從一道中考題談起

周莎

問題 （2012四川達州）若關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，則k的取值范圍是____________ .

【解答】方法一：解方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2.得：x=2k，y=-k-1.

因為關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，

所以2k+（-k-1）>1，解得k>2.

方法二：方程組2x+y=3k-1，①x+2y=-2. ②

①+②得：3x+3y=3k-3，即：x+y=k-1.

因為關(guān)于x、y的二元一次方程組2x+y=3k-1，x+2y=-2的解滿足x+y>1，

所以k-1>1，解得k>2.

【點評】本題既能夠考查同學(xué)們對二元一次方程組解法的掌握，也能夠考查同學(xué)們對一元一次不等式組解法的掌握.同時，本題將二元一次方程組與一元一次不等式融為一體，能夠較好地滲透整體的數(shù)學(xué)思想，使含有3個未知數(shù)的方程組、一元一次不等式問題轉(zhuǎn)化為只含有一個待定系數(shù)的一元一次不等式問題.

【思考】方法一，從基礎(chǔ)知識和基本能力的角度，直接根據(jù)所給方程組求得含有待定系數(shù)的方程組的解，再分別代入含有未知數(shù)的不等式中，建立含有待定系數(shù)的不等式，從而確定待定系數(shù)的取值范圍.方法二，能夠較為靈活地根據(jù)方程組中對應(yīng)未知數(shù)的系數(shù)關(guān)系，巧妙地將方程組中的兩個方程相加，再應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想，從而使得問題巧妙轉(zhuǎn)化，也使得問題的解答簡捷、明快.

變式1 若關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+y=1+a，x+3y=3的解滿足x-y<2，則a的取值范圍是（ ）.

A. a>4 B. a<4

C. a>6 D. a<6

【解答】解方程組3x+y=1+a，①x+3y=3. ②

①-②，得：2x-2y=a-2，

因為關(guān)于x、y的二元一次方程組3x+y=1+a，x+3y=3的解滿足x-y<2，即2x-2y<4，

所以a-2<4，解得a<6.所以，本題正確應(yīng)該選D.

變式2 關(guān)于x、y的二元一次方程組5x+3y=23，x+y=p的解是正整數(shù)，則整數(shù)p的值為_______.

【解答】解方程組5x+3y=23，x+y=p得：x=■，y=■.

因為關(guān)于x、y的二元一次方程組5x+3y=23，x+y=p的解是正整數(shù)，

所以■>0，■>0.解得4■

分別把p為5、6、7代入原方程組的解中，只有p=5、7時方程組的解是正整數(shù)，

所以，本題正確應(yīng)該填：5或7.