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    0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?

    2013-06-04 03:33:44李明亮
    學習與研究 2013年4期
    關(guān)鍵詞:合數(shù)質(zhì)數(shù)分類

    李明亮

    【摘要】按所含的因數(shù)(約數(shù))的個數(shù)來分類,自然數(shù)可以三類——①質(zhì)數(shù);②合數(shù);③不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。在這種分類方法下,1和。都應歸入“不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”之列。因為。是一個特殊的自然數(shù),“為了方便”,小學數(shù)學教科書把。限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學習內(nèi)容之外。但是,在討論一些具體問題時,只依據(jù)“1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”就把。排除,就可能違反同一律。

    【關(guān)鍵詞】自然數(shù);分類;質(zhì)數(shù);合數(shù);同一律

    0是一個特殊的自然數(shù)。

    在我國,1993年才給0在“自然數(shù)家族”上“戶口”。而在我國的小學數(shù)學教科書中,直到2002年,“自然數(shù)家族”中才有0的“地位”。但是,0剛剛?cè)〉玫倪@個“合法地位”卻時常受到侵犯。

    例如,有的教輔用書中,自然數(shù)至今還忽而包括0,忽而又不包括0。

    小學數(shù)學中,自然數(shù)的分類方法有兩種。一是按能否被2整除來分——可分為偶數(shù)(能被2整除)和奇數(shù)(不能被2整除)——在這種分類方法下,0是偶數(shù),這是沒有疑義的,并且在小學數(shù)學教科書中有明確的敘述。二是按所含因數(shù)(約數(shù))的個數(shù)來分——可分為三類,即:①質(zhì)數(shù)(只有1和它本身兩個因數(shù)),②合數(shù)(含有三個及三個以上的有限個因數(shù)),③不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)——在這種分類方法下,0的歸屬就不那么清晰了。在現(xiàn)行小學數(shù)學教科書(如冀教版四年級上冊、人教版五年級下冊)中,給“質(zhì)數(shù)…‘合數(shù)”下了定義之后,又補充了一句:“1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”,而沒有提到0。那么,0應該歸入哪一類呢?

    因為0有無數(shù)個因數(shù)(約數(shù)),所以它不是質(zhì)數(shù);但把0歸入合數(shù),它又無法分解質(zhì)因數(shù)(如果非要把0分解質(zhì)因數(shù),則它的“質(zhì)因數(shù)”又必須包含0本身,并且有無數(shù)種分解方法),所以0也不是合數(shù)。所以,應該把0歸入“不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”之列。

    可在小學數(shù)學教科書中,為什么沒有明確地給0一個“地位”呢?原因可能有二:一是對舊教科書的沿襲;二是為了方便,把0限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學習內(nèi)容之外。如,在人教版《數(shù)學》五年級下冊的“因數(shù)與倍數(shù)”單元中,有一句“注意:為了方便,在研究因數(shù)與倍數(shù)的時候,我們所說的數(shù)指的是整數(shù)(一般不包括0)?!奔浇贪鏀?shù)學教科書中雖然沒有這樣的話,但也是同樣的原因,把0限制在了“因數(shù)和倍數(shù)”的學習內(nèi)容之外的。

    順便說一句,數(shù)學的分支“數(shù)論”中的因數(shù)也是不包括0的(數(shù)論中的“因數(shù)”與乘法中的“因數(shù)”在意義上是有區(qū)別的);《數(shù)學課程標準(實驗稿)》的“內(nèi)容標準”指出:“在1~100的自然數(shù)中,能找出某個自然數(shù)的所有因數(shù),能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)”(《數(shù)學課程標準(2011年版)》的規(guī)定與此完全相同),也沒有提到0。

    為什么要把0限制在“因數(shù)和倍數(shù)”的學習內(nèi)容之外呢?這是因為0是一個十分特殊的自然數(shù):①0有無數(shù)個因數(shù)(約數(shù)),能被任何非0自然數(shù)整除,沒有最大的因數(shù),但0不能做因數(shù)(約數(shù))——這與“一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的,其中最大的因數(shù)是它本身”相矛盾。②任何一個非。自然數(shù)的最小倍數(shù)都是0,又與“一個數(shù)的最小倍數(shù)是它本身”相矛盾。③任何幾個數(shù)的最小公倍數(shù)都是0,求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)也就沒有意義了?!@樣,在研究因數(shù)和倍數(shù)時,0在其中會使學生感到很不方便。所以,在學習這部分內(nèi)容時,把0限制在外是必要的。

    但是,這一限制并沒有否定“0是自然數(shù)”這一事實。其實,這一限制恰好說明質(zhì)數(shù)、合數(shù)都不包括0。所以我認為,在對自然數(shù)進行分類時,不應該忘記給。安排“一席之地”——不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。即使教科書上沒有說,教師在教學中做這么一點補充,讓學生對此有一個明確的認識,也是必要的。當然,提出“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”之類的問題,讓學生討論更好(相信學生能討論出結(jié)果)。

    對于這個問題,能不能做模糊處理(回避“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”的問題)呢?我認為不妥。當然,在不包括0的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù),仍在不包括0的情況下應用這兩個概念,是沒有問題的。但是,在不包括。的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù),而在包括。的情況下應用這兩個概念,就可能出現(xiàn)邏輯錯誤。請看下面的例子。

    在冀教版《數(shù)學·四年級上冊》的第95頁,第7題是“破譯電話號碼”。電話機上顯示的號碼是ABCDEFG——“A:10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)?!璆:既不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)。”答案是7235491。在這里,我們來討論與其有關(guān)的兩個問題。

    1.把“1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”理解成“不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)的數(shù)是1”,是不是正確呢?答案是否定的,因為逆命題與原命題不是等價命題,互為逆否的命題才是等價命題。

    2.上面這個問題是不是只有7235491這一個正確答案呢?

    如果想讓這個問題只有這一個正確答案,那么就需要先限定電話號碼中沒有0。如果不這么限定,那就需要對0進行討論——“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”,因為質(zhì)數(shù)、合數(shù)都不包括0,所以討論的結(jié)果就是有兩個正確答案——7235491和7235490。如果不限定電話號碼中沒有0,而又不考慮“0是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)”,那么就違反了同一律。因為同一律要求我們,在進行論斷和推理過程中,每一個概念都應該在同一的意義上來使用——在沒有。的情況下研究質(zhì)數(shù)與合數(shù),就應該在沒有。的情況下應用質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念。

    還有,在一些教輔用書和試卷上,常出現(xiàn)猜多位數(shù)的題,其中常見的一句話就是某一數(shù)位上的數(shù)“不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”,而給出的“標準答案”也只有一個——這一位上是1。這也是把“1不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)”當作“不是質(zhì)數(shù),也不是合數(shù)的數(shù)是1”來推理的,同時也存在違反同一律的邏輯錯誤。

    避免此類邏輯錯誤的方法就是,要么給0一個位置,要么別提出此類問題(如上述猜多位數(shù)的問題)。

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