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    雙曲線條件的取值范圍問題

    2013-06-07 09:00
    今日中學(xué)生(初二版) 2013年4期
    關(guān)鍵詞:應(yīng)先橫坐標(biāo)反比例

    初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,經(jīng)常遇到雙曲線條件的取值范圍問題. 解答它們,除了靈活應(yīng)用反比例函數(shù)的知識外,還要注意靈活應(yīng)用不等式的知識. 現(xiàn)舉例如下:

    例1 如圖,A、B是雙曲線y=的一個分支上的兩點(diǎn),且點(diǎn)B(a,b)在點(diǎn)A的左側(cè),則b的取值范圍是 .

    分析:由點(diǎn)B(a,b)在雙曲線y=上,那么b=. 要確定b的取值范圍,應(yīng)先求k的值和確定a的取值范圍.

    解:顯見,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2).

    因?yàn)辄c(diǎn)A、點(diǎn)B都在雙曲線y=上,

    所以2=,b=.

    所以k=-2,b=.

    因?yàn)辄c(diǎn)B(a,b)在點(diǎn)A的左側(cè),

    所以a<-1.

    所以-1<<0,-2<<0.

    所以b的取值范圍是-2

    例2 如圖,已知M(2,1)、N(2,6)兩點(diǎn),反比例函數(shù)y=與線段MN相交于點(diǎn)Q(2,m),則k的取值范圍是( ).

    A. 1≤k≤6 B. 2≤k≤12 C. 4≤k≤24 D. k≤4或k≥24

    分析:注意到點(diǎn)Q(2,m)在反比例函數(shù)y=的圖象上,那么k=2m. 要確定k的取值范圍,應(yīng)先確定m的取值范圍.

    解:由M(2,1)、N(2,6)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,得MN⊥x軸.

    因?yàn)辄c(diǎn)Q(2,m)在線段MN上,

    所以1≤m≤6.

    因?yàn)辄c(diǎn)Q(2,m)在反比例函數(shù)y=的圖象上,

    所以m=,k=2m.

    所以2≤k≤12,應(yīng)選B.

    例3 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=的圖象交于C、D兩點(diǎn),DE⊥x軸于點(diǎn)E. 已知C點(diǎn)的坐標(biāo)是(6,-1),DE=3.

    (1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.

    (2)若一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值, 請確定x的取值范圍.

    分析:(1)根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo),可求出反比例函數(shù)的解析式;注意到點(diǎn)C、點(diǎn)D都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上,要求一次函數(shù)的解析式,應(yīng)先確定點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)要確定使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)值的x的取值范圍,只需看看x取什么值時,一次函數(shù)y=kx+b對應(yīng)的圖象高于反比例函數(shù)y=對應(yīng)的圖象.

    解:(1)依題意,在y=中,x=6時,y=-1.

    所以m=-6.

    所以反比例函數(shù)的解析式為y=-.

    因?yàn)镈E⊥x軸于點(diǎn)E,DE=3,

    所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3.

    因?yàn)辄c(diǎn)D在反比例函數(shù)y=-的圖象上,

    所以點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,3).

    因?yàn)辄c(diǎn)C(6,-1)、點(diǎn)D(-2,3)都在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上,

    所以6k+b=-1,-2k+b=3.

    所以k=-,b=2.

    所以一次函數(shù)的解析式為y=-x+2.

    (2)注意到點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2,點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為6,

    所以x的取值范圍為x<-2,或0

    例4 如圖,已知點(diǎn)A(2,6)、B(3,4)在雙曲線y=上.

    (1)求此雙曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式;

    (2)若直線y=mx與線段AB相交,求m的取值范圍.

    分析:(1)確定反比例函數(shù)的解析式,只需確定反比例函數(shù)上一個點(diǎn)的坐標(biāo)即可.(2)設(shè)直線y=mx與線段AB的交點(diǎn)為P(x,y),

    則m=. 為此,只需確定的取值范圍.

    解:(1)由點(diǎn)A(2,6)是反比例函數(shù)y=圖象上的一點(diǎn),得6=.

    所以k=12.

    所以此雙曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=.

    (2)設(shè)直線y=mx與線段AB的交點(diǎn)為P(x,y),則m=.

    因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在線段AB上,

    所以2≤x≤3,4≤y≤6.

    所以≤≤.

    所以m的取值范圍為≤m≤3.

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