隨機(jī)占優(yōu)條件下的小樣本排列檢驗(yàn)方法

鮑繼業(yè)，龔 樸，張 恒

（華中科技大學(xué)管理學(xué)院，武漢 430074）

1 相關(guān)文獻(xiàn)

隨機(jī)占優(yōu)方法為比較數(shù)據(jù)累積分布函數(shù)的關(guān)系提供了一種理論上的支持，但是隨機(jī)占優(yōu)方法處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常面臨的是離散數(shù)據(jù)。大多數(shù)文獻(xiàn)均采用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)（EDF）來(lái)替代理論分析中的累積分布函數(shù)（CDF）。經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)之所以應(yīng)用廣泛，還在于其優(yōu)良的性質(zhì)（Zacks[1]）。關(guān)于隨機(jī)占優(yōu)的比較方法，從理論提出之日，研究就一直沒(méi)有間斷。近半個(gè)多世紀(jì)來(lái)，主要的方法都是基于大樣本的統(tǒng)計(jì)，因?yàn)榇髷?shù)定理、中心極限定理等公式在數(shù)學(xué)推導(dǎo)上保證了大樣本檢驗(yàn)中具有的優(yōu)良漸近性質(zhì)。例如，McFadden[2]（1989）提出Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證一階隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，但是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不是易于處理的解析表達(dá)式；Kaur，Rao和Singh[3]（1994）使用分布的下確界作為統(tǒng)計(jì)量給出KRS檢驗(yàn)，但是這個(gè)檢驗(yàn)條件需滿足觀測(cè)值相互之間不相關(guān)，并且對(duì)于超過(guò)兩個(gè)分布的情況缺乏檢驗(yàn)力度；Anderson[4]（1996）基于Pearson的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（goodness of fit），提出非參數(shù)檢驗(yàn)方法，該方法構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布，但是檢驗(yàn)力度有待進(jìn)一步研究；Davidson-Duclos[5]（2000）比較兩個(gè)分布的有限數(shù)據(jù)，運(yùn)用新的方法處理Anderson的假設(shè)檢驗(yàn)；Barrett和Donald[6]（2003）擴(kuò)展了McFaddende的檢驗(yàn)方法，基于上確界構(gòu)造統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量，并且適用于不匹配的樣本組（即樣本容量不同）。該方法的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量收斂于布朗橋（Brownian bridge），需要借助于自助方法（bootstrap method）。

由此可看出，大多數(shù)隨機(jī)占優(yōu)檢驗(yàn)的方法都是構(gòu)造漸近統(tǒng)計(jì)量，在樣本量較大的條件下利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸近性質(zhì)。雖然漸進(jìn)性質(zhì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上理論充實(shí)，但我們還是無(wú)法知道這些檢驗(yàn)在處理有限樣本時(shí)的表現(xiàn)，因此在處理小樣本時(shí)，不能貿(mào)然使用。并且，從上述檢驗(yàn)方法的構(gòu)造原理和隨機(jī)占優(yōu)的定義可知，構(gòu)造一個(gè)二階或高階的檢驗(yàn)方法是非常困難的。

排列檢驗(yàn)方法的思想是：獲取研究問(wèn)題的樣本，按照排列組合的原理，導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的近似分布，通過(guò)構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量，根據(jù)該分布界定問(wèn)題的概率值，最后得出推論。Tolley和Pope[7]（1988）嘗試提出了小樣本的隨機(jī)占優(yōu)檢驗(yàn)，但該方法只是提供了驗(yàn)證單個(gè)樣本點(diǎn)的結(jié)論，無(wú)法應(yīng)用于整個(gè)樣本范圍內(nèi)的比較分析。Giancristofaro,Bonnini和Pesarin[8]（2009）提出一種非參數(shù)排列檢驗(yàn)的方法，用以檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量樣本差異，并且指出其檢驗(yàn)方法同隨機(jī)占優(yōu)檢驗(yàn)方法之間的聯(lián)系。Pesarin和Salmaso[9]（2010）為解決變量數(shù)目大于樣本容量的問(wèn)題，拓展了前人的工作，探討有限樣本排列檢驗(yàn)方法一致性的特點(diǎn)，并給出對(duì)任意預(yù)設(shè)值時(shí)的充分條件。排列檢驗(yàn)方法本質(zhì)上基于大量的計(jì)算，計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展使得該方法在近十年來(lái)在生物醫(yī)學(xué)、行為科學(xué)和科技工程等多學(xué)科受到了廣泛的關(guān)注。

本文另辟蹊徑，基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的排列檢驗(yàn)方法，將隨機(jī)占優(yōu)定義構(gòu)造成檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，為二階隨機(jī)占優(yōu)提供一個(gè)在小樣本條件下的非參數(shù)檢驗(yàn)方法。這個(gè)方法僅僅取決于觀測(cè)的數(shù)據(jù)以及檢驗(yàn)時(shí)對(duì)原始數(shù)據(jù)全排列后的數(shù)據(jù)，雖然原始數(shù)據(jù)為小樣本，采取排列方法之后仍可為相應(yīng)的分析提供大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

2 小樣本統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)排列檢驗(yàn)

排列檢驗(yàn)最初由Fisher提出，檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)是否來(lái)自于同一分布。排列檢驗(yàn)方法的依據(jù)為，若在給定零假設(shè)為兩組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自同一分布的條件下，觀測(cè)數(shù)據(jù)與排列后數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量類似；如果觀測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量為排列結(jié)果中的極端值情形，我們即可認(rèn)為數(shù)據(jù)來(lái)自不同總體，從而拒絕零假設(shè)。這樣的檢驗(yàn)方法就是排列檢驗(yàn)。檢驗(yàn)中需要關(guān)注以下幾個(gè)問(wèn)題：

⑴兩組樣本的相似性通過(guò)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)衡量。但遺憾的是，并沒(méi)有理論的方法可供利用來(lái)選取最優(yōu)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

⑵拒絕域的計(jì)算基于觀測(cè)數(shù)據(jù)的排列結(jié)果，檢驗(yàn)由實(shí)際數(shù)據(jù)所確定。盡管總體分布是存在，但是運(yùn)算中不涉及任何關(guān)于分布的參數(shù)和形式方面的信息，這表明檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)屬于典型的非參數(shù)檢驗(yàn)。

⑶拒絕域的計(jì)算必須基于觀測(cè)的數(shù)據(jù)。

⑷檢驗(yàn)的臨界值限定了在拒絕域中統(tǒng)計(jì)量的值。在零假設(shè)條件成立的條件下，所有的排列數(shù)據(jù)中，拒絕域中包括了與統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量有關(guān)的極端值樣本結(jié)果。

2.2 融合隨機(jī)占優(yōu)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

假設(shè)有兩組觀測(cè)數(shù)據(jù)A和B，相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為：

其中m和n為相應(yīng)的樣本容量，I為示性函數(shù)。

檢驗(yàn)假設(shè)如下：

原假設(shè)H0：B不存在二階占優(yōu)于A的關(guān)系。

備選假設(shè)H1：B二階占優(yōu)于A。

檢驗(yàn)的步驟如下：

⑴選取一個(gè)與數(shù)據(jù)有關(guān)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并且在原假設(shè)和備選假設(shè)為真的條件下具有不同的概率結(jié)構(gòu)。

⑵確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值Vα，即在原假設(shè)成立的條件下，在拒絕域中統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量的概率不超過(guò)事先設(shè)定的概率。

⑶確定觀測(cè)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是否落入拒絕域。如果是，則拒絕H0支持H1；否則就不能拒絕H0。

檢驗(yàn)第一步，即要求一個(gè)合理反映假設(shè)檢驗(yàn)要求的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。為了融入隨機(jī)占優(yōu)的理論，先給出二階隨機(jī)占優(yōu)的定義：

兩資產(chǎn)（A和B）回報(bào)的累積分布函數(shù)為FA和FB，B二階占優(yōu)于 A當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)所有取值 x，存在并且至少存在一個(gè) x0使得不等式嚴(yán)格成立。（具體證明可參考Levy[10]（2006））。

參照定義，同時(shí)結(jié)合經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的形式，給出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

其中，x(i)和y(i)為從小到大的排序后的數(shù)組，k滿足x(k)≤x,x(k+1)＞ x ，l滿足 x(l)≤x,y(l+1)＞x 。

其中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ST的拒絕域判定法則為：

⑴若對(duì)任意的x，ST都不存在顯著小于零的情形；且對(duì)某些x值，ST顯著大于零，則我們可以拒絕H0支持H1。

⑵根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的對(duì)稱表示形式，對(duì)照（1）的結(jié)論存在：若對(duì)任意的x，ST都不存在顯著大于零的情形；且對(duì)某些x值，ST顯著小于零；則我們不能拒絕H0，并且A二階占優(yōu)于B。

⑶其他情形出現(xiàn)時(shí)，則不能拒絕H0，并且可以得出A和B之間不存在二階隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系。

判定法則中的顯著程度可借用拒絕域?qū)?yīng)的值來(lái)描述。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ST為關(guān)于實(shí)際值x的函數(shù)，每一次根據(jù)兩組樣本算出一次檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果。用于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)來(lái)自所有排列計(jì)算后的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，顯著性的判定基于給出的拒絕域范圍，即

其中α1和α2為事先設(shè)定的概率。

實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量ST的顯著性判斷順理成章的被歸納如下，為表述上的方便，令

至此，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法的實(shí)施程序建立完畢。

3 實(shí)例分析

3.1 可轉(zhuǎn)換債券的數(shù)據(jù)

本文重點(diǎn)在于闡述統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法的應(yīng)用，故只關(guān)注于可轉(zhuǎn)換債券發(fā)行宣告事件前后公司股價(jià)績(jī)效的比較，采用排列檢驗(yàn)的方法，無(wú)需計(jì)算異常報(bào)酬率，直接比較目標(biāo)事件（例如，可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行宣告）發(fā)生前后股價(jià)的發(fā)展趨勢(shì)，用以說(shuō)明事件的發(fā)生對(duì)公司股價(jià)帶來(lái)的影響。

本文的分析對(duì)象包括：上海證券交易所市場(chǎng)上的全部13只未到期的可轉(zhuǎn)換債券，深圳證券交易所市場(chǎng)上的全部6只未到期的可轉(zhuǎn)換債券。參照文中提出的排列檢驗(yàn)方法，編制相應(yīng)程序?qū)崿F(xiàn)運(yùn)算，研究市場(chǎng)上這19只可轉(zhuǎn)換債券在各自發(fā)行宣告日前后股價(jià)的變化。在宣告日前后時(shí)間選取上，本文均選用了8日的時(shí)間長(zhǎng)度（時(shí)間太短不能完全包括目標(biāo)事件的影響，時(shí)間選取過(guò)長(zhǎng)會(huì)受諸多因素的影響），兩側(cè)的拒絕域的顯著性水平均選取為10%，檢驗(yàn)假設(shè)中B表示發(fā)行宣告日之后的股價(jià)樣本，A表示發(fā)行宣告日之前的股價(jià)樣本。根據(jù)檢驗(yàn)方法的步驟，用matlab編程實(shí)現(xiàn)檢驗(yàn)比較時(shí)，排列后的數(shù)據(jù)量為

3.2 可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)行宣告效果

表1 可轉(zhuǎn)換債券發(fā)行宣告效應(yīng)統(tǒng)計(jì)表

從表1的結(jié)果可以看出，在10%的拒絕水平下，發(fā)行日之前公司股價(jià)表現(xiàn)占優(yōu)于之后的可轉(zhuǎn)換債券共有12只，即發(fā)行宣告事件對(duì)公司股價(jià)帶來(lái)了不利的影響，隨后的一周多時(shí)間內(nèi)股價(jià)表現(xiàn)弱于發(fā)行宣告事件前的股價(jià)；發(fā)行日之后占優(yōu)于之前的可轉(zhuǎn)換債券有4只，即發(fā)行宣告事件對(duì)公司股價(jià)產(chǎn)生了有利的推動(dòng)；不存在占優(yōu)關(guān)系的可轉(zhuǎn)換債券有3只，即說(shuō)明發(fā)行宣告事件對(duì)股價(jià)沒(méi)有產(chǎn)生明顯的影響。

4 結(jié)論

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中的大多數(shù)方法均基于大樣本的數(shù)據(jù)，但是排列檢驗(yàn)方法為區(qū)分小樣本之間的差異提供了系統(tǒng)的框架。為融合隨機(jī)占優(yōu)的完善定義和排列檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，本文提出了一個(gè)隨機(jī)占優(yōu)條件下的小樣本排列檢驗(yàn)方法。雖然針對(duì)的對(duì)象為小樣本，從構(gòu)造原理上分析，排列檢驗(yàn)的方法處理的數(shù)據(jù)仍然是相當(dāng)龐大的。該統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法既充分利用了小樣本中數(shù)據(jù)的效率，又合理融入隨機(jī)占優(yōu)的理論，解決了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中的小樣本比較問(wèn)題。

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