖

（1）直梁圓角型柔性鉸鏈材料的彈性模量E越大、泊松比ν越小，其回轉(zhuǎn)精度越高。

（2）直梁圓角型柔性鉸鏈的高度h越大時，其回轉(zhuǎn)精度越高。

（3）當量綱一參數(shù)0≤s≤1，3≤q≤10時，隨著s的增大、q的減小，回轉(zhuǎn)精度越來越高。因此當柔性鉸鏈的厚度t一定時，圓角半徑r越大，鉸鏈長度l越小，其回轉(zhuǎn)精度就越高。

（4）當柔性鉸鏈的結構參數(shù)h、r、l一定，且0.5mm≤t≤4mm時，隨著t的增大，回轉(zhuǎn)精度非線性增高，變化速率越來越小。

本文建立的直梁圓角型柔性鉸鏈回轉(zhuǎn)精度矩陣閉環(huán)解析模型，可為柔性鉸鏈以及柔順機構的設計優(yōu)化提供理論依據(jù)。

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