關(guān)于Pan-Yang不等式的新證明

羅慶仙

(廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院,廣東茂名 525200)

關(guān)于Pan-Yang不等式的新證明

羅慶仙

(廣東石油化工學(xué)院高州師范學(xué)院,廣東茂名 525200)

曲率積分不等式是研究平面曲線的演化問題的重要組成部分,Pan-Yang在研究一類縮短流時(shí)得到一個(gè)關(guān)于曲率積分的不等式.本文主要利用傅里葉分析的方法給出了此不等式的一種簡單的證明方法.

曲率;支持函數(shù);傅里葉級(jí)數(shù);不等式

1 引言

在20世紀(jì)80年代,Gage在文獻(xiàn)[1](或參見文獻(xiàn)[2])中證明了一個(gè)涉及平面凸曲線曲率平方積分的不等式,即:

當(dāng)且僅當(dāng)Γ為圓時(shí)等號(hào)成立.

Gage稱之為等周不等式,并且他還給了Jocobowitz骨形非凸曲線的例子,以說明此不等式對(duì)非凸曲線不成立.不等式(1)一般稱之為Gage等周不等式.不等式(1)對(duì)人們理解平面曲線縮短流以及研究平面曲線的其他演化問題起著重要作用[1,34].因此,研究平面曲線曲率積分有著十分重要的意義,也越來越受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注.

2008年,Pan-Yang在研究一類縮短流時(shí),利用文獻(xiàn)[5]中Green-Osher的方法得到了不等式[4]:

其中等號(hào)成立僅當(dāng)C為圓時(shí).

本文將對(duì)不等式利用傅里葉級(jí)數(shù)給出一種新的證明方法.

2 預(yù)備知識(shí)及主要結(jié)論的證明

若C為閉凸曲線,記h=h(θ)為C的支持函數(shù)(h(θ)是以2π為周期的周期函數(shù)),則有[5]

其中,κ為曲線的相對(duì)曲率,L為其周長,A為其所圍的面積.

首先,來利用傅里葉級(jí)數(shù)來估計(jì)下面的積分不等式:

引理2.1設(shè)f為以2π為周期且具有二階連續(xù)可微的函數(shù),若

當(dāng)且僅當(dāng)an=bn=0(n＞1)時(shí),即f(t)=acost+bsint(其中a,b均為常數(shù))時(shí)等號(hào)成立.

定理2.1(Pan-Yang)設(shè)C為平面上C2類的光滑閉凸曲線,其曲率為κ,周長與其所圍成的面積分別為L,A滿足不等式

當(dāng)且僅當(dāng)C為圓時(shí)等號(hào)成立.

證明設(shè)C的支持函數(shù)為h=h(θ),則由(3)-(5)式知不等式(2)等價(jià)于

由于h(θ)是以2π為周期的實(shí)函數(shù),因此由引理2.1中取

即當(dāng)且僅當(dāng)C為圓時(shí)等號(hào)成立.

故定理得證.

根據(jù)經(jīng)典的等周不等式L2-4πA≥0,可得到文獻(xiàn)[6-7]中的結(jié)論:

推論2.1設(shè)C為平面上C2類的光滑閉凸曲線,其曲率為κ,周長與其所圍成的面積分別為L,A,則

當(dāng)且僅當(dāng)C為圓時(shí)等號(hào)成立.

推論2.2設(shè)C為平面上C2類的光滑閉凸曲線,其曲率為κ,周長與其所圍成的面積分別為L,A,則

當(dāng)且僅當(dāng)C為圓時(shí)等號(hào)成立.

注1如果定義?(c)=L2-4πA為閉凸曲線C類的等周虧格[8],由定理2.1即可得到閉凸曲線C等周虧格的一個(gè)上界估計(jì)

致謝感謝審稿老師提出的寶貴意見.

[1]Gage M E.An isoperimetric inequality with applications to curve shortening[J].Duke Math.J.,1983,50:1225-1229.

[2]潘生亮,唐學(xué)遠(yuǎn),汪小玉.Gage等周不等式的加強(qiáng)形式[J].數(shù)學(xué)年刊:A輯,2008,29(3):301-306.

[3]Gage M E,Li Y.Evolving plane curves by curvature in relative geometries II[J].Duke Math.J.,1994,75(1):79-98.

[4]Pan S L,Yang J.On a non-local perimeter-preserving curve evolution problem for convex plane curves[J]. Manuscripta Math.,2008,127(4):469-484.

[5]Green M,Osher S.Steiner polynomials,wulff flows,and some new isoperimetric inequalities for conver plane curves[J].Asian J.Math.,1999,3(3):659-676.

[6]Escudero C,Revent′os A,Solanes G.Focal sets in two-dimensional space forms[J].Pacific J.Math.,2007, 233(2):309-320.

[7]Zhou J Z.New curvature inequalities for curves[J].Inter.J.of Math.,Comp.Sci.Appl.,2007,1(1):145-147.

[8]戴勇,馬磊.R3中卵形閉曲面的等周虧格的上界的注記[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(5):600-602.

A new proof of Pan-Yang inequality

Luo Qingxian
(Gaozhou Normal College,Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming525200,China)

The curvature integral inequality is an important part of the question of the evolution of plane curves,Pan-Yang obtained a inequality of the curvature integral,when they studied a class of shortening flow. In this paper,we give this inequality of a simple method of proof via Fourier analysis.

curvature,support functions,Fourier series,inequality

O168.5

A

1008-5513(2013)02-0155-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.007

2012-06-13.

羅慶仙(1972-),講師,研究方向:傅里葉分析與調(diào)和分析.

2010 MSC:52A10,42B05