半環(huán)上保持矩陣{1}-逆的線性算子

李棟梁,任苗苗,劉建華,李斌

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127;2.陜西廣播電視大學(xué)工程管理教學(xué)部,陜西西安 710068)

半環(huán)上保持矩陣{1}-逆的線性算子

李棟梁1,任苗苗1,劉建華1,李斌2

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127;2.陜西廣播電視大學(xué)工程管理教學(xué)部,陜西西安 710068)

刻畫了某類特殊可換無零因子反環(huán)上保持矩陣{1}-逆的可逆線性算子,并將此結(jié)果推廣到此類無零因子反環(huán)的任意直積上.推廣了某些文獻(xiàn)的一些結(jié)果.

可換無零因子反環(huán);{1}-逆;線性算子

1 引言和預(yù)備知識

設(shè)(S,+,·,0,1)是一個(gè)(2,2,0,0)-型代數(shù),其中+和·是二元運(yùn)算.且S滿足條件:

(1)(S,+,0)是一個(gè)可換含幺半群;

(2)(S,·,1)是一個(gè)含幺半群;

(3)a·(b+c)=a·b+a·c,(a+b)·c=a·c+b·c(?a,b,c∈S);

(4)0·a=a·0=0(?a∈S);

(5)0/=1,

則稱S是半環(huán).

設(shè)S是半環(huán),Mn(S)是指S上n階矩陣的全體,I是n階單位矩陣,O是n階零矩陣. Mn(S)上的+和·定義如下:

易證(Mn(S),+,·,O,I)是半環(huán)[1].

設(shè)A,B∈Mn(S),如果ABA=A,那么稱B是A的一個(gè){1}-逆[2].設(shè)φ是Mn(S)上的一個(gè)算子.若對任意A,B∈Mn(S),B是A的一個(gè){1}-逆蘊(yùn)涵著φ(B)是φ(A)的一個(gè){1}-逆,則稱φ保持矩陣{1}-逆.

線性保持問題(簡稱LPP)是近百年來矩陣論中最活躍的課題之一.它主要刻畫矩陣空間上保持映射、關(guān)系、子集等不變量的線性算子.1897年,文獻(xiàn)[3]刻畫了保持行列式的線性變換.起初這類問題的研究并未引起足夠的重視.直到1971年,文獻(xiàn)[4]發(fā)表了保持矩陣秩1的線性算子的文章之后,線性保持問題越來越受關(guān)注[1-3,5-12].隨著它在微分幾何、圖論、計(jì)算機(jī)、量子力學(xué)、控制論、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用,人們更加認(rèn)識到研究線性保持問題的重要性.

近年來一些學(xué)者研究了域、環(huán)和半環(huán)上保持矩陣{1}-逆的線性算子.文獻(xiàn)[5-6]討論了保持特征為2的主理想整環(huán)上矩陣{1}-逆的線性算子.文獻(xiàn)[13]刻畫了保持特征不為2的域上矩陣{1}-逆的加法算子.文獻(xiàn)[11]研究了保持兩類特殊半環(huán)上矩陣上{1}-逆的線性算子.在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上,本文將刻畫一類特殊無零因子反環(huán)上保持矩陣{1}-逆的可逆線性算子.

則(C,+,·,0,1)成為半環(huán),稱其為鏈半環(huán).易見,鏈半環(huán)一定是可換無零因子反環(huán).

設(shè)P是實(shí)數(shù)環(huán)?(在普通的加法和乘法下)的含幺子環(huán),P的非負(fù)部分記為P+.容易驗(yàn)證,P+是半環(huán).非負(fù)整數(shù)半環(huán)Z+和非負(fù)實(shí)數(shù)半環(huán)?+都是P+的例子.顯然,Z+和?+是可換無零因子反環(huán).

則(B1,+,·)成為半環(huán).稱其為二元布爾代數(shù)[1].

設(shè)S是半環(huán),若(S,·,1)是可換的,則稱S是可換的.若對任意a,b∈S,a+b=0蘊(yùn)涵著a=b=0,則稱S是反環(huán)[10].若對任意a,b∈S,ab=0蘊(yùn)涵著a=0或b=0,則稱S是無零因子的.

設(shè)φ是Mn(S)上的算子,若φ滿足對任意A,B∈Mn(S),a,b∈S有

則稱φ是Mn(S)上的線性算子.

Ei,j∈Mn(S)表示在(i,j)位置為1,其余位置為0的矩陣.對于矩陣P∈Mn(S),如果P的每一行和每一列都只有一個(gè)非零元,且非零元是1,那么稱P是一個(gè)排列矩陣.需要注意的是若P∈Mn(S)是排列矩陣,則PPT=PTP=I.

2 主要結(jié)果

引理2.1[11]S是可換無零因子反環(huán),φ是Mn(S)上的線性算子.若φ是保持矩陣{1}-逆的可逆線性算子,則存在P,B∈Mn(S)使得

定理2.1設(shè)S是可換無零因子反環(huán),滿足條件:對于任意的a∈S,a2=1蘊(yùn)涵著a=1.φ是Mn(S)上的線性算子,則φ是保持矩陣{1}-逆的可逆線性算子的充分必要條件是存在可逆矩陣U∈Mn(S),使得

進(jìn)一步,bijbji=1.

下面討論n≥3的情形.對互不相等的i,j,k∈n,由

其中D=diag{b11,b21,…,bn1}.設(shè)U=PD.易見,U是可逆的.故φ(X)=P(X?B)PT= UXU-1.當(dāng)n≤2時(shí),容易得到結(jié)論仍是成立的.

類似可證φ(X)=P(XT?B)PT的情形.

(?=)當(dāng)φ(X)=UXU-1時(shí),易驗(yàn)證φ是可逆的.對任意A,B∈Mn(S),若A=ABA, 則

故φ是保持矩陣{1}-逆的.類似可證φ(X)=UXTU-1的情形.

當(dāng)S=B1,?+,Z+,或C時(shí),S滿足定理2.1的條件,故文獻(xiàn)[11]中的推論2.3和2.6可由定理2.1得到.

引理2.2[12]設(shè)S=∏λ∈∧Sλ,其中(?λ∈∧)Sλ是半環(huán).設(shè)φ是Mn(S)上的線性算子. 則φ保持矩陣{1}-逆當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的λ∈∧,φλ保持矩陣{1}-逆.

定理2.3設(shè)S=∏λ∈∧Sλ,其中(?λ∈∧)Sλ是可換無零因子反環(huán),滿足條件:對于任意的a∈Sλ,a2=1蘊(yùn)涵著a=1.設(shè)φ是Mn(S)上的線性算子.則φ是保持矩陣{1}-逆的線性算子當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣U∈Mn(S)和f1,f2∈S使得

其中U是可逆矩陣,(f1)λ,(f2)λ∈{0,1},(f1)λ/=(f2)λ(?λ∈∧).

證明(=?)由引理1.1和引理2.2知對于任意的λ∈∧,φλ是保持矩陣{1}-逆的可逆線性算子.又由定理2.1知存在可逆矩陣U使得

由定理2.1知φλ是保持矩陣{1}-逆的可逆的線性算子.又由引理1.1得φ是保持矩陣{1}-逆的可逆的線性算子.

易見,文獻(xiàn)[12]中的推論2.3.1和推論2.3.2是定理2.2的特殊情形.

致謝作者衷心感謝趙憲鐘教授的悉心指導(dǎo).

[1]Song S Z,Kang K T,Beasley L B.Idempotent matrix preservers over Boolean algebras[J].J.Korean Math. Soc.,2007,44(1):169-178.

[2]Rao P S S N V P,Rao K P S B.On generalized inverses of Boolean matrices[J].Linear Algebra Appl., 1975,11:135-153.

[3]Frobenius G.Uber Die Drastellung Der Endlichen Grouppen Durch Lineare Substitutionen[M].Berlin: Sitzungsber.Preuss.Akad.Wiss.,1897.

[4]Marcus M.Linear transformations on matrices[J].J.Res.Nat.Bur.Standards,1971,75B:107-113.

[5]卜長江,郝立麗.保矩陣{1}逆的線性映射[J].數(shù)學(xué)研究,2003,36(4):418-421.

[6]Bu C J.Invertible linear maps preserving{1}-inverses of matrices over PID[J].J.Appl.Math.Computing, 2006,22(3):255-265.

[7]Chan C H,Lim M H.Linear transformations on symmetric matrices that preserve commutativity[J].Linear Algebra Appl.,1982,47:11-22.

[8]Chan G H,Lim M H,Tan K K.Linear preservers on matrices[J].Linear Algebra Appl.,1987,93:67-80.

[9]Choi M D,Jafarian A A,Radjavi H.Linear maps preserving commutativity[J].Linear Algebra Appl., 1976,87:227-241.

[10]DolˇZan D,Oblak P.Idempotent matrices over antirings[J].Linear Algebra Appl.,2009,431(5/6/7):823-832.

[11]任苗苗,邵勇,趙憲鐘.保持半環(huán)上矩陣{1}-逆的線性算子[J].西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,42(1):7-11.

[12]任苗苗.幾類保持半環(huán)上矩陣不變量的線性算子[D].西安:西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,2012.

[13]張顯,曹重光.關(guān)于域上矩陣廣義逆的加法映射[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2004,47(5):1013-1018.

Linear operators preserving{1}-inverses of matrices over semirings

Li Dongliang1,Ren Miaomiao1,Liu Jianhua1,Li Bin2
(1.Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China; 2.Department of Project Management,Shaanxi Radio and TV University,Xi′an 710068,China)

In this paper we characterize invertible linear operarors that preserve{1}-inverses of matrices over special entire antirings.Based on obtained results,we give forms of invertible linear operarors that preserve {1}-inverses of matrices over direct product of special entire antirings.Thus some results obtained in some essays are generalized.

commutative entire antiring,{1}-inverse,linear operator

O152.7

A

1008-5513(2013)02-0185-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.012

2013-01-17.

陜西省自然科學(xué)專項(xiàng)基金(2011JQ1017).

李棟梁(1986-),碩士生,研究方向：代數(shù)學(xué).

2010 MSC:15A04,15A86,16Y60