諧波補償重復控制及其在逆變器控制中的應用

楊豪，趙軍紅，朱雁南，劉岳濱

（第二炮兵工程大學，陜西 西安 710025）

1 引言

在眾多基于周期的控制方案中，基于內模原理［1］的重復控制對于解決諧波補償問題是一種簡單有效的方法。 傳統(tǒng)的重復控制［2－3］（CRC）在開環(huán)系統(tǒng)的前向通道上嵌入周期為L0的任意周期信號的內模e-sL0(1-e-sL0)，有效實現(xiàn)對各次諧波分量的無差補償，從而實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差。然而，傳統(tǒng)的重復控制在諧波補償中還存在兩方面不足：一方面，從重復控制器內模的數(shù)字實現(xiàn)形式［4－6］z-N/(1-z-N)可以看出，其輸入到輸出滯后了一個基波周期，響應速度較慢，且需要的內存單元數(shù)至少為N；另一方面，在很多實際應用中，需要補償?shù)闹C波信號往往集中在某些特定頻率處，例如整理性負載給單相逆變器帶來的諧波成分主要是奇次諧波，給三相逆變器帶來的主要是6l±1（l＝1，2，3，…）次的諧波成分。 而傳統(tǒng)的重復控制沒有選擇性地對各次諧波都進行了補償，勢必導致內存浪費、補償速度減慢，難以滿足實際系統(tǒng)對控制性能的要求。針對上述問題，文獻［7］和文獻［8］分別提出了一種奇次諧波補償重復控制器和6l±1次諧波補償重復控制器。

文獻［7－8］采用類似的諧波補償重復控制器，是一個值得研究的課題。目前，也沒有一種通用的重復控制可以將所有的重復控制統(tǒng)一起來。為此，本文提出一種nl±m(xù)次諧波補償重復控制（HCRC），以增強重復控制對諧波補償?shù)倪x擇性。該重復控制可以實現(xiàn)對nl±m(xù)次諧波的無差補償，通過給n和m賦以不同的數(shù)值，以適應各種不同場合對特定諧波的補償需求。與傳統(tǒng)的重復控制相比，該重復控制具有占用內存單元數(shù)目更少、動態(tài)性能更佳的優(yōu)點，并為各種場合的重復控制器提供了一種通用的表達式。最后將諧波補償重復控制應用于單相逆變器的波形控制中，并進行了仿真驗證，表明了諧波補償重復控制的優(yōu)越性。

2 諧波補償重復控制

2.1 內模改進

傳統(tǒng)的重復控制器通過構造周期為L0的任意周期信號的內模，并將其嵌入閉環(huán)控制系統(tǒng)中，以實現(xiàn)對周期輸入信號和擾動的無差跟蹤補償。傳統(tǒng)重復控制的內模為

這是一個正反饋延遲環(huán)節(jié)，其等效結構原理圖如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)重復控制的內模模型Fig.1 The internal model diagram of CRC

將該內模嵌入開環(huán)系統(tǒng)的前向通道上便構成了傳統(tǒng)的重復控制系統(tǒng)。本質上，內模的作用是為系統(tǒng)提供了無窮多個位于各諧波頻率的極點，且在這些極點處內模的增益為無窮大，從而能夠對諧波信號實現(xiàn)無靜差補償。將L0=2π／ω0（ω0為基波角頻率）帶入式（1）可得：

由式（2）可知，常規(guī)重復控制器的極點位于 lω0（l=1，2，3，…）處，即包含了基波頻率和所有的諧波頻率。因此，如果將基波頻率設置為nω0（n=1，2，3，…），重復控制器的極點將位于 nlω0，此時重復控制器內模變?yōu)?/p>

本文將以式（3）作為內模的重復控制器定義為nl次諧波補償重復控制器。由自動控制原理的頻移特性可知，將 Gnl（s）分別向左、右平移 mω0（m=1，2，3，…）可得：

由式（4）可見，Gnl±m(xù)(s)的極點在 Gnl(s)的基礎上分別向左、右平移了 mω0，位于(nl±m(xù))ω0處，即在 nl±m(xù)倍頻處。由于以Gnl±m(xù)(s)作為內模的重復控制器在nl±m(xù)倍頻處具有無窮大的增益，因此可以對nl±m(xù)次諧波實現(xiàn)無靜差補償。式（4）在理論上雖然成立，但是實現(xiàn)起來較為困難。為此，還需要尋求一種易于實現(xiàn)的內模形式。

由內模原理可知，只要描述內模的傳遞函數(shù)包含了周期輸入信號的某些特定極點，即可對這些特定頻率的諧波實現(xiàn)無靜差補償。為此，采用文獻［8］和文獻［9］的方法，將 Gnl+m(s)與 Gnl-m(s)作如下形式的加和

式（5）表示的內模，其極點仍然處于nl±m(xù)倍頻處，同樣可以實現(xiàn)對nl±m(xù)次諧波的無靜差補償。根據(jù)實際系統(tǒng)的需要，可為n和m設置不同的數(shù)值，即可得到相應的特定諧波補償重復控制器。值得注意的是，這里的n和m需滿足一定的約束條件，即n＞m≥0，n和m均為整數(shù)。例如，將n和m的數(shù)值分別設置為1和0，就可得到傳統(tǒng)的重復控制器內模；將n和m分別設置為4和1，就將得到奇次諧波補償重復控制器內模；而將n和m分別設置為6和1，此時將得到6l±1次諧波補償重復控制器內模?？梢姡琻l±m(xù)次諧波補償重復控制器內模為所有重復控制器提供了一個通用的形式，而傳統(tǒng)的重復控制器內?？煽醋魇莕l±m(xù)次諧波補償重復控制器內模的一個特例，因此本文將(s)定義為 nl±m(xù) 次諧波補償重復控制器內模。nl±m(xù)次諧波補償重復控制內模的頻域等效結構如圖2所示。

圖2 諧波補償重復控制內模的頻域等效結構Fig.2 The internal model of HCRC based on S-domain

由圖2可見，從nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模的輸入到輸出的最大時間延遲為2L0/n，只要n＞2，其時間延遲將比傳統(tǒng)的重復控制器內模更小。因此，nl±m(xù)次諧波補償重復控制的動態(tài)響應速度要比傳統(tǒng)的重復控制更快，將顯著提高對諧波擾動的補償速度，這是它相對于傳統(tǒng)重復控制器內模的一大優(yōu)點。

隨著高性能的數(shù)字信號處理器的出現(xiàn)，重復控制大都采用數(shù)字化控制的方式來實現(xiàn)。與傳統(tǒng)的重復控制一樣，nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模也采用數(shù)字方式。圖3給出了nl±m(xù)次諧波補償重復控制內模的離散等效結構。

圖3 諧波補償重復控制內模的離散等效結構Fig.3 The internal model of HCRC based on Z-domain

其離散傳遞函數(shù)為

式中：N 為每周期的采樣次數(shù)，N=fs/f0，fs，f0分別為采樣頻率和基波頻率。

由式（6）可見，nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模所需要的內存數(shù)目為2N/n，只要n＞2，將節(jié)約很大的內存空間，這是它相對于傳統(tǒng)重復控制器內模的另一大優(yōu)點。

與傳統(tǒng)重復控制器類似，式（6）所示的nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模是一種理想形式，它給系統(tǒng)引入的極點均位于單位圓上，因此極易出現(xiàn)失穩(wěn)的情況。為此，可采用與傳統(tǒng)重復控制器相同的方法，為分母上的各周期延遲環(huán)節(jié)串聯(lián)一個Q加以改進，將極點限制在單位圓內，以增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性。改進后的nl±m(xù)次諧波補償重復控制內模等效結構圖如圖4所示。

圖4 改進的諧波補償重復控制內模離散等效結構Fig.4 The improved internal model of HCRC based on Z-Domain

改進后nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模的離散傳遞函數(shù)為

其中，Q可取小于1的常數(shù)或低通濾波函數(shù)。

改進后的nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模在nl±m(xù)倍頻處的增益將變?yōu)橛邢拗?。由式?）可得：

以n=4，m=1時的奇次諧波補償重復控制為例，當基波頻率f0=50 Hz、采樣頻率fs=10 kHz時，其內模分別在Q=0.8和Q=0.95時的增益如圖5所示。從圖5中可以看出，奇次諧波重復控制內模在(4l±1)ω0處的增益分別為 5 dB 和 22 dB。

圖5 4l±1次諧波補償重復控制內模增益Fig.5 The internal model gain of HCRC for 4l±1 harmonic

可見，隨著Q的減小，nl±m(xù)次諧波補償重復控制器內模增益也逐漸降低，對諧波的補償效果變差，跟蹤誤差變大。與常規(guī)重復控制器一樣，這也是為增強穩(wěn)定性而犧牲零靜差特性的表現(xiàn)。

2.2 諧波補償重復控制系統(tǒng)

在上述改進內模的基礎上添加穩(wěn)定化補償器 Gc（z）和相位補償環(huán)節(jié) Gf（z）即可構成 nl±m(xù) 次諧波補償重復控制器。將該重復控制器嵌入閉環(huán)控制系統(tǒng)的前向通道上便構成了nl±m(xù)次諧波補償重復控制系統(tǒng)，如圖6所示。其中，r（z）為周期參考輸入信號，e（z）為跟蹤誤差，ur（z）為重復控制器輸出的控制信號，d（z）為擾動信號，u（z）為系統(tǒng)輸出信號，Gc（z）為穩(wěn)定化補償器，Gf（z）為相位環(huán)節(jié)，GCHRC（z）為 nl±m(xù) 次諧波補償重復控制器，Gp（z）為被控對象。

圖6 嵌入式諧波補償重復控制系統(tǒng)Fig.6 Diagram of plug-in HCRC system

由圖6可得nl±m(xù)次諧波補償重復控制系統(tǒng)的實際輸出為

由式（9）和式（10）可得 nl±m(xù) 次諧波補償重復控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件： 1）Q是穩(wěn)定的；2）H(z)是穩(wěn)定的有理函數(shù)，即 Gc（z）和 Gp（z）沒有零極點對消；3）

為了獲得最佳的零相移補償效果，Gf（z）通常選作 H（z）的逆?zhèn)骱?0－11］。 但是，在實際應用中，由于對象建模的諸多不確定因素和負載的變化，因而無法獲得H（z）的精確傳遞函數(shù)。為此，可將H（z）的實際逆?zhèn)骱硎救缦拢?1］：

式中：Gfn（z）為 H（z）的理想逆?zhèn)骱?，Gfn（z）=1/H（z）；△（z）為描述系統(tǒng)不精確性的穩(wěn)定變量，且 △（z）有界，|△（ejω）|≤ε，ε 為大于零的常數(shù)。

將式（8）和式（11）帶入式（9）可得 nl±m(xù) 次諧波補償重復控制系統(tǒng)的實際輸出為

其中

當Q=1時，式（12）的第1項在nl±m(xù)倍頻處等于r(z)，第 2項等于 0，因此，nl±m(xù) 次諧波補償重復控制可以實現(xiàn)無差補償nl±m(xù)次諧波的控制目標。

3 仿真實驗

為了驗證諧波補償重復控制的正確性和有效性，將其應用到單相逆變器的波形控制中，并在Matlab/Simulink仿真平臺下進行一系列仿真實驗。由于整流負載給單相逆變器帶來的主要是奇次諧波，因此在nl±m(xù)次諧波補償重復控制器中令n=4，m=1，4l±1次諧波補償重復控制能夠對所有奇次諧波實現(xiàn)高精度補償。實驗中用到的逆變器參數(shù)為：直流輸入電壓Udc=380 V，額定輸出電壓U0=220 V，基波頻率f0=50 Hz，采樣頻率fs=10 kHz，濾波電感L=0.7 mH，濾波電感等效電阻r=0.1 Ω，濾波電容C=36 μF，突加阻性負載4.4 Ω，整流負載輸出電阻24.2 Ω，整流負載輸出電感2 mH，整流負載輸出電容470 μF。

單相逆變器的離散傳遞函數(shù)為［3，12］

由于控制對象存在高諧振峰，給控制器的設計帶來極大不便。為了簡化控制器的設計，采用文獻［13］中的輸出電壓微分反饋控制方法。其中，反饋系數(shù)k=6.1361。由此設計相位補償環(huán)節(jié)Gf(z)=z6。

本文采用的穩(wěn)定化補償器為

圖7給出了僅采用式（14）所示的穩(wěn)定化補償器Gc(z)時逆變器的穩(wěn)態(tài)輸出電壓、電流和相應的諧波分析。由圖7a可以明顯看出，輸出電壓有嚴重的平頂現(xiàn)象，波形畸變嚴重；通過諧波分析發(fā)現(xiàn)，引起輸出電壓畸變的諧波分量主要集中在4l±1次頻率處，如圖7b所示。

圖7 Gc(z)作用下帶整流負載時的輸出波形及諧波分析Fig.7 The output waveforms and harmonic analysis with stabilization compensator

圖8所示為逆變器在傳統(tǒng)重復控制作用下帶整流負載時的穩(wěn)態(tài)輸出電壓、電流及諧波分析。由圖8a可見，引入重復控制以后，逆變器帶整流性負載時的輸出電壓波形得到了明顯的改善，其波形的正弦性較好，平頂現(xiàn)象得到了消除；由圖8b可見，重復控制器對于原有的奇次諧波的抑制效果非常明顯，總諧波畸變率被降至0.91%。

圖8 CRC作用下帶整流負載時的輸出波形及頻譜分析Fig.8 The output waveforms and harmonic analysis with CRC

圖9為逆變器在4l±1次諧波補償重復控制作用下帶整流性負載時的穩(wěn)態(tài)輸出波形及輸出電壓諧波分析。從圖9a可以看出，逆變器在奇次諧波補償重復控制下仍然有著良好的穩(wěn)態(tài)輸出，說明該控制方案對于整流性負載給逆變器帶來的奇次諧波擾動具有較好的補償效果；從圖9b顯示的輸出電壓諧波分布可以看出，與圖8b相比，在4l±1次諧波補償重復控制下，輸出電壓波形中 4，6，8，10，12 次諧波成分有少量的增加，因而總諧波畸變率也有所上升，但是只有1.30%，仍然較低。因此，奇次諧波補償重復控制同樣保證了逆變器的穩(wěn)態(tài)輸出質量。

圖9 HCRC作用下帶整流負載時的輸出波形及頻譜分析Fig.9 The output waveforms and harmonic analysis with HCRC

圖10示出了逆變器分別在傳統(tǒng)重復控制和4l±1次諧波補償重復控制作用下突加阻性負載時輸出波形的動態(tài)恢復過程。從圖10a可以看出，在傳統(tǒng)的重復控制作用下，輸出波形大約需要4～5個基波周期才能恢復穩(wěn)定狀態(tài)；從圖10b可以看出，在4l±1次諧波補償重復控制作用下，輸出波形大約需要2～3個基波周期即可恢復穩(wěn)定狀態(tài)。由此可見，4l±1次諧波補償重復控制的動態(tài)響應速度比傳統(tǒng)重復控制要快，其誤差收斂所需時間更短。

圖10 CRC和HCRC的動態(tài)恢復過程Fig.10 The dynamic response of CRC and HCRC

4 結論

相比于傳統(tǒng)的重復控制，本文提出的諧波補償重復控制具有占用內存單元少、動態(tài)響應速度快、誤差收斂時間短的優(yōu)點。

仿真結果表明，盡管4l±1次諧波補償重復控制在降低輸出電壓THD上比傳統(tǒng)重復控制稍顯遜色，但是其誤差收斂速度卻快了近2倍，而數(shù)字化控制系統(tǒng)占用的內存空間也減少了一半。因此，諧波補償重復控制在基于周期的控制系統(tǒng)中是一種高性價比的控制方案。

［1］Francis B，Wonham W.The Internal Model Principle for Linear MultivariableRegulators［J］.AppliedMathematicsOptimization，1975， 2（2）：170-194.

［2］Paolo Mattavelli，F(xiàn)ernando Pubhabel Marafao.Repetitive-based Control for Selective Harmonic Compensation in Active Power Filters［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2004，51（5）：1018-1024.

［3］Zhang Kai，Kang Yong，Xiong Jian，et al.Direct Repetitive Con?trol of SPWM Inverter for UPS Purpose［J］.IEEE Transactions on Power Electronics， 2003，18（3）：784-792.

［4］Freema n C， Tan Y.Iterative Learning Control and Repetitive Control［J］.International Journal of Control， 2011， 84 （7／9）：1193-1195.

［5］Chen Wentao，Lin Yechun.Repetitive Control Design for Optimal Performance［J］.Asian Journal of Control， 2011， 13（6）：1051-1055.

［6］Costa-Castello R，Grino R.A Repetitive Controller for Discretetime Passive System［J］.Automatica， 2006， 42（9）： 1605-1610.

［7］Zhou Keliang，Kay-Soon，Wang Danwei，et al.Zero-phase Oddharmonic Repetitive Controller for a Single-phase PWM Inverter［J］.IEEE Transactions on Power Electronics， 2006， 21（1）：193-201.

［8］Gerardo Es Cobar， Perla G Hernandez-Briones， PanFilo R Martinez，etal.ARepetitive-basedControllerforthe Compensation of 6l±1 Harmonic Components ［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2008， 55（8）： 3150-3158.

［9］Etxeberria-Otadui I，Lopez-de-Heredia A， Gaztan～aga H，et al.A Single Synchronous Frame Hybrid （SSFH）Multifrequency Controller for Power Active Filters ［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2006， 53（5）： 1640-1648.

［10］G rin～ó R， Costa-Castelló R.Digital Repetitive Plug-in Controller for Odd-harmonic Periodic References and Disturbances［J］.Automatica，2005，41（1）：153-157.

［11］Zhou Keliang，Wang Danwei，Zhang Bin.Plug-in Dual-modestructure Repetitive Controller for CVCF PWM Inverters ［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics， 2009， 56（3）：784-791.

［12］Rymarski， Zbigniew.Design Method of Single-phase Inverters for UPS Systems［J］.InternationalJournalofElectronics，2009，96（5）：521-535.

［13］Lei Q，Peng F Z， Yang S.Multiloop Control Method for Highperformance Microgrid Inverter Through Load Voltage and Current Decoupling with Only Output Voltage Feedback ［J］.IEEETransactions on Power Electronics，2011，26（3）：953-960.