廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

朱永平,吉飛宇,陳曉艷

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127;2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710055)

廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

朱永平1,吉飛宇2,陳曉艷1

(1.西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安 710127;2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院,陜西西安 710055)

用微分形式的吳方法討論了廣義KdV-Burgers方程不同系數(shù)情況下的勢對稱,并且利用這些對稱求得了相應(yīng)的不變解,這些解對進(jìn)一步研究廣義KdV-Burgers方程所描述的物理現(xiàn)象具有重要意義.

KdV-Burgers方程;微分形式的吳方法;勢對稱;不變解

1 引言

偏微分方程的對稱理論和方法[1]是以求解線性微分方程的變量分離法,Fourier級數(shù)法及積分變換等為其特例的普適性方法,在求精確解和對稱約化方面具有廣泛的應(yīng)用[23].由于古典對稱方法在構(gòu)造微分方程的對稱中存在一定的局限性,因此,1981年P(guān)erk和Schultz提出了超對稱,1994年Zhdanow和Fokas以及Liu提出了廣義條件對稱等,這些均是對古典對稱的推廣.1989年,Bluman提出的勢對稱理論[4]是擴(kuò)充方程(組)對稱的簡便有效方法.近期,有許多學(xué)者致力于某些重要的非線性偏微分方程的勢對稱及不變解的研究,得到了許多重要成果[5-7].

在物理學(xué)中是一類非常重要的非線性波動方程,可看作是Burgers方程及Kuramoro-Sivashinsky方程組合的一種簡單耗散模型.該類方程的很多理論結(jié)果受到了廣泛關(guān)注[911].本文采用微分形式的吳方法[12]作為輔助計(jì)算,對KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解進(jìn)行了研究,將方程中系數(shù)的各種情況分類討論,獲得了與以往文獻(xiàn)不同的勢對稱和不變解,并且大大降低了求解確定方程組的難度.

2 廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

2.1 基本理論

假設(shè)給定方程的自變量是x,t,其中u=u(x,t)是未知函數(shù),并且該方程可以寫成守恒形式:

引入勢變量v,得到方程(2)的輔助系統(tǒng):

設(shè)輔助系統(tǒng)的(3)的古典對稱向量為:

2.2 廣義KdV-Burgers方程的勢對稱和不變解

將方程(1)寫成守恒形式:

引入勢變量v,得到相應(yīng)的輔助系統(tǒng):

設(shè)方程組(6)對應(yīng)的古典對稱向量為:

下面對方程組(6)的系數(shù)α,β,γ分八種情形進(jìn)行討論.

情形1α/=0,β/=0,γ/=0.

用微分形式的吳方法計(jì)算得到(6)式的確定方程組為:

3 結(jié)論

本文利用微分形式的吳方法計(jì)算了廣義KdV-Burgers方程在不同系數(shù)情況下的勢對稱,并且求得了對應(yīng)的不變解,獲得了與以往文獻(xiàn)不同的結(jié)果.這對進(jìn)一步研究廣義KdVBurgers方程具有重要的意義.對于可寫成守恒形式的微分方程在什么樣的情況下允許勢對稱,有待于繼續(xù)研究.

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Potential symmetries and invariant solutions of generalized KdV-Burgers equation

Zhu Yongping1,Ji feiyu2,Chen Xiaoyan1
(1.Department of Mathematics,Northewest University,Xi′an710127,China; 2.School of Science,Xi′an University of Architecture and Technology,Xi′an710055,China)

In this paper,the symmetries of generalized KdV-Burgers equation with different coefficients are discussed with the help of Wu′s method in differential forms.And new potential symmetries are obtained. Furthermore,the corresponding invariant solutions can be obtained by using the above symmetries.The solutions have are of great importance to further researching the physical phenomena described by generalized KdVBurgers equation.

KdV-Burgers equation,Wu′s method in differential forms,potential symmetries, invariant solutions

O175.2

A

1008-5513(2013)02-0164-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.009

2012-11-22.

國家自然科學(xué)基金(10671156).

朱永平(1986-),碩士生,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35Q53