中澳高中數(shù)學(xué)教材的比較及啟示:以澳大利亞VCE課程與人教版高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)與映射章節(jié)為例
2013-07-20 05:41:38張笑謙胡典順
數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào) 2013年2期
張笑謙，胡典順 ，2
（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．華中師范大學(xué) 教師教育學(xué)院，湖北 武漢 430079）
1 引 言
VCE（Victoria Certificate of Education）是澳大利亞維多利亞州課程評(píng)估署（Victorian Curriculum and Assessment Authority，簡(jiǎn)稱(chēng)VCAA）所頒發(fā)的大學(xué)預(yù)科（高中）課程合格證書(shū)，其課程內(nèi)容主要面向該國(guó)十年級(jí)后的學(xué)生，與中國(guó)高中學(xué)生年齡及學(xué)力層次相當(dāng)．獲得此證書(shū)的學(xué)生可以直接申請(qǐng)進(jìn)入澳大利亞的大學(xué)．
由于VCE課程在國(guó)際上享有盛名，不但在本國(guó)學(xué)生中有很強(qiáng)的影響力，也是許多國(guó)際高中學(xué)生的首選課程之一．完成其課程的學(xué)生學(xué)力水平受到歐美澳各國(guó)大學(xué)的普遍承認(rèn)，因此其課程內(nèi)容是研究者進(jìn)行課程設(shè)計(jì)和評(píng)估的良好參照樣本，也是中國(guó)新課程改革可以依據(jù)的良好樣本．
這里將通過(guò)對(duì)比較分析 IBID出版社出版的 Mathematics: Higher Level (core) 教材與中國(guó)人民教育出版社出版的數(shù)學(xué)1必修（A版）教材中函數(shù)與映射相關(guān)的章節(jié)，就知識(shí)順序，知識(shí)設(shè)置，知識(shí)處理方式，習(xí)題設(shè)置4個(gè)維度進(jìn)行比較，提出對(duì)中國(guó)教材內(nèi)容改進(jìn)的建議，為今后更為細(xì)致地研究積累材料．
2 中澳高中數(shù)學(xué)教材比較
2.1 中澳教材知識(shí)順序的比較
2.1.1 中澳教材知識(shí)順序比較概覽
函數(shù)與映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)奠基性的知識(shí)之一，也是高中數(shù)學(xué)必修的內(nèi)容，Mathematics: Higher Level (core) 教材使用第五章一章進(jìn)行介紹，共分為4節(jié)；人教版數(shù)學(xué)1必修（A版）教材使用全書(shū)共分3章進(jìn)行介紹，共分為7節(jié)，其內(nèi)容對(duì)照如表1所示．
需要說(shuō)明的是，由于澳大利亞將集合的定義及運(yùn)算相關(guān)內(nèi)容安排在初中學(xué)習(xí)，因此，為保證比較范圍對(duì)等，這里未將中國(guó)人教版（A版）教材中第一章1.1節(jié)“集合”納入比較的范圍之內(nèi)．
2.1.2 中澳教材在知識(shí)點(diǎn)安排順序上區(qū)別明顯
通過(guò)比較，澳大利亞教材的章節(jié)安排按照由淺入深的直線型順序?qū)χR(shí)進(jìn)行安排．這種知識(shí)安排方式，最大程度地尊重了知識(shí)發(fā)生的過(guò)程，能夠幫助學(xué)生一氣呵成地理解整個(gè)知識(shí)版塊的結(jié)構(gòu)；學(xué)生所學(xué)知識(shí)由淺入深，由直觀到抽象，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的模式．并且由于知識(shí)內(nèi)容的逐漸深入，教材本身即能夠傳遞給學(xué)生將生活中的情境逐漸抽象成為數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究的思想，幫助學(xué)生更好地進(jìn)入數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍．
相對(duì)比，中國(guó)教材的章節(jié)安排則呈現(xiàn)出一種拋物線型的模式，在前期部分強(qiáng)調(diào)由淺入深的知識(shí)發(fā)生過(guò)程；在后期部分更重視回歸直觀現(xiàn)實(shí)，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)回歸實(shí)際問(wèn)題的能力．中國(guó)新課程標(biāo)準(zhǔn)中要求，學(xué)生應(yīng)通過(guò)課堂學(xué)習(xí)，掌握將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到生活生產(chǎn)實(shí)際的能力．人教版的教材很好地滿足了新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求；但其局限性在于，由于知識(shí)內(nèi)容有限，剛剛進(jìn)入抽象性數(shù)學(xué)理論的學(xué)習(xí)，就回歸具體的實(shí)際問(wèn)題，在營(yíng)造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍上則有所不足．
可見(jiàn)，澳大利亞的數(shù)學(xué)教材更多地注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)能力，希望通過(guò)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，為大學(xué)學(xué)習(xí)更抽象系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論打好基礎(chǔ)，注重學(xué)生學(xué)術(shù)方面的發(fā)展．中國(guó)的數(shù)學(xué)教材則更注重生活實(shí)際，強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用，希望幫助學(xué)生培養(yǎng)快速地將所學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力的能力．另外，中澳教材在函數(shù)和映射兩知識(shí)點(diǎn)的先后順序，基本初等函數(shù)和函數(shù)基本性質(zhì)的先后順序兩方面差異明顯，值得探討．
表1 函數(shù)與映射章節(jié)設(shè)置一覽
2.2 中澳教材知識(shí)設(shè)置的比較
2.2.1 中澳教材中出現(xiàn)的相同和相似的知識(shí)點(diǎn)
中澳教材中共有如下7個(gè)相同的知識(shí)點(diǎn)：映射的定義，函數(shù)的定義，分段函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，反函數(shù)．其中，在分段函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)中，澳大利亞的教材通過(guò)函數(shù)圖象簡(jiǎn)單給出了“不嚴(yán)密（weak）”[1]的函數(shù)連續(xù)性定義，中國(guó)教材僅給出分段函數(shù)描述性定義[2]；在反函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)中，澳大利亞的教材給出了大量一般性的反函數(shù)相關(guān)知識(shí)，包括特征函數(shù)I(x)=x，，一般性的反函數(shù)定義、性質(zhì)和計(jì)算方法[1]，中國(guó)教材僅給出了模糊的定義和特例[2]．
2.2.2 中澳教材中出現(xiàn)的不同的知識(shí)點(diǎn)
中國(guó)教材中出現(xiàn)了如下4個(gè)獨(dú)有的知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及應(yīng)用，其中“函數(shù)與方程”和“函數(shù)模型及應(yīng)用”兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)偏重訓(xùn)練學(xué)生通過(guò)函數(shù)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力．澳大利亞教材中出現(xiàn)了如下4個(gè)獨(dú)有的知識(shí)點(diǎn)：映射的性質(zhì)，絕對(duì)值函數(shù)，函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合，其中函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算與復(fù)合知識(shí)點(diǎn)難度較大，具有很強(qiáng)的抽象性．
2.2.3 中澳教材知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置
從知識(shí)點(diǎn)的設(shè)置上看，中國(guó)偏向于直觀性較強(qiáng)的知識(shí)，如函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，函數(shù)在方程求解中的應(yīng)用和數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，學(xué)生能夠在教師的指導(dǎo)下通過(guò)實(shí)例訓(xùn)練來(lái)熟悉與掌握．這樣的知識(shí)點(diǎn)設(shè)置，符合新課程改革降低學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的要求，同時(shí)也能滿足在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力方面的要求．另外，中國(guó)教材中還滲透有現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想．例如中國(guó)教材在介紹正實(shí)數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算時(shí)，通過(guò)列表求近似值探究的近似值[2]，滲透無(wú)限逼近求極限的數(shù)學(xué)思想，而相對(duì)應(yīng)部分澳大利亞的教材則忽略了這一點(diǎn)．可見(jiàn)中國(guó)教材一定程度上滿足了新課標(biāo)對(duì)于數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)文化的滲透，如果教師能合理使用，非常有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展和數(shù)學(xué)品質(zhì)的形成．
另一方面，澳大利亞的教材偏向于抽象性較強(qiáng)的知識(shí)，強(qiáng)調(diào)為學(xué)生營(yíng)造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍．這一點(diǎn)在映射的定義，函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)合和反函數(shù)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)上體現(xiàn)得非常明顯．澳大利亞教材映射的定義以集合的笛卡爾積為基礎(chǔ)，構(gòu)建線性空間給出定義，即映射是可以表示為二維實(shí)數(shù)空間中一列有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的子集[1]，這里的映射特指實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射．反函數(shù)的定義以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，即定義特征函數(shù)I(x)=x，對(duì)任一函數(shù)f(x)，若存在函數(shù)f-1(x)使得則稱(chēng)與互為反函數(shù)[1]．這種以抽象性知識(shí)點(diǎn)為主的知識(shí)點(diǎn)設(shè)置形式，更加有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和理論分析能力，幫助學(xué)生更好地靠近現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的要求．
2.3 中澳教材知識(shí)處理方式的比較
2.3.1 中澳教材知識(shí)引入方式的比較
中國(guó)新課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)課程設(shè)置應(yīng)“在數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際方面需要大力加強(qiáng)”，“力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用”，“數(shù)學(xué)與日常生活及其它學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”[3]．根據(jù)這種理念，中國(guó)教材在大部分知識(shí)點(diǎn)的引入部分均采用現(xiàn)實(shí)實(shí)例，如函數(shù)的概念用“炮彈的射高”，“南極上空臭氧層空洞”和“我國(guó)城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)”3個(gè)實(shí)例[2]引入．指數(shù)函數(shù)用“我國(guó)GDP平均增長(zhǎng)率”和“生物死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14衰減規(guī)律”兩個(gè)實(shí)例[2]引入．而澳大利亞的教材僅在介紹映射的定義使用了“中學(xué)生年齡與體重的對(duì)照關(guān)系”一個(gè)實(shí)例[1]引入，其余知識(shí)點(diǎn)均以學(xué)過(guò)的知識(shí)發(fā)展得到．這種引入方式更加尊重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系的呈現(xiàn)，更有助于學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展系統(tǒng)性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．
2.3.2 中澳教材知識(shí)學(xué)習(xí)方式的比較
中澳教材的知識(shí)學(xué)習(xí)方式差異不大，均以引入，介紹新知識(shí)，例題分析組成．區(qū)別在于中國(guó)教材每一小節(jié)后會(huì)配有習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練，并在每節(jié)和每章后設(shè)有A、B兩組復(fù)習(xí)題，每章后設(shè)有實(shí)習(xí)作業(yè)和整章小節(jié)．澳大利亞的教材僅在每小節(jié)后設(shè)置習(xí)題，未設(shè)置小節(jié)或?qū)嵙?xí)作業(yè)．下面以指數(shù)函數(shù)小節(jié)為例，進(jìn)一步具體比較．
中國(guó)教材首先從前一小節(jié)學(xué)過(guò)的“生物死亡時(shí)間與體內(nèi)碳14衰減規(guī)律”實(shí)例引入，給出一般的指數(shù)函數(shù)的定義；然后選取多個(gè)不同的指數(shù)函數(shù)，通過(guò)描點(diǎn)法繪出函數(shù)圖象，通過(guò)函數(shù)圖象直觀總結(jié)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，并列表總結(jié)．接下來(lái)利用3個(gè)不同例題，分別訓(xùn)練學(xué)生利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求自變量或函數(shù)值，比較數(shù)的大小和實(shí)際應(yīng)用的能力．最后提出與實(shí)際相聯(lián)系的探究性問(wèn)題，給出練習(xí)題．澳大利亞的教材以描點(diǎn)法比較的圖象為起點(diǎn)，并考慮多個(gè)不同底數(shù)大于零的指數(shù)函數(shù)圖象后給出一般的指數(shù)函數(shù)定義．接下來(lái)通過(guò)考慮不同情況的底數(shù)時(shí)圖象的聯(lián)系和區(qū)別，總結(jié)指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，并列表總結(jié)．插入介紹自然對(duì)數(shù)后，通過(guò)4個(gè)例題訓(xùn)練學(xué)生指數(shù)函數(shù)及與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求值和作圖能力．
可見(jiàn)，中國(guó)的教材更注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用掌握的知識(shí)點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，而在學(xué)生思維發(fā)展方面安排不足，難度較低．澳大利亞的教材沒(méi)有設(shè)置實(shí)際問(wèn)題的講解和例題，著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，不斷加深難度，營(yíng)造數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的氛圍，為后續(xù)學(xué)習(xí)作鋪墊．澳大利亞教材的另一優(yōu)點(diǎn)在于信息技術(shù)與學(xué)習(xí)過(guò)程的緊密結(jié)合；中國(guó)教材中信息技術(shù)的應(yīng)用以課后閱讀材料的形式給出，而澳大利亞的教材則在知識(shí)介紹和例題解答過(guò)程中以插圖的形式穿插配合，不但案例多，而且更易于學(xué)生的學(xué)習(xí)和使用．中國(guó)教材的優(yōu)點(diǎn)在于課后小結(jié)以框圖的形式總結(jié)了本章知識(shí)點(diǎn)及相互關(guān)系，并以回顧與思考中的設(shè)問(wèn)形式幫助學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，分清重難點(diǎn)，有利于學(xué)生課后自主學(xué)習(xí)．
2.4 中澳教材習(xí)題設(shè)置的比較
中國(guó)教材函數(shù)與映射相關(guān)章節(jié)習(xí)題共分 3類(lèi)：小節(jié)練習(xí)，節(jié)后習(xí)題和全章復(fù)習(xí)參考題．其中節(jié)后習(xí)題與全章復(fù)習(xí)參考題按難度分為A、B組．澳大利亞教材相應(yīng)章節(jié)習(xí)題未分類(lèi)，均置于相關(guān)小節(jié)之后．具體數(shù)量如下：中國(guó)教材小節(jié)練習(xí)39道，節(jié)后A組66道，B組26道；復(fù)習(xí)參考題A組34道，B組16道；澳大利亞教材習(xí)題共有111題．從題目分類(lèi)來(lái)看，中國(guó)教材分類(lèi)更細(xì)致，有益于教師和學(xué)生選擇難度和數(shù)量適合的練習(xí)，澳大利亞的教材習(xí)題則更需要教師對(duì)教材和知識(shí)的把握和對(duì)學(xué)生情況的了解．
從習(xí)題涉及內(nèi)容上看，中國(guó)教材習(xí)題分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)訓(xùn)練和涉及實(shí)際問(wèn)題的習(xí)題兩類(lèi)．涉及實(shí)際問(wèn)題的習(xí)題大多數(shù)安排在節(jié)后習(xí)題和全章復(fù)習(xí)參考題中，約占總題數(shù)的50%～60%，大多數(shù)與現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)相聯(lián)系，體現(xiàn)了新課改中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)在應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際方面的需要．澳大利亞教材均為數(shù)學(xué)知識(shí)訓(xùn)練題，其訓(xùn)練角度較中國(guó)教材習(xí)題分類(lèi)更細(xì)致，每一題基本均對(duì)應(yīng)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．另外，其練習(xí)中大量出現(xiàn)復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)，其中部分難度較大，要求學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答．因此在深入訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)理論知識(shí)綜合運(yùn)用方面則更優(yōu)于中國(guó)教材，對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)更有益處．
3 思考與建議
3.1 關(guān)于教材編寫(xiě)應(yīng)如何切合知識(shí)發(fā)生過(guò)程
通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)，中國(guó)高中數(shù)學(xué)教材與澳大利亞數(shù)學(xué)教材，在知識(shí)的安排順序上有兩個(gè)重要的區(qū)別，即函數(shù)與映射概念的先后順序和基本初等函數(shù)和函數(shù)基本性質(zhì)的先后順序．究其原因，中國(guó)在初中設(shè)置函數(shù)版塊，介紹了簡(jiǎn)單的函數(shù)相關(guān)知識(shí)；而澳大利亞的數(shù)學(xué)課程中函數(shù)部分則完全是在高中完成．因此，中國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中，以初中函數(shù)相關(guān)知識(shí)作為背景，進(jìn)一步討論函數(shù)的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，再進(jìn)一步學(xué)習(xí)新的函數(shù)形式；而澳大利亞的教材則按照先介紹函數(shù)后討論性質(zhì)的順序處理．
而從知識(shí)發(fā)生的順序上看，映射是函數(shù)的上游概念，基本初等函數(shù)是函數(shù)基本性質(zhì)的上游知識(shí)；因此研究者希望通過(guò)以函數(shù)與映射概念的先后順序?yàn)槔懻撽P(guān)于教材編寫(xiě)應(yīng)如何切合知識(shí)發(fā)生過(guò)程的思考．
在課程改革的討論聲中，對(duì)于函數(shù)與映射孰先孰后的問(wèn)題，一直是爭(zhēng)論較多的話題之一．國(guó)內(nèi)許多學(xué)者和教師認(rèn)為，映射概念的教學(xué)應(yīng)置于函數(shù)概念的教學(xué)之前[4]，與澳大利亞的教材處理方式相同；而在課程標(biāo)準(zhǔn)中，也提出了中國(guó)教材的處理方式的原因．
對(duì)于先映射后函數(shù)的處理方式，主要有 3個(gè)方面的原因：
其一，先映射后函數(shù)符合數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的順序．無(wú)論是函數(shù)還是映射，都不能避免“對(duì)應(yīng)”的思想，在理解了“對(duì)應(yīng)”思想的基礎(chǔ)上，應(yīng)用集合語(yǔ)言的工具可以將兩個(gè)集合聯(lián)系在一起，建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，形成映射的概念；而函數(shù)的概念是在映射的概念中進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)應(yīng)關(guān)系的約束條件得出的更特殊的情形．因此從發(fā)生的順序上講，映射的概念先于函數(shù)的概念形成．
如果跨越映射概念直接進(jìn)入函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，則可能影響到學(xué)生對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的正確理解，并誤以為只有類(lèi)似于函數(shù)的“一個(gè)原象有且僅有一個(gè)象”的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”才能稱(chēng)為“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，造成先入為主的錯(cuò)誤觀念．反之，先學(xué)習(xí)映射的概念，再學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，則是在原有概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)概念同化給出函數(shù)的概念，水到渠成．
其二，映射概念比函數(shù)概念更直觀和易于理解．上面已經(jīng)討論過(guò)，映射是一種集合間元素的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，函數(shù)是一種定義在實(shí)數(shù)集上的“一個(gè)原象有且僅有一個(gè)象的對(duì)應(yīng)”的特殊“對(duì)應(yīng)關(guān)系”．因此，比起函數(shù)概念，映射的概念更容易在生活實(shí)際中找到學(xué)生易于理解的直觀例子進(jìn)行分析．例如，學(xué)校為方便管理，給每位學(xué)生編制學(xué)號(hào)；超市中每一個(gè)商品都有對(duì)應(yīng)的條形碼；每輛私家車(chē)都有唯一的車(chē)牌號(hào)，等等．可見(jiàn)，映射定義比函數(shù)定義更直觀，而由直觀到抽象則是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求之一，因此先映射后函數(shù)從理解的角度上優(yōu)于先函數(shù)后映射．
最后，先函數(shù)后映射是為了講映射而講映射．人教版（A版）教材中映射的概念安排在“1.2.2 函數(shù)的表示法”小節(jié)的最末，給出了映射的概念和幾種不同類(lèi)型映射的例子；下一小節(jié)“1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲怠崩^續(xù)討論函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．由此可見(jiàn)，映射放在1.2.2小節(jié)最末講解，不但打斷了函數(shù)從定義到性質(zhì)的知識(shí)發(fā)展順序，而且與前后，特別是后文聯(lián)系不緊密，顯得異常突兀，表現(xiàn)出“為了講映射而講映射”的特征．如果該節(jié)將映射的定義這一部分刪除，不但不影響這一章節(jié)知識(shí)，而且整體上更加流暢．
中國(guó)人教版（A版）中先函數(shù)后映射的編寫(xiě)方式，也有自身的原因．
在歐美國(guó)家，函數(shù)概念是在高中給出的．而在中國(guó)，初中已經(jīng)用“變化的量的相互關(guān)系”介紹了函數(shù)概念．因此從初中的函數(shù)概念出發(fā)，給出初中函數(shù)概念無(wú)法解釋的現(xiàn)象，引起認(rèn)知沖出，引出新的概念，也符合知識(shí)發(fā)展順序和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，且更符合中國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況．因此建議，可以將映射的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)置于課外拓展閱讀部分介紹，供學(xué)有余力的學(xué)生補(bǔ)充學(xué)習(xí)，這樣既不影響課本知識(shí)的連貫性，對(duì)于映射的介紹也不用擔(dān)心因?yàn)榻滩钠仍蛑荒軐?duì)映射淺嘗即止．
3.2 關(guān)于知識(shí)內(nèi)容中直觀性和抽象性知識(shí)的取舍
通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，中國(guó)高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)設(shè)置與澳大利亞教材在知識(shí)的選取和設(shè)置上有明顯的區(qū)別．中國(guó)教材以直觀性強(qiáng)的知識(shí)為主，澳大利亞的教材以抽象性強(qiáng)的知識(shí)為主．例如，中國(guó)教材在函數(shù)與映射章節(jié)中設(shè)置了“函數(shù)的基本性質(zhì)”一節(jié)，置于“基本初等函數(shù)”一節(jié)之前，主要介紹了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性?xún)蓚€(gè)性質(zhì)，而澳大利亞教材相對(duì)應(yīng)的部分置于“基本初等函數(shù)”之后，介紹函數(shù)的運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)．以下是關(guān)于這一部分的一點(diǎn)思考．
其一，函數(shù)的奇偶性，其本質(zhì)是函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性的一種特殊情況，是函數(shù)線性變換性質(zhì)中特殊的一種．而中國(guó)教材在淺嘗輒止地引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)奇偶性與函數(shù)圖象關(guān)系后，由于缺少合適的案例，沒(méi)有進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從變換的角度看待函數(shù)和函數(shù)的圖象，再加上該章節(jié)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中很少有能用到函數(shù)奇偶性的部分，因此函數(shù)的奇偶性安排在此處顯得非常突兀．而該章后面要介紹的冪函數(shù)和學(xué)生未學(xué)習(xí)的三角函數(shù)均是對(duì)稱(chēng)性極強(qiáng)的函數(shù)形式，為函數(shù)的奇偶性的探究提供了非常合適的案例，更適合學(xué)生理解和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，同時(shí)也是學(xué)生了解函數(shù)線性變換的絕佳案例，并能以此為基礎(chǔ)滲透以運(yùn)動(dòng)與變換的視角觀察函數(shù)的數(shù)學(xué)思想．類(lèi)似地，由于未學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與微分，學(xué)生對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性這一知識(shí)點(diǎn)只能從圖象的變化上進(jìn)行直觀理解，而通過(guò)定義判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法適用范圍窄，可操作性低，特別是無(wú)法快速確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．按照現(xiàn)有學(xué)生的認(rèn)知水平，只能進(jìn)行簡(jiǎn)單地識(shí)記，而無(wú)法進(jìn)行有效而廣泛的應(yīng)用，有“為介紹單調(diào)性而介紹”的嫌疑．因此，“函數(shù)的性質(zhì)”這一小節(jié)的安排是否恰當(dāng)還有待商榷．
其二，澳大利亞教材沒(méi)有介紹函數(shù)的奇偶性，而是細(xì)致介紹了復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)知識(shí)點(diǎn)．理解復(fù)合函數(shù)是理解和解決復(fù)雜的函數(shù)的問(wèn)題的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)中遇到的函數(shù)問(wèn)題絕大多數(shù)都是基本初等函數(shù)復(fù)合而成，其重要性不言而喻．而且，利用已學(xué)過(guò)的函數(shù)的定義、基本初等函數(shù)等知識(shí)就能很好地構(gòu)建高中所涉及的復(fù)合函數(shù)知識(shí)，可很好地與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系．另外，由于指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)為該章節(jié)中的上游知識(shí)點(diǎn)，為反函數(shù)提供了良好的案例；復(fù)合函數(shù)為反函數(shù)定義和性質(zhì)的數(shù)學(xué)符號(hào)表述提供了良好的工具，反函數(shù)本身“為認(rèn)識(shí)后續(xù)各類(lèi)函數(shù)及其關(guān)系、性質(zhì)提供理論支撐，有利于學(xué)生從聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)各類(lèi)函數(shù)”[4]．因此通過(guò)反函數(shù)的學(xué)習(xí)與理解，能幫助學(xué)生進(jìn)一步培養(yǎng)自身抽象思維等數(shù)學(xué)思維能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)更為抽象和系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．而中國(guó)教材則由于新課標(biāo)的降低難度的要求而刪除了復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)也僅僅要求進(jìn)行直觀理解，對(duì)于學(xué)生抽象思維的發(fā)展，用聯(lián)系的視角看待函數(shù)的思想的培養(yǎng)均不利，因此這種改動(dòng)是否合適還有待商榷．
研究者建議，中國(guó)教材在函數(shù)的基本性質(zhì)這一部分的安排上可以按如下形式處理．
第一，函數(shù)的單調(diào)性置于“函數(shù)模型及其應(yīng)用”這一章，以通過(guò)函數(shù)工具尋找實(shí)際問(wèn)題的最優(yōu)解為參考切入點(diǎn)，以直觀理解的方式簡(jiǎn)單介紹，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和某一區(qū)間的最值有直觀認(rèn)識(shí)，并通過(guò)實(shí)例問(wèn)題加深理解，練習(xí)初步的應(yīng)用．
第二，函數(shù)的奇偶性可安排在“冪函數(shù)”中作介紹．由于冪函數(shù)這一節(jié)著重討論的內(nèi)容既在初中有所接觸，又在高中有進(jìn)一步發(fā)展空間．因此將奇偶性置于這一節(jié)介紹，不但可以將學(xué)生已有知識(shí)點(diǎn)與高中所要介紹的函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、線性變換等知識(shí)相聯(lián)系，而且還能滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的變換的思想，更有利于學(xué)生形成系統(tǒng)的認(rèn)知體系，并為未來(lái)進(jìn)一步發(fā)展打好基礎(chǔ)
第三，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)在課程標(biāo)準(zhǔn)中不要求學(xué)生掌握，但是依舊是學(xué)生需要了解的重要內(nèi)容．因此在現(xiàn)有課程標(biāo)準(zhǔn)的要求下，復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)可以安排在基本初等函數(shù)一章結(jié)束后，以課外拓展閱讀的形式進(jìn)行介紹，不但滿足課程標(biāo)準(zhǔn)，也為有能力的學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，為其進(jìn)一步發(fā)展作準(zhǔn)備．
3.3 關(guān)于理論性和實(shí)踐性?xún)烧叩钠胶?/h3>
中國(guó)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求“學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)”，“增強(qiáng)聯(lián)系實(shí)際和應(yīng)用能力的培養(yǎng)”[3]，同時(shí)要求避免數(shù)學(xué)理論難度過(guò)高．因此在教材編寫(xiě)方面，中國(guó)的教材更注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)踐性．而澳大利亞VCE課程則更注重學(xué)生未來(lái)的發(fā)展，即學(xué)生現(xiàn)有水平與認(rèn)知結(jié)構(gòu)和大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的要求之間的聯(lián)系，在教材編寫(xiě)上更注重?cái)?shù)學(xué)的理論性．由此，中國(guó)和澳大利亞教材從各方面都有較大區(qū)別．
從整體上看，中國(guó)教材其形式類(lèi)似于一部問(wèn)題解決集，即遇到實(shí)際問(wèn)題，介紹數(shù)學(xué)理論，回歸實(shí)際問(wèn)題．澳大利亞教材形式則更像一本系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)理論的書(shū)，以連貫系統(tǒng)的方式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)理論．從知識(shí)設(shè)置和處理上看，中國(guó)教材更注重實(shí)踐性知識(shí)的介紹，使用大量篇幅介紹各類(lèi)實(shí)際問(wèn)題，因而限制了教材對(duì)于數(shù)學(xué)理論本身的介紹篇幅，因此也限制了學(xué)生所接觸的知識(shí)的廣度與深度，使其數(shù)學(xué)理論的發(fā)展空間受到了一定的局限．澳大利亞教材則更多介紹理論性數(shù)學(xué)知識(shí)，有一定的深度，能進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生思維，而且澳大利亞的教材在知識(shí)的連貫性上非常好，有利于學(xué)生知識(shí)體系的形成，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)體系構(gòu)建和拓展．
由此，中國(guó)中等教育需要注意中國(guó)高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上學(xué)力下降的風(fēng)險(xiǎn)．從外國(guó)教育改革的歷史經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，美國(guó)和日本在進(jìn)行教育改革中都遇到過(guò)降低學(xué)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)帶來(lái)的高中畢業(yè)生學(xué)力下降的問(wèn)題，導(dǎo)致許多選擇升學(xué)的學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后無(wú)法很好地適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)，許多選擇就業(yè)的學(xué)生只能從事簡(jiǎn)單機(jī)械的勞動(dòng)，以及很多相關(guān)的社會(huì)問(wèn)題．因此，為了盡量避免這種問(wèn)題的產(chǎn)生，研究者建議，能否參照澳大利亞的教材模式，在介紹數(shù)學(xué)理論的部分，系統(tǒng)而連貫地介紹數(shù)學(xué)理論，尊重知識(shí)的連貫性和完整性．同時(shí)發(fā)揮中國(guó)教材設(shè)有實(shí)習(xí)作業(yè)和課后導(dǎo)讀的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)實(shí)習(xí)作業(yè)以數(shù)學(xué)建模為載體介紹該章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的運(yùn)用方式，通過(guò)課后導(dǎo)讀介紹對(duì)該章節(jié)知識(shí)進(jìn)行拓展和深入，滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想．由此進(jìn)一步使不同的學(xué)生各取所需，盡量避免強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)實(shí)踐性時(shí)過(guò)于犧牲理論性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．
[1]Buckle N, Dunbar I. Mathematics-higher Level (Core) [M].Victory: IBID Press, 2007.
[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū) 數(shù)學(xué)1必修（A版）[M]．北京：人民教育出版社，2004．
[3]中華人民共和國(guó)教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M]．北京：人民教育出版社，2003．
[4]俞求是．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)問(wèn)題研究[J]．教育學(xué)報(bào)，2009，5（6）：36-44．
[5]Victorian Curriculum and Assessment Authority. Principles and Guidelines for the Development and Review of VCE Studies [EB/OL]. http://www.vcaa.vic.edu.au/, [2009-3]
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