廣義雙曲線分布在概化理論偏態(tài)數(shù)據(jù)方差分量估計(jì)中的應(yīng)用

黎光明，張敏強(qiáng)

(1.華南師范大學(xué)心理應(yīng)用研究中心，廣州510631；2.廣州大學(xué)教育學(xué)院心理系，廣州510006)

0 引言

廣義雙曲線分布（簡稱GH分布），是Barndorff-Nielsen(1977)在研究丹麥海岸風(fēng)積沙礫顆粒大小的分布時(shí)首次提出的，GH分布的密度函數(shù)(Eberlein&Hammerstein,2003;Mena&Walker,2007)[1，2]如下：

在公式（1）中，各參數(shù)的定義域如下：當(dāng)λ＜0時(shí)，δ＞0， ||β ≤α；當(dāng) λ=0時(shí)，δ＞0， ||β ＜α；當(dāng) λ＞0時(shí)，δ≥0， ||β＜α。其中，Kv()是具有λ指數(shù)校正的Bessel函數(shù)，其函數(shù)可表達(dá)成：

上述GH分布的密度函數(shù)也可表達(dá)成：

從公式（2）可知，GH分布的性質(zhì)主要由5個(gè)參數(shù)決定，α和β分別決定分布的峰度和偏度，μ和δ分別決定密度函數(shù)的位置和形狀，λ決定分布的尾部厚度[3]。

利用GH分布的性質(zhì)，可以模擬不同分布的數(shù)據(jù)，包括偏態(tài)分布數(shù)據(jù)。對于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，在實(shí)踐中具有常見性，這是因?yàn)殡S著社會(huì)的發(fā)展，心理與教育測量的應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)生了較大變化，被測群體的知識(shí)和能力等特質(zhì)在一定程度上不再服從偏度為0的分布[4]。Othman(1995,p.8)[5]研究表明，許多測驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布呈弱偏態(tài)，如CAP(California Assessment Program)和UCSB(University of California Santa Barbara)，這兩個(gè)測驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布偏度值介于-0.91～+0.85，如表1所示。

表1 飛行員表現(xiàn)性評價(jià)測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的偏度

概化理論（Generalizability Theory，GT）是關(guān)于行為測量可靠性的統(tǒng)計(jì)理論(Shavelson&Webb,1991,p.1)[6]。概化理論結(jié)合測量的情境關(guān)系(context of measurement situation)對CTT的籠統(tǒng)誤差進(jìn)行探查和分解，辨明不同的誤差來源，并且在一定范圍內(nèi)變動(dòng)測量的情境關(guān)系，以考察這種變動(dòng)引起的誤差的相對變化，從而達(dá)到對誤差方差進(jìn)行控制(Shavelson&Webb,1991)，因此概化理論又稱為方差分量模型(Brennan,2000)[7]。

數(shù)據(jù)分布對概化理論方差分量估計(jì)可能產(chǎn)生影響。特別地，當(dāng)數(shù)據(jù)為偏態(tài)分布時(shí)，適合于正態(tài)分布數(shù)據(jù)的方差分量估計(jì)方法不一定適合于偏態(tài)分布數(shù)據(jù)。雖然Othman(1995)已經(jīng)考慮到數(shù)據(jù)分布具有（弱）偏態(tài)，但是Othman并沒有進(jìn)行偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的方差分量估計(jì)的研究，顯得不足。本文旨在探討如何利用GH分布性質(zhì)模擬生成偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，其偏度如何影響概化理論的方差分量估計(jì)。

1 方法

1.1 數(shù)據(jù)產(chǎn)生

基于p×i設(shè)計(jì)概化理論模型，根據(jù)GH分布的性質(zhì)使用蒙特卡洛數(shù)據(jù)模擬技術(shù)產(chǎn)生偏態(tài)分布數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)模擬所使用的軟件為R軟件。產(chǎn)生偏態(tài)分布數(shù)據(jù)過程如下：

第一，在R軟件中調(diào)用Hyperbolic Dist軟件包，使用hyperb Change Pars和rhy perb函數(shù)生成服從某種偏度的偏態(tài)數(shù)據(jù)。在使用rhyperb函數(shù)前，需要先用hyperb Change-Pars對參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，主要是因?yàn)镚H分布有不同量綱系統(tǒng)，轉(zhuǎn)換成能夠識(shí)別的量綱系統(tǒng)是必需的，服從某種偏態(tài)的廣義雙曲線分布數(shù)據(jù)才能夠正常產(chǎn)生(Scott,2009)[8]。

第二，因?yàn)閮H需要產(chǎn)生服從一定偏度的偏態(tài)數(shù)據(jù)，所以對GH分布的參數(shù)進(jìn)行控制，令 λ=1，μ=0，δ=1，α=3，僅改變 β 值，β 僅選取五個(gè)點(diǎn)：-2、-1、0、1、2。編制的程序證明，β具有以0為軸的對稱性，即β=-2與β=+2的結(jié)果相近，β=-1與β=+1的結(jié)果相近，如表2所示。

表2 不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的方差分量及其標(biāo)準(zhǔn)誤

在表2中，為了保持β值的連續(xù)性，β的取值為9個(gè)，即 β 為-2.0、-1.5、-1.0、-0.5、0、+0.5、+1.0、+1.5、+2.0。根據(jù)表2的數(shù)據(jù)結(jié)果，可得到圖1。

圖1 不同偏態(tài)數(shù)據(jù)估計(jì)的方差分量及其標(biāo)準(zhǔn)誤

從圖1可以明顯看出，方差分量具有以β=0為軸的對稱性，這種對稱性非常明顯。因此，僅需生成β為-2、-1和0三種偏度的數(shù)據(jù)，并且令β為-2表示“高偏”，β為-1表示“中偏”，β為0表示“無偏”。

第三，在概化理論p×i設(shè)計(jì)下，將rhyperb函數(shù)生成的某個(gè)偏度下的三組偏態(tài)分布數(shù)據(jù)相加，即Xpi=μ+GH(p)+GH(i)+GH(pi)，這樣，在概化理論模型下服從某種偏度的GH分布數(shù)據(jù)就可以產(chǎn)生。

第四，沒有公式可以直接計(jì)算出偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的三個(gè)方差分量參數(shù)，參考 Tong和 Brennan(2006,2007)[9，10]的做法，模擬5000批次數(shù)據(jù)，求取5000批次三個(gè)方差分量的平均數(shù)，用這兩個(gè)估計(jì)值表示三個(gè)方差分量參數(shù)。

第五，針對某一個(gè)偏度值，生成的偏態(tài)分布模擬數(shù)據(jù)為矩陣數(shù)據(jù)（p×i），模擬次數(shù)為1000，這樣可產(chǎn)生1000批次100×20的偏態(tài)分布模擬矩陣數(shù)據(jù)。β有三個(gè)偏度值（-2、-1和0），可以產(chǎn)生3×1000批次100×20的偏態(tài)分布模擬矩陣數(shù)據(jù)。

1.2 比較標(biāo)準(zhǔn)

1.3 分析工具

分析工具為R軟件、WinBUGS軟件、R2WinBUGS軟件包、Coda軟件包和HyperbolicDist軟件包。借助這些軟件或軟件包，自編完成研究程序。

2 結(jié)果

2.1 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人的方差分量

對β=-2、β=-1和β=0三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，分別計(jì)算Traditional方法、Jackknife方法、Bootstrap方法和MCMC方法估計(jì)的人的方差分量，結(jié)果如表3所示。

表3 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人的方差分量

在表3中，vc.p_2、vc.p_1和vc.p_0分別表示 β=-2、β=-1和β=0偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)的人的方差分量。trad表示Traditional方法。Jackknife方法估計(jì)方差分量及其變異量時(shí)，需要考慮再抽樣策略，這里僅使用jack-p、jack-i和jack-pi三種策略。Bootstrap方法也需要考慮再抽樣策略，所考慮Bootstrap再抽樣策略包括boot-p、boot-i、boot-pi、boot-pr、boot-ir和boot-pir?？梢詫ootstrap方法進(jìn)行校正，用后綴adj來表示校正的Bootstrap策略。MCMC inf表示有先驗(yàn)信息的MCMC方法，而MCMC non-inf則表示無先驗(yàn)信息的MCMC方法。的方差分量。其它表示符號(hào)及解釋同表3。

2.2 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的題目的方差分量

對β=-2、β=-1和β=0的偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，分別計(jì)算Traditional方法、Jackknife方法、Bootstrap方法和MCMC方法估計(jì)的題目的方差分量，結(jié)果如表4所示。

表4 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的題目的方差分量

在表4中，vc.i_2、vc.i_1和vc.i_0分別表示 β=-2、β=-1和β=0偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)的題目的方差分量。其它表示符號(hào)及解釋同表3。

2.3 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人與題目交互的方差分量

對β=-2、β=-1和β=0的偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，分別計(jì)算Traditional方法、Jackknife方法、Bootstrap方法和MCMC方法估計(jì)的人與題目交互的方差分量，結(jié)果如表5所示。

表5 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人與題目交互的方差分量

在表5中，vc.pi_2、vc.pi_1和vc.pi_0分別表示β=-2、β=-1和β=0偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)人與題目交互

3 分析與討論

3.1 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人的方差分量偏差分析

根據(jù)表3中每種方法(或策略)估計(jì)的方差分量與參數(shù)的差值（bias），可以繪出三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)的方差分量偏差圖，如圖2所示。

圖2 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)p的方差分量偏差

從圖2可以看出，三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)p的方差分量偏差主要體現(xiàn)在未校正的Bootstrap方法和MCMC non-inf上，而Traditional方法、Jackknife方法（包括jack-p、jack-i和jpi）、校正的Bootstrap方法和MCMC inf方法偏差相對較小。特別地，當(dāng)β=-2.0時(shí)，未校正的boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p 對應(yīng)的絕對 偏 差 分 別 為 0.0587、0.0587、0.0760、0.0759、0.0587、0.0234，偏差相對較大，而校正的boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p 對應(yīng)的絕對偏差分別為 0.0068、0.0068、0.0069、0.0070、0.0068、0.0068，偏 差 較 小 。 當(dāng)β=-2、β=-1和β=0時(shí)，MCMC inf對應(yīng)的絕對偏差值分別為0.0223、0.0087、0.0015，MCMC non-inf對應(yīng)的絕對偏差值分別為0.0307、0.0118、0.0150，前者的偏差小于后者。從圖2也可知，隨著偏度由高偏趨于低偏過程中，偏差間距有逐漸縮小的趨勢，且表現(xiàn)為先快后慢。當(dāng)β=-2、β=-1和β=0時(shí)，各種估計(jì)方法的絕對偏差平均值分別為0.2464、0.0963、0.1738。對于三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的vc.p，僅MCMC non-inf方法在個(gè)別方差分量估計(jì)出現(xiàn)不一致，但從總的趨勢看，隨著偏度值的減小，方差分量絕對偏差逐漸減小。

3.2 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的題目的方差分量偏差分析

根據(jù)表4中每種方法(或策略)估計(jì)的方差分量與參數(shù)的差值（bias），可以繪出三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)的題目的方差分量偏差圖，如圖3所示。

從圖3可以看出，三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)i的方差分量偏差主要體現(xiàn)在MCMC non-inf上，而Traditional方法、Jackknife方法、Bootstrap方法和MCMC inf方法偏差相對較小。當(dāng) β=-2、β=-1和 β=0時(shí)，MCMC inf對應(yīng)的絕對偏差值分別為0.0221、0.0080、0.0066，MCMC non-inf對應(yīng)的絕對偏差值分別為0.2201、0.0660、0.0518，后者的絕對偏差是前者的9.96倍、8.25倍和7.84倍，可見MCMC inf的偏差是相當(dāng)大，具有明顯的“翹尾”。

圖3 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)i的方差分量偏差

從圖3也可知，當(dāng)β=-2、β=-1和β=0時(shí)，各種估計(jì)方法的絕對偏差平均值分別為0.3093、0.1683、0.1512，隨著偏度值的減小，方差分量絕對偏差有逐漸減小的趨勢。對于三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的vc.i，未出現(xiàn)“倒序”現(xiàn)象，方差分量絕對偏差有逐漸減小的趨勢，也是先快后慢。

3.3 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)估計(jì)的人與題目交互的方差分量偏差分析

根據(jù)表5中每種方法(或策略)估計(jì)的方差分量與參數(shù)的差值（bias），可以繪出三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)的人與題目交互的方差分量偏差圖，如圖4所示。

圖4 三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)pi的方差分量偏差

從圖4可以看出，三種偏態(tài)分布數(shù)據(jù)四種方法估計(jì)pi的方差分量偏差主要體現(xiàn)在未校正的Bootstrap方法上，而Traditional方法、Jackknife方法、校正的Bootstrap方法和MCMC方法偏差相對較小。當(dāng) β=-2.0時(shí)，未校正的boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p 對應(yīng)的偏差分別為0.1020 、0.1019、0.1019、0.0862、0.1019、0.0199 ，偏差相對較大，而校正的boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p對應(yīng)的偏差分別為0.0033、0.0033、0.0033、0.0033、0.0033、0.0033，偏差較小。當(dāng) β=-1.0 時(shí)，未校正的 boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p對應(yīng)的偏 差 分 別 為 0.0390、0.0389、0.0389 、0.0329、0.0389、0.0069，偏差相對較大，而校正的boot-pi、boot-pir、boot-ir、boot-i、boot-pr、boot-p對應(yīng)的偏差分別為0.0004、0.0003、0.0003、0.0004、0.0003、0.0004，偏差較小。 β=0 的情況類似。

從圖4也可知，當(dāng)β=-2、β=-1和β=0時(shí)，各種估計(jì)方法的絕對偏差平均值分別為0.5514、0.1988、0.1480，這表明偏度由大變小過程中，偏差減小的幅度前段速度較快，后段速度卻較慢。對于三種不同偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的vc.pi，從總的趨勢看，隨著偏度值的減小，方差分量絕對偏差逐漸減小。

4 結(jié)論

（1）利用廣義雙曲線分布性質(zhì)可以有效模擬生成概化理論所需要的偏態(tài)分布數(shù)據(jù)。通過HyperbolicDist軟件包的hyperbChangePars和rhyperb函數(shù)能夠模擬生成偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，根據(jù)估計(jì)偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的方差分量及方差分量標(biāo)準(zhǔn)誤，表明其具有對稱性。利用GH分布性質(zhì)模擬生成偏態(tài)分布數(shù)據(jù)，使得概化理論探討偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的方差分量估計(jì)，成為可能。

（2）廣義雙曲線分布模擬的偏態(tài)分布數(shù)據(jù)對概化理論各種方法估計(jì)方差分量有影響。分析三種模擬的偏態(tài)分布數(shù)據(jù)的vc.p、vc.i和vc.pi偏差，發(fā)現(xiàn)未校正的Bootstrap方法和MCMC non-inf方法偏差較大，而Traditional方法、Jackknife方法、校正的Bootstrap方法和MCMC inf方法偏差相對較小。從總的趨勢看，隨著偏度值減小，各種方法估計(jì)的方差分量偏差逐漸減小。

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