有效數(shù)學(xué)思維途徑之培養(yǎng)策略

王金水

摘 要：由問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)，用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)激活學(xué)生思維興奮點(diǎn)、追求最優(yōu)化思維、變式提高、錯(cuò)題剖析等出發(fā)論證提高學(xué)生有效數(shù)學(xué)思維量的作用，得出今后課堂教學(xué)應(yīng)走向務(wù)實(shí)高效的幾種有效途徑.

關(guān)鍵詞：有效；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；高效率；最優(yōu)化

課堂教學(xué)是學(xué)校教育的核心，高效率的課堂教學(xué)是當(dāng)前教學(xué)改革的重要追求.數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用，并按照一般思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在理性活動(dòng).如何才能上出一節(jié)高效數(shù)學(xué)課呢？有些教師認(rèn)為，容量大、涉及知識(shí)點(diǎn)多、學(xué)生練習(xí)多的課堂，就是一節(jié)“好”課.我認(rèn)為有效的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)目標(biāo)達(dá)成的有效性，主體參與的有效性，知識(shí)建構(gòu)的有效性，師生互動(dòng)的有效性，學(xué)生發(fā)展的有效性，等等.現(xiàn)從培養(yǎng)學(xué)生有效數(shù)學(xué)思維的幾種途徑加以分析與探討.

一、利用已有“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”培養(yǎng)有效數(shù)學(xué)思維

現(xiàn)代心理學(xué)研究表明，有效的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，沒有學(xué)生的主動(dòng)參與，沒有學(xué)生原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)，脫離學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的灌輸，其學(xué)習(xí)都是低效的.隨著新課程改革不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵有了新的發(fā)展.有學(xué)者指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，讓學(xué)生積累“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”能提高有效數(shù)學(xué)思維量.

例1.王老師的一張平行四邊形紙片不小心被自己的小孩撕去了一些，巧的是剛好從B、D

兩個(gè)頂點(diǎn)撕開，如圖1所示.你能幫他補(bǔ)全平行四邊形嗎？問題提出不久，許多學(xué)生就躍躍欲試，分別表述了各自的方法.

方法1：過點(diǎn)B作AD的平行線BE，過點(diǎn)D作AB的平行線DF，交BE于點(diǎn)C，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）；

方法2：過點(diǎn)B作AD的平行線BE，并在BE上截取BC=AD，連接CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；

方法3：連BD，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使AO=OC，再分別連結(jié)BC、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

方法4：分別以點(diǎn)B、點(diǎn)D為圓心，以AD、AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，連結(jié)BC、CD，四邊形ABCD就是所要作的平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；

在學(xué)生用不同的方法補(bǔ)全平行四邊形后，因?yàn)橛猩鲜銮榫车匿亯|，學(xué)生很快便完成了以下表格的填寫.

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教學(xué)中的設(shè)計(jì)要具有一定的藝術(shù)性，創(chuàng)設(shè)富有新意的數(shù)學(xué)活動(dòng)情境，以問題為出發(fā)點(diǎn)，喚起學(xué)生對(duì)知識(shí)的回憶，讓學(xué)生感覺復(fù)習(xí)不再是“老生常談”和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的羅列，把學(xué)生的注意力吸引到復(fù)習(xí)教學(xué)中.由一個(gè)簡(jiǎn)單的問題入手，能使學(xué)生迅速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀

態(tài)，而對(duì)方法背后的本質(zhì)探討，既凸顯了本堂課的認(rèn)知線索，也激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的興趣與欲望，可謂低起點(diǎn)，高認(rèn)知，深立意.因此，教師要立足于學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造性地使用教科書，變“教書”為“用書教”，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生有效的數(shù)學(xué)思維的目的.

二、激活學(xué)生思維的興奮點(diǎn)來(lái)培養(yǎng)有效數(shù)學(xué)思維

我們常常埋怨學(xué)生經(jīng)啟發(fā)、點(diǎn)撥后仍然無(wú)動(dòng)于衷，或者講過的題目學(xué)生還做錯(cuò)，究其原因是在我們的教學(xué)過程中學(xué)生的思維尚未進(jìn)入“憤”“悱”狀態(tài)，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥的“機(jī)”與“時(shí)”把握得不準(zhǔn)。當(dāng)學(xué)生的思維還沒有進(jìn)入焦灼狀態(tài)時(shí)，我們就順?biāo)浦?，這怎能對(duì)學(xué)生產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響？點(diǎn)要點(diǎn)在臨界點(diǎn)，只有創(chuàng)設(shè)一定的思維情境，引領(lǐng)學(xué)生的思維進(jìn)入臨界狀態(tài)，點(diǎn)撥方能奏效.撥要撥在關(guān)鍵處，如果撥的時(shí)機(jī)過早，學(xué)生缺乏一定的主動(dòng)思維，不能建構(gòu)新舊知識(shí)的聯(lián)系，達(dá)不到思路的接通效應(yīng)，思維過程只是由老師直接強(qiáng)加給學(xué)生，我們稱之為“被思維”或者“偽思維”.

例2.如圖2，有一塊塑料矩形ABCD，AD=10cm，AB=4cm，

將你手中足夠大的直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適當(dāng)移動(dòng)三角板頂點(diǎn)O.

（1）能否使你的三角板兩直角邊分別通過點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AO的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.

（2）再次移動(dòng)三角板的位置，使三角板頂點(diǎn)O在AD上移動(dòng)，直角邊OE始終通過點(diǎn)B，另一直角邊OF與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)

K，與BC交于點(diǎn)H，能否使CH=2cm？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AO的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)你說明理由.

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首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后教師進(jìn)行點(diǎn)撥.

問題（1）較為簡(jiǎn)單，大部分學(xué)生能獨(dú)立完成.引導(dǎo)學(xué)生畫出圖3，由∠A=∠D=∠BOC=90°，可得△ABO∽△DOC，從而解決問題.

問題（2）由學(xué)生畫出圖4，再進(jìn)行思考探究.教師巡視可以發(fā)現(xiàn)，大多學(xué)生思維受阻，這時(shí)就需要教師點(diǎn)撥.大家可以從圖形中，尋找相似的三角形，如△KCH∽△KDO∽△OAB，然后通過方程思想來(lái)解決，此時(shí)學(xué)生可以開始進(jìn)行深度探究了，個(gè)別環(huán)節(jié)師生共同完成.這個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束后，可以這樣點(diǎn)撥：讓學(xué)生借助相似并結(jié)合直角三角形勾股定理來(lái)解決.但由于這種方法非常麻煩，不宜讓學(xué)生深入下去.那么我們應(yīng)該怎么辦呢？由于上述方案已經(jīng)把問題的解決方法變復(fù)雜了，學(xué)生急于找出更好的方法，所以此時(shí)應(yīng)該抓住時(shí)機(jī)，點(diǎn)撥學(xué)生能否從第一問中受到啟發(fā)，利用化歸的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決這個(gè)問題.

在問題（1）的解決中，我們利用了△ABO∽△DOC，但此時(shí)直角三角形的另一邊沒有經(jīng)過C點(diǎn)，而是經(jīng)過了BC邊上的H點(diǎn)，過H點(diǎn)作HG⊥AD，垂足為G，如圖5，這樣我們可以得到△BAO∽△OGH，接下來(lái)由學(xué)生完成思路的延續(xù)和問題的解決.

兩種思路進(jìn)行對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來(lái)如此，此時(shí)學(xué)生心情非常愉悅，思維也達(dá)到了興奮的狀態(tài).這時(shí)教師繼續(xù)點(diǎn)撥此類問題，在解決的過程中，圖形發(fā)生了變化，如果能利用化歸思想，往往可以更快速地解決問題.學(xué)生此時(shí)的收獲就會(huì)很大，效率更高，超越一個(gè)題目自身的解決價(jià)值，發(fā)揮題目的最大價(jià)值，讓學(xué)生有“欲罷不能”的解題欲望.

三、追求“最優(yōu)化”來(lái)培養(yǎng)有效數(shù)學(xué)思維

尋求解決課堂教學(xué)中各種數(shù)學(xué)問題的方法，讓學(xué)生易于接

受，即“最優(yōu)化”途徑，是數(shù)學(xué)教師的理想追求，但實(shí)際在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，并不是人人都能如愿以償?shù)?在面對(duì)同一道數(shù)學(xué)問題時(shí)，一些學(xué)生往往會(huì)選擇一種較為復(fù)雜的方法來(lái)做，而沒有選擇過程簡(jiǎn)明、思路清晰的方法，結(jié)果是艱難做出或者做不出.對(duì)于不同的班級(jí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生選擇簡(jiǎn)捷做法的比例是不同的，這與教師平時(shí)是否注意培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“最優(yōu)化”有關(guān).

例3.設(shè)x1、x2是方程x2-5x+3=0的兩個(gè)根.m+x1（x22-6x2+3）=2009，

求m的值.

法一：如果能獲得關(guān)于m的方程，也就是明確x1，x2的值，因?yàn)榉匠讨挥衜是未知數(shù)，就能獲解，這里x1，x2能求，但求出來(lái)是有理數(shù)根嗎？

法二：顯然不是！走這條道路顯然運(yùn)算量會(huì)很大，且要花大量時(shí)間，還是認(rèn)真觀察方程m+x1（x22-6x2+3）=2009的特點(diǎn)吧，有什么發(fā)現(xiàn)？我們看由一元二次方程的定義有x22-5x2+3=0，得x22-5x2=-3，又m+x1（x22-5x2-x2+3）=2009，有m+x1（-3-x2+3）=2009，于是m-x1x2=2009.再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系x1x2=3，代入求出m=2012.

法三：有了上面的啟發(fā)，我們可進(jìn)一步作些優(yōu)化.可以直接變形待求方程左邊中的m+x1（x22-6x2+3）=m+x1（x22-5x2+3-x2），由根的定義有x22-5x2+3=0，所以m-x1x2=2009，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系

x1x2=3，代入可求出m=2012，代數(shù)式有目的的變形，特別是對(duì)“x22-5x2+3=0”“x22-5x2=-3”的整體認(rèn)識(shí)，使問題得到突破.如果求出方程的根再代入求值，會(huì)陷入煩瑣的運(yùn)算，造成思維的混亂.

因此，我們應(yīng)當(dāng)充分認(rèn)識(shí)到“最優(yōu)化”思維的重要性，努力追求“最優(yōu)化”的思維，習(xí)慣于獲得“最優(yōu)化”的解答，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的優(yōu)良品質(zhì).我們?cè)跀?shù)學(xué)解題教學(xué)過程中，不能僅僅停留在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題知識(shí)的優(yōu)化與儲(chǔ)備、解題技能的提煉與熟練、解題策略的優(yōu)化與類化等，更重要的是努力培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“最優(yōu)化”思維的追求，并讓他們把“最優(yōu)化”思維修煉并形成一種解題習(xí)慣.

四、圍繞本質(zhì)變式提高來(lái)培養(yǎng)有效數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識(shí)之間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系.學(xué)生數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)性水平的高低會(huì)直接影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果.日常教學(xué)中，我們常?？吹揭恍?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)總在“細(xì)枝末節(jié)”上“糾纏”，而淡化了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和理解，學(xué)生不能深入地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)也因此脫離了教學(xué)的本源.教者沒有圍繞本質(zhì)去變式深化提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，實(shí)際上是培養(yǎng)有效數(shù)學(xué)思維觀念的淡漠和缺失.

例4.如圖6，已知？荀ABCD，M是對(duì)角線BD

上一點(diǎn)，EF∥AB，GH∥AD，若四邊形MHCF面積為4，則四邊形AGME的面積是多少？

學(xué)生經(jīng)充分思考后得出：因?yàn)锳BCD是平行

四邊形，所以S△ADB=S△DCB，又AB∥CD∥EF，AD∥BC∥GH，這樣就得到了？荀DEMH和？荀MGBF，所以S△DEM=S△MHD，S△MGB=S△BFM，所以

S四邊形AGME=S四邊形MHCF，所以S四邊形AGME=4.解幾何題就是要牢牢把握?qǐng)D形的本質(zhì)，善于在已知條件中尋找隱含的等量關(guān)系.下面讓我們一起來(lái)看一個(gè)變式.

變式1（圖7），已知點(diǎn)M是RT△ABC中斜邊AC上的一點(diǎn)，過M分別作MF∥AB交BC于F，MG∥BC交AB于G，若AG=3，CF=4，求四邊形MGBF的面積.

由于這道題有點(diǎn)難度，過了一會(huì)兒學(xué)生還是沒有反應(yīng)，“不妨大家先大膽猜猜看，它的面積可能會(huì)是多

少？”部分學(xué)生回答12.“很好！合理的猜想常能啟發(fā)我們解題的思路.既然認(rèn)為此矩形的面積等于12，如果沒有具體的數(shù)值，如何表示這個(gè)面積呢？”同學(xué)們回答說可以設(shè)元，“若設(shè)MG=a，GB=b，那么，問題就是證明ab=12.如何才能得到這個(gè)關(guān)系呢？請(qǐng)大家嘗試一下.”巡視了一遍后，我發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)都在嘗試用勾股定理建立等量關(guān)系，但得不到需要的結(jié)果，這是為什么？“請(qǐng)大家認(rèn)真思考一下，在這個(gè)圖形中，怎樣的等量關(guān)系可以出現(xiàn)ab？”用面積公式，即■·3a+ab+■·4b=■（4+a）（3+b），化簡(jiǎn)就得ab=12.“上述解題過程告訴我們，遇到困難時(shí)，一要大膽猜想，二要學(xué)會(huì)逐漸逼近目標(biāo).將幾何問題代數(shù)化，是幾何解題中的常見方法.但是，除了上面這個(gè)代數(shù)方法外，能否直接運(yùn)用幾何方法呢？”有位學(xué)生說還能用相似三角形的知識(shí)來(lái)做.容易得到△AGM∽△MFC，則有■=■，即ab=12.“很好！這位同學(xué)通過相似三角形的性質(zhì)把分散的a、b進(jìn)行有效的集中.那么，有沒有直接把這兩個(gè)分散的量聚集起來(lái)的方法呢？類比前面的圖形，你有什么聯(lián)想？”大部分學(xué)生說明白了，可以通過平移的方式.即以AB、BC為邊，補(bǔ)全為一個(gè)矩形（圖8），則有ME=AG=3，MH=CF=4，那么四邊形DEMH的面積就是12，這就和上一題完全一樣了，所以S四邊形MGBF=12.

因此，課堂上的巧妙設(shè)計(jì)突出了概念形成的過程性，凸顯了概念的本質(zhì)屬性。奇思妙想要有預(yù)設(shè)，動(dòng)用逆向思維挖掘教材要有深度.既沒有刻意強(qiáng)調(diào)該問題與原型之問的聯(lián)系，也沒有直接告知學(xué)生解題的思路，而是在不斷的啟發(fā)過程中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一般有效的方法.先猜后證，嘗試錯(cuò)誤；分析目標(biāo)，尋求思路；順應(yīng)思路，有效引導(dǎo)；生成方法，體驗(yàn)聯(lián)系，這些都要求我們老師具有扎實(shí)的教學(xué)基本功與機(jī)智的課堂應(yīng)變能力.

總之，在今后的教學(xué)工作中要觀察課堂教學(xué)細(xì)節(jié)過程中的點(diǎn)點(diǎn)滴滴，并從中吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，不斷改進(jìn)課堂教學(xué)，使教學(xué)合理化、智慧化、精致化、高效化.教師的理性引領(lǐng)猶如火把，能點(diǎn)燃學(xué)生頭腦中智慧的火花，師生在合作、探討中共同向思維的縱深處發(fā)展，用智慧打造科學(xué)、高效的課堂.

參考文獻(xiàn)：

[1]王東.“點(diǎn)”在臨界點(diǎn)，“撥”在關(guān)鍵處.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.陜西師范大學(xué)總社.

[2]單國(guó)炎.用智慧打造高效的復(fù)習(xí)教學(xué).初中數(shù)學(xué)教與學(xué).中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料.

（作者單位 福建省廈門后溪中學(xué)）