關(guān)于“扇形的面積”的教學(xué)指導(dǎo)研究報(bào)告

俞宏毓，顧非石

（1．紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，浙江 紹興 312000；2．華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海 200241；3．上海市徐匯區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院，上海 200231）

1 研究背景

2011年2月，顧泠沅教授組織發(fā)起對教師發(fā)展指導(dǎo)者工作的研究，并且同美國的Paine Lynn教授、日本的Takashi Nakamura教授等人合作，進(jìn)行關(guān)于教師發(fā)展指導(dǎo)者的國際比較研究．教師發(fā)展指導(dǎo)者項(xiàng)目的研究，是顧泠沅教授領(lǐng)銜的青浦實(shí)驗(yàn)研究的延續(xù)，目的是通過對教師發(fā)展指導(dǎo)者工作現(xiàn)狀的研究，分析其優(yōu)勢和不足，并探索如何提高其自身素養(yǎng)和指導(dǎo)水平，從而使其更好地為促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展服務(wù)，同時(shí)通過國際比較進(jìn)行取長補(bǔ)短．和青浦實(shí)驗(yàn)以往的做法一樣，這次的項(xiàng)目也是從數(shù)學(xué)學(xué)科開始的[1]．2011年 5月下旬，顧泠沅教授組織了一個(gè)23人的研究團(tuán)隊(duì)，在浙江義烏進(jìn)行了一周的預(yù)研究實(shí)驗(yàn)，于9月份在上海市青浦教師進(jìn)修學(xué)院對實(shí)驗(yàn)的材料進(jìn)行了精致化的分析，得出了教師發(fā)展指導(dǎo)者工作的分析框架，并在9月底的中、日、美3國會(huì)議上進(jìn)行了交流．（詳見文[2]）在該次會(huì)議上，三方達(dá)成一致，將教師發(fā)展者界定為教研員、第一線的專家教師和大學(xué)等教育研究機(jī)構(gòu)的課程教學(xué)研究人員的總體．

2011年10月起，在顧泠沅教授的號(hào)召下，上海市的青浦等區(qū)大面積開展各學(xué)科、各學(xué)段的實(shí)驗(yàn)研究．2011年底在青浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)開展的關(guān)于“扇形的面積”的教學(xué)指導(dǎo)研究活動(dòng)是其中之一．顧泠沅教授根據(jù)自己多年從事教研員工作及教師教育研究的經(jīng)驗(yàn)，指出教師發(fā)展指導(dǎo)的軟肋是教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)．因此對這次“扇形的面積”的教學(xué)指導(dǎo)活動(dòng)，顧泠沅教授提出了一個(gè)全新的設(shè)計(jì)方案，運(yùn)用行動(dòng)教育模式驗(yàn)證其有效性．

2 研究過程與方法

2.1 參與人員與研究對象

上海市青浦區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，是一所公辦初級中學(xué)，其前身是有八十多年歷史的青浦中學(xué)初中部，現(xiàn)為上海市文明單位，是上海市課程教學(xué)改革基地學(xué)校．學(xué)校每個(gè)年級有 14個(gè)平行班，班級規(guī)模一般在55人左右．

2011年11月下旬開始，青浦教師進(jìn)修學(xué)院宋偉倩等教師、徐匯區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院科研員顧非石、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系研究生俞宏毓等 3人以及青浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)的忻映霞等數(shù)學(xué)教師，在青浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)進(jìn)行了延續(xù)一個(gè)月的教學(xué)指導(dǎo)研究活動(dòng)．其中青浦教師進(jìn)修學(xué)院的宋偉倩和肖彩鳳作為區(qū)域?qū)用娴慕處煱l(fā)展指導(dǎo)者角色，青浦實(shí)驗(yàn)中學(xué)的專家教師忻映霞和班麗娜作為學(xué)校層面的教師發(fā)展指導(dǎo)者的角色．參加活動(dòng)的執(zhí)教教師是有6年教齡的男教師宋秦．宋秦老師畢業(yè)于上海師范大學(xué)的小學(xué)教育專業(yè)，職稱為中教二級．執(zhí)教的班級是六年級的3個(gè)平行班，各班學(xué)生基礎(chǔ)相當(dāng)．

2.2 研究材料

執(zhí)教內(nèi)容是上海教育出版社的六年級上冊“4.4 扇形的面積”．這節(jié)課主要是學(xué)習(xí)扇形面積的兩個(gè)公式及其應(yīng)用．在這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的周長和弧長以及圓的面積．

2.3 研究思路與過程

活動(dòng)采用顧泠沅教授的“三個(gè)關(guān)注、兩個(gè)反思”的行動(dòng)教育模式，上了3次課，每次課后召開教學(xué)指導(dǎo)會(huì)議．根據(jù)行動(dòng)教育模式，第一次課是執(zhí)教教師自己設(shè)計(jì)的原生態(tài)課．指導(dǎo)會(huì)議首先由執(zhí)教教師陳述對教學(xué)的看法及教學(xué)的得失，然后教師發(fā)展指導(dǎo)者點(diǎn)評、提出改進(jìn)意見．第一次課后的指導(dǎo)會(huì)議，教師發(fā)展指導(dǎo)者和執(zhí)教教師根據(jù)顧泠沅教授的設(shè)計(jì)思路，討論確定第二次上課的教學(xué)設(shè)計(jì)．第二次課后的指導(dǎo)會(huì)議，根據(jù)設(shè)計(jì)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)的差距，重在教學(xué)行為上的改進(jìn)．

3次課都進(jìn)行了前后測試，測試題由顧泠沅教授親自設(shè)計(jì)，其中后測分兩次進(jìn)行，分別考察學(xué)生應(yīng)用扇形面積公式的能力和公式推導(dǎo)能力（見附錄）．活動(dòng)中分別對教師發(fā)展指導(dǎo)者、執(zhí)教教師和學(xué)生進(jìn)行了深度訪談，每次訪談都進(jìn)行了錄音．

活動(dòng)的課堂和會(huì)議都進(jìn)行了全程錄像，并轉(zhuǎn)化成了文本，運(yùn)用錄像帶分析法進(jìn)行分析．首先對課堂教學(xué)的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，展現(xiàn)執(zhí)教教師3次課教學(xué)的異同，分析其進(jìn)步的歷程．然后通過對3次課測試結(jié)果的比較，分析教學(xué)效果的差異，并結(jié)合訪談的結(jié)果，驗(yàn)證新設(shè)計(jì)思路的有效性．

3 新設(shè)計(jì)基本思路

顧泠沅教授的新設(shè)計(jì)思路是通過復(fù)習(xí)推導(dǎo)圓面積公式的分割和拼接過程，引導(dǎo)得出如圖1），然后由部分與整體關(guān)系得出兩個(gè)公式的一致性．為幫助學(xué)生對公式進(jìn)行相互推導(dǎo)，還借助另外一個(gè)公式公式②），這個(gè)公式也可以由部分與整體關(guān)系得出．由公式②推出公式③相對比較直接．在課堂上，這3個(gè)公式可以讓學(xué)生通過探究得出．

練習(xí)的設(shè)計(jì)安排，除公式應(yīng)用的常規(guī)題之外，最后設(shè)計(jì)了一個(gè)拓展題，讓學(xué)生思考如何求圖2所示扇環(huán)的面積．

圖1 圓面積公式推導(dǎo)

圖2 求扇環(huán)面積

4 三次教學(xué)情況比較分析

4.1 整體結(jié)構(gòu)比較

4.1.1 基本教學(xué)流程概觀

第一、三次課的整體結(jié)構(gòu)如圖3所示．第二次課除了讓學(xué)生通過特殊角的扇形來探究面積公式外，其它環(huán)節(jié)與第三次課基本一致．

4.1.2 三次課教學(xué)用時(shí)分布3次課教學(xué)用時(shí)分布如表1所示．

圖3 第一和第三次課的整體結(jié)構(gòu)

表1 3次課教學(xué)用時(shí)分布

4.1.3 主要變化

通過對3節(jié)課教學(xué)流程的概括和3次課教學(xué)用時(shí)分布可以看出，執(zhí)教教師在活動(dòng)過程中對同一內(nèi)容的3次執(zhí)教行為發(fā)生了很大變化．這里僅分析4個(gè)比較顯著方面．（1）復(fù)習(xí)引入．執(zhí)教教師原生態(tài)的引入方式是用和教材一樣的方法，通過復(fù)習(xí)三色陀螺引入．而改進(jìn)后的第二、三次課是通過復(fù)習(xí)圓面積公式的原理．這種安排為幫助學(xué)生探究公式設(shè)置了有效的鋪墊．（2）扇形概念．關(guān)于扇形概念，第二次和第三次課都設(shè)置了扇形變式圖形的辨析，加強(qiáng)學(xué)生對扇形概念本質(zhì)的理解．（3）公式探究．第一次課讓學(xué)生探究，而公式則由教師通過將弧長公式替代進(jìn)入經(jīng)過變形得到．課后研究者詢問執(zhí)教教師為什么這樣處理，執(zhí)教教師回答是因?yàn)楣烙?jì)學(xué)生無法通過推導(dǎo)得出公式第二、三次課通過復(fù)習(xí)圓面積公式的原理來引導(dǎo)學(xué)生探究扇形面積公式，一部分學(xué)生通過探究是可以得出3個(gè)公式的．第二次課教師又安排了學(xué)生通過特殊角的扇形來探究扇形面積公式，縮小了探究空間，說明這一次課執(zhí)教教師對研究者的設(shè)計(jì)意圖的理解并不透徹．（4）各環(huán)節(jié)所占時(shí)間．從3次課時(shí)間分布的情況來看，3次課有很大差異．特別是公式探究和公式應(yīng)用所用時(shí)間差別較大．第一次課，公式探究用時(shí)16′27″，占整節(jié)課的41.1%，公式應(yīng)用17′45″，占整節(jié)課的44.3%．第二和第三次課，公式探究時(shí)間比第一次課用時(shí)長，分別為 22′1″和 25′12″，占比高達(dá) 50%和 57%．這是符合現(xiàn)在課堂教學(xué)注重學(xué)生探究的理念的．相應(yīng)地，第二、三次課公式應(yīng)用用時(shí)就短了，分別為 15′43″和 13′30″．

4.2 三次課教學(xué)效果的對比

從3次課后測試的結(jié)果來看，3次課的教學(xué)效果有很大差別，第三次課的效果明顯優(yōu)于第一、二次課．

圖4 正確理解的人數(shù)比率

4.2.2 關(guān)于公式的相互推導(dǎo)

圖5 公式相互推導(dǎo)檢測結(jié)果

4.2.3 關(guān)于公式的應(yīng)用

圖6 公式的簡單應(yīng)用

關(guān)于扇形面積公式的靈活應(yīng)用，設(shè)計(jì)的題目是可以讓學(xué)生選擇條件和相應(yīng)公式的．從正確率來看，3次課分別為81.1%、64.2%和 86%．從靈活性來看，第一次課后學(xué)生只會(huì)機(jī)械代公式計(jì)算，第二次課有18.9%的學(xué)生會(huì)用簡便的方法求出結(jié)果，第三次課有30.2%的學(xué)生會(huì)用簡便方法．

關(guān)于公式的實(shí)際應(yīng)用，從測試結(jié)果來看（如圖 7），第一次課正確人數(shù)占比為26.4%，第二次課為18.9%，第三次課提高到32.6%．從課堂教學(xué)情況來看，對于拓展題，第二和第三次課，已經(jīng)有很多學(xué)生可以把扇環(huán)想象為梯形，猜出扇環(huán)形的面積為學(xué)生的思維得到了拓展．

圖7 公式的實(shí)際應(yīng)用

從應(yīng)用測試的結(jié)果來看，雖然第三次課探究公式耗時(shí)最多，導(dǎo)致公式應(yīng)用練習(xí)相對較少，但是并不影響學(xué)生正確掌握公式的應(yīng)用．

5 指導(dǎo)者的體會(huì)

參與這次教研活動(dòng)的指導(dǎo)者對設(shè)計(jì)改進(jìn)的效果有非常深刻的體會(huì)．下面是對專家教師和區(qū)域?qū)用嬷笇?dǎo)者的訪談片段，時(shí)間節(jié)點(diǎn)都是在第三次指導(dǎo)會(huì)議結(jié)束后．

（1）專家教師訪談片段．

訪談人：通過這樣一次活動(dòng)您有哪些體會(huì)？

專家教師：通過這樣一個(gè)活動(dòng)，這個(gè)課無論從對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探討和這個(gè)上課的順序以及我們現(xiàn)在比較講究的課堂效率來說，經(jīng)過這樣一次打磨，那前后肯定不一樣的．我們考慮的深度完全沒有顧老師來幫我們指導(dǎo)的這么深刻．我們前面還是比較多的關(guān)注教材面上的知識(shí)，就是比如說前后聯(lián)系銜接好，類比、局部、部分與整體等，這些都是能夠講到的，包括公式、學(xué)生的應(yīng)用，這些面上的應(yīng)該是基本上能夠完成的，但是沒能夠像經(jīng)過這樣一輪的探討之后，提到這樣的深度．方方面面的局部和整體，從各個(gè)角度各個(gè)元素上面去考慮局部與整體，以及互相之間的關(guān)聯(lián)，這些肯定沒有顧老師跟我們這樣點(diǎn)過了之后這么深，這么多年教下來，基本上沒有提到過往往就是像書本一樣的，通過扇形的圓心角公式和弧長公式推導(dǎo)出S扇

訪談人：這種代數(shù)推導(dǎo)，學(xué)生不一定能從幾何上去理解．

專家教師：是的．印象非常深刻的，還有一個(gè)就是最后我們以前做題從來沒有做到梯形舞臺(tái)這個(gè)畫成這個(gè)曲的這種梯形，曲邊三角形倒是也會(huì)提到的，因?yàn)檫@個(gè)是會(huì)想到的，但是扇環(huán)形、梯形幾乎是想不到．所以說這個(gè)深度是達(dá)不到的．

而且從上課上下來的這個(gè)效果來看，我們以往可能會(huì)通過一些具體的題目來發(fā)現(xiàn)這通過這樣的設(shè)計(jì)之后，就不需要具體的了，也不需要數(shù)字了，通過后面的一節(jié)課檢查下來，學(xué)生通過圖形、字母也理解了這兩個(gè)公式．

訪談人：數(shù)形結(jié)合比較到位．

專家教師：對的．

（2）區(qū)域?qū)用嬷笇?dǎo)者訪談片段．

訪談人：就是這樣一次活動(dòng)，您自身有哪些體會(huì)??？

區(qū)域?qū)用嬷笇?dǎo)者：個(gè)人的感覺，就是參加這個(gè)活動(dòng)之后，自己也是一個(gè)理解教材的過程．最重要我們在做前面那個(gè)新舊知識(shí)的銜接，本節(jié)課的新的知識(shí)怎么和學(xué)生已有的知識(shí)建立本質(zhì)的聯(lián)系，這個(gè)方面確實(shí)想得多了點(diǎn)．然后，這個(gè)第三個(gè)公式實(shí)際上在我們平時(shí)的指導(dǎo)當(dāng)中，肯定是不敢用．就是說，即使你有這個(gè)想法也不敢拿出來．現(xiàn)在呢，可以把它拿出來，拿出來之后呢，直接讓它建立一個(gè)本質(zhì)的聯(lián)系．從思想方法上是一個(gè)本質(zhì)的聯(lián)系，從公式的內(nèi)部結(jié)構(gòu)來講也是一個(gè)本質(zhì)的聯(lián)系．這次教研活動(dòng)我感覺收獲很大．

6 啟示與展望

教師專業(yè)發(fā)展需要指導(dǎo)者，關(guān)于教師發(fā)展指導(dǎo)者的研究正在進(jìn)行中．顧泠沅教授認(rèn)為，教師發(fā)展指導(dǎo)者的工作元素有4項(xiàng)：前端分析、任務(wù)設(shè)計(jì)、過程測評和行為改進(jìn)．前端分析和過程測評，是教學(xué)必須以學(xué)生的發(fā)展為本的兩個(gè)重要方面，任務(wù)設(shè)計(jì)和行為改進(jìn)，是教師工作專業(yè)化的兩項(xiàng)基本實(shí)踐．關(guān)鍵在于怎樣基于學(xué)情以及課程改革要求設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)，怎樣通過過程測評不斷改進(jìn)教學(xué)過程．中國的教研指導(dǎo)水平很高，但這兩項(xiàng)目前尚是瓶頸．

此次教學(xué)研究活動(dòng)，是教師發(fā)展指導(dǎo)者根據(jù)學(xué)情和對學(xué)科知識(shí)分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行設(shè)計(jì)改進(jìn)的一個(gè)案例．從教學(xué)效果來看，這次設(shè)計(jì)是卓有成效的．教師發(fā)展指導(dǎo)者和教師應(yīng)該具有創(chuàng)新精神，不僅要從行為上改進(jìn)教學(xué)，更要注重設(shè)計(jì)思路的改進(jìn)．

關(guān)于教師發(fā)展指導(dǎo)者的工作，美方和日方也在積極研究中，美方的Lynn Paine教授主要研究教師發(fā)展指導(dǎo)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)問題，日方重點(diǎn)放在課例（Lesson Study）的研究上．研究者即將進(jìn)行更多的后續(xù)研究，如教師發(fā)展指導(dǎo)者如何進(jìn)行課前指導(dǎo)，對新老教師指導(dǎo)的差異有哪些，以及教師發(fā)展指導(dǎo)者自身的專業(yè)發(fā)展等，并即將推出一個(gè)教師發(fā)展指導(dǎo)者工作的模式．

[1]王潔，顧泠沅．行動(dòng)教育——教師在職學(xué)習(xí)的范式革新[M]．上海：華東師范大學(xué)出版社，2007．

[2]顧泠沅．教師發(fā)展指導(dǎo)者工作的研究[R]．上海：中、美、日三國教師發(fā)展指導(dǎo)者預(yù)研究研討會(huì)，2011．

[3]李士锜，楊玉東．教學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的進(jìn)化與繼承——對兩節(jié)錄像課的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003，12（3）：5-9．

[4]James W Stigler, Shin-ying Lee, Harold W Stevenson. Mathematics Classrooms in Japan, Taiwan, and the United States[J]. Child Development, Special Issue on Schools and Development, 1987, 58(5): 1 272-1 285.

[5]顧非石，俞宏毓，顧泠沅．探究學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與改進(jìn)——關(guān)于一個(gè)課例的述評[J]．課程教材教法，2012，（5）：116-119．

[6]黃興豐，龐雅麗，李士锜．?dāng)?shù)學(xué)課堂教師教學(xué)行為的繼承和發(fā)展——3節(jié)錄像課的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（6）：54-57．

[7]斯海霞，葉立軍．新老教師數(shù)學(xué)抽象概括教學(xué)差異的比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010，19（6）：53-55．