凸角型滾刀加工齒輪的根切點研究

徐 銳,汪列隆

（池州學(xué)院 機械與電子工程系，安徽 池州 247000）

齒輪是應(yīng)用非常廣泛、使用非常普遍的重要傳動零件之一。目前，齒輪加工行業(yè)較為普遍采用的齒輪加工工藝是“滾—剃”和“滾—磨”。在滾切齒輪時，為了避免磨（剃）齒時刀具的齒尖與被加工齒輪的齒底發(fā)生干涉等原因，一般都會采用凸角型剃（磨）前滾刀進行預(yù)切來產(chǎn)生一定的根切[1-3]。在產(chǎn)生根切的過程中，根切點的位置非常重要，因為它是影響齒輪漸開線長度和齒根彎曲強度的重要因素。因此，研究根切點的形成和根切點位置具有重要的意義。本文基于滾齒切削原理，通過推導(dǎo)被加工齒輪的根切部分的齒形曲線方程，對采用不同類型的滾刀在滾切中產(chǎn)生的根切點的形成情況進行了分析，并利用AutoCAD的二次開發(fā)功能，精確地得到了各種根切點的坐標，從而非常簡便地求解出根切點所在圓直徑。

1 凸角型滾刀的齒形建模

凸角型滾刀與普通滾刀齒形相比，只是在齒側(cè)與齒頂間增加了凸角部分[4－5]，如圖1所示。如果不考慮修緣部分，凸角類型滾刀根據(jù)凸角的具體結(jié)構(gòu)可以分為相交型（凸角部分由直線AD、直線CD和圓弧CE組成，如圖1（a）所示）和相切型滾刀（凸角部分由直線AC和圓弧CE組成，如圖1（b）所示）。

圖1 凸角型滾刀齒形

現(xiàn)分別對上述兩種滾刀齒形特點進行分析以及建立齒形建模。

1.1 相交型凸角滾刀齒形特點及建模

相交型凸角滾刀的齒形由五部分組成：直線為AB主切削刃，直線AD為過渡刃，直線DC為凸角平行部分，圓弧CE為刀頂圓弧，直線EF為刀頂刃。其中，C是EC與DC的切點，D點是AD與CD的交點，A點是AB與AD的交點，如圖1（a）所示。

根據(jù)凸角部分的幾何關(guān)系可知，凸角部分各個參數(shù)的關(guān)系為：

其中：hc—滾刀凸角突出部分長度；hc—滾刀凸角長度;H—滾刀凸角高度；αn為滾刀法向壓力角；αf為滾刀過渡刃齒形角。

建立如圖2所示的坐標系，并根據(jù)相應(yīng)參數(shù)建立滾刀齒形模型，例如：

圖2 相交型凸角滾刀齒形建模坐標系

主切削刃AB：

點D：

刀頂圓弧CE：

式中：ha為滾刀齒頂高；h為滾刀全齒高；sn為滾刀法向齒厚；R為滾刀齒頂刃圓弧半徑；αn為滾刀法向壓力角；αf為滾刀過渡刃齒形角；

圖2中的滾刀齒形一般為法向齒形,因此要將法向齒形參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為端面齒形方程，即按式（7）轉(zhuǎn)化：

式中：β—齒輪的螺旋角。

1.2 相切型凸角滾刀齒形建模

相切型凸角滾刀的齒形由五部分組成：直線AB為主切削刃，直線AC為過渡刃，圓弧CE為刀頂圓弧，直線EF為刀頂刃。其中，C是CE與AC的切點，A點是AB與AC的交點，如圖1（b）所示。

根據(jù)凸角部分的幾何關(guān)系可知，凸角部分各個參數(shù)的關(guān)系為：

建立如圖3所示的坐標系，并根據(jù)相應(yīng)參數(shù)建立滾刀齒形模型，例如：過渡刃AC：

圖3 相切型凸角滾刀齒形建模坐標系

刀頂圓弧CE：

同樣通過式（7）就可以轉(zhuǎn)化為端面齒形方程。

2 被加工的齒輪齒形方程推導(dǎo)及根切點形成方式分析

滾齒加工屬于展成法加工，滾齒切削過程實際上為滾刀展成齒輪齒形的過程?；邶X輪嚙合原理，可以得到滾刀與被加工齒輪齒形方程之間關(guān)系[6,7]：

不管是什么類型的滾刀，只要將滾刀齒形方程代入轉(zhuǎn)換關(guān)系式（13）中，即可得到對應(yīng)齒形加工出的齒形方程，例如，主切削刃加工的齒形方程為：

2.1 根切點形成方式分析

根切點是滾切過程中形成的過渡曲線與漸開線的交點，一般也被稱為漸開線起始點。通過選取了不同的齒輪和對應(yīng)滾刀，將具體參數(shù)數(shù)值代入前面推導(dǎo)的被加工齒形方程，利用vb編程實現(xiàn)對被加工齒輪的根切部分各段齒形曲線的繪制，就可以地直觀分析各根切點的形成方式。

2.1.1相交型凸角加工齒輪的根切點形成方式 通過分析發(fā)現(xiàn)，對于相交型凸角滾刀，參與形成剃（磨）前根切點的過渡曲線可以是過渡刃AD產(chǎn)生副漸開線（如圖4（a）所示）、拐點D產(chǎn)生延伸漸開線（如圖4（b）所示）以及延伸漸開線等距曲線CE（如圖 4（c）所示）三種形成情況。

圖4 相切型凸角滾刀加工齒輪的根切點形成方式

第一種根切點形成方式 （即過渡刃AD產(chǎn)生副漸開線與主漸開線AB的相交而成）一般出現(xiàn)在被加工齒輪的齒數(shù)較多的情況下。從圖中可以看出，在這種情況下，剃（磨）后根切點可以是由拐點D產(chǎn)生的延伸漸開線D或過渡刃AD產(chǎn)生的副漸開線與剃（磨）后漸開線相交而成，具體的形成方式取決于留剃（磨）量的大小。

第二種根切點形成方式 （即拐點D產(chǎn)生副漸開線與主漸開線AB的交點）一般出現(xiàn)在被加工齒輪的齒數(shù)較少的情況下。從圖中可以看出，在這種情況下，剃（磨）后根切點是由拐點D產(chǎn)生的延伸漸開線D與剃（磨）后漸開線相交而成。

第三種根切點形成方式（即刀頂圓弧CE產(chǎn)生的延伸漸開線等距曲線與主漸開線AB的交點）一般出現(xiàn)在被加工齒輪的齒數(shù)特別少且當普通型滾刀滾切時產(chǎn)生較大根切的情況下。從圖中可以看出，在這種情況下，剃（磨）后根切點僅由延伸漸開線等距曲線CE與剃（磨）后漸開線相交而成。

2.1.2 相切型凸角加工齒輪的根切點形成方式 通過分析發(fā)現(xiàn)，對于相切型凸角滾刀，參與形成剃（磨）前根切點的過渡曲線可以是過渡刃AC產(chǎn)生副漸開線（如圖5（a）所示）以及刀頂圓弧CE產(chǎn)生的延伸漸開線等距曲線（如圖5（b）所示）兩種形成情況。

圖5 相切型凸角滾刀加工齒輪的根切點形成方式

第一種根切點形成方式（即過渡刃AC產(chǎn)生副漸開線與主切削刃AB產(chǎn)生的漸開線相交而成）一般出現(xiàn)在被加工齒輪的齒數(shù)較多的情況下。從圖中可以看出，在這種情況下，剃（磨）后根切點可以是由過渡刃AC產(chǎn)生副漸開線或與刀頂圓弧CE產(chǎn)生的延伸漸開線等距曲線與剃（磨）后漸開線相交而成，具體的形成方式取決于留剃（磨）量的大小。

第二種根切點形成方式（即刀頂圓弧CE產(chǎn)生的延伸漸開線等距曲線與主切削刃AB產(chǎn)生的主漸開線AB相交而成），這種形成方式由可以分為兩種情況：圖5（b）（i）所示一般出現(xiàn)在被加工齒輪齒數(shù)較少但當普通型滾刀滾切時不產(chǎn)生根切的情況；圖 5（b）（ii）所示從圖中可以看出，一般出現(xiàn)在被加工齒輪齒數(shù)較少但當普通型滾刀滾切時產(chǎn)生根切的情況。這兩種情況下，剃（磨）后根切點僅由延伸漸開線等距曲線與剃（磨）后漸開線相交而成。

3 根切點的求解

通過前面的分析，知道了根切點的各種形成方式及形成曲線的方程，為了得到根切點的坐標值及根切點所在圓直接，最直接的方法將具體的齒輪和刀具參數(shù)代入各曲線方程并聯(lián)立求解，但是從前面導(dǎo)出的曲線方程可以看出，各段曲線方程都是超越方程，求解要利用迭代方程進行求解，過程非常繁瑣。為了較為簡便的得到根切點的坐標值，一些文獻都進行了相關(guān)的探索，得到了一些計算方法[8]。本文所探討的方法是借助AutoCAD軟件的二次開發(fā)平臺來進行求解根切點。

3.1 根切點求解的程序編制

AutoCAD作為非常強大的繪圖工具，其內(nèi)部運算精度高、速度快，而且提供可供二次開發(fā)的接口[9]。因此，在AutoCAD平臺下，通過對其二次開發(fā)可以實現(xiàn)各段曲線的繪制，再基于上面的根切形式分析通過調(diào)用內(nèi)部的相關(guān)命令即可很快且非常準備地得到根切點的坐標值，從而得到根切點半徑的大小。具體實現(xiàn)步驟為：

（1）利用VB編程將前面建立的滾刀數(shù)學(xué)模型和滾切的被加工齒輪齒形方程轉(zhuǎn)化為程序。

（2）基于AutoCAD二次開發(fā)接口，利用VB編程實現(xiàn)滾刀滾切曲線的繪制。

部分程序如下：

Dim acadApp As AcadApplication

‘定義AutoCAD變量

Dim spline1Obj As AcadSpline

‘定義樣條曲線變量1

Dim spline2Obj As AcadSpline

‘定義樣條曲線變量2

Set acadApp=GetObject(,"AutoCAD.Application")

‘給AutoCAD變量賦值

Set spline1Obj=acadApp.ActiveDocument.ModelSpace.AddSpline(p1,startTan,endTan)

‘繪制第一條曲線

Set spline2Obj=acadApp.ActiveDocument.ModelSpace.AddSpline(p2,startTan,endTan)

‘繪制第二條曲線

（3）通過VB編程調(diào)用AutoCAD內(nèi)部獲取兩曲線交點的函數(shù)，自動獲取兩相交曲線的交點坐標以并判斷形成根切點的方式，以便再次調(diào)用函數(shù)進一步獲取剃（磨）后根切點坐標。通過根切點坐標值就可以求解出根切點所在圓直徑。

其求交點的程序為：

Dim intPoints1to2 As Variant

‘定義交點坐標數(shù)組

intPoints1to2=spline1Obj.IntersectWith(spline2Obj,acExtendNone)

‘獲取交點

3.2根切點求解的實例

已知某齒輪的基本參數(shù)和對應(yīng)的滾刀參數(shù)如表1和表2所示。

表1 齒輪基本參數(shù)

表2 滾刀基本參數(shù)

輸入上述表中相應(yīng)參數(shù)，通過運行根切點求解程序，在AutoCAD中模擬出的齒輪根部齒形以及求得的根切點直徑如圖6所示。

圖6 模擬的根切點形成方式

從圖中可以看出，該滾刀凸角為相交類型，滾齒根切點形成方式為第一種根切點形成方式，即過渡刃AD產(chǎn)生副漸開線與主漸開線AB的相交而成,求得的滾齒根切點所在圓直徑為ф68.307；剃后根切點是由拐點D產(chǎn)生的延伸漸開線與剃后漸開線相交而成，求得的剃后根切點所在圓直徑為ф67.829。

4 結(jié)論

通過分析剃（磨）前凸角型滾刀的各種凸角類型齒形的特點發(fā)現(xiàn)，凸角型滾刀分為相交型和相切型兩種類型，并分析了兩者的凸角幾何關(guān)系。建立了兩種凸角類型滾刀齒形的數(shù)學(xué)模型，并基于齒輪嚙合原理，對凸角部分各段切削刃形成的曲線方程進行了推導(dǎo),并利用VB對AutoCAD的二次開發(fā)實現(xiàn)了相交型和相切型凸角滾刀加工齒形各種曲線的繪制并對根切形成方式的進行了深入探討，同時通過調(diào)用相關(guān)命令快速準確地對根切點進行求解，為求解根切點提供了一種切實可行的方法。

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[3]袁哲俊,劉華明.刀具手冊[M].北京：機械工業(yè)出版社,1999.

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