支撐共振法測量固體材料楊氏模量

韓立立 王 岍 苗笛聲

(中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院，青島 266580)

0 引言

彈性材料承受正向應(yīng)力時會產(chǎn)生正向應(yīng)變，在形變量沒有超過對應(yīng)材料的一定彈性限度時，定義正向應(yīng)力與正向應(yīng)變的比值為這種材料的楊氏模量。

楊氏模量是選定機械零件材料的依據(jù)之一，是工程技術(shù)設(shè)計中常用的參數(shù)。楊氏模量是物體間原子、離子或分子之間鍵合強度的反映，其值越大，使材料發(fā)生一定彈性變形的應(yīng)力也越大，即材料剛度越大[1]。楊氏模量的測定對研究金屬、光纖、半導(dǎo)體、納米、聚合物、陶瓷、橡膠等各種材料的力學(xué)性質(zhì)有著重要意義。

測量楊氏模量的方法一般有拉伸法、梁彎曲法、振動法、內(nèi)耗法等，還出現(xiàn)了利用光纖位移傳感器、莫爾條紋、電渦流傳感器和波動傳遞(微波或超聲波)等實驗技術(shù)和方法測量楊氏模量。本文研究采用的是支撐共振法測材料楊氏模量。

1 實驗儀器及基本原理

功率函數(shù)信號發(fā)生器可產(chǎn)生多種波形，輸出頻率范圍5Hz～500kHz。激振器將聲頻信號轉(zhuǎn)換為機械振動信號，振動信號通過試樣棒傳到拾振器上轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘枺娦盘栠M入示波器中顯示。試樣棒直接搭放在兩個換能器上，無需進行其他處理。

信號發(fā)生器通過激振器使試樣棒做彎曲振動，滿足動力學(xué)方程[2]：

(1)

該長棒的軸線沿x方向，式中y為棒上距左端在x處截面的y方向上的位移；E為該棒的楊氏模量；ρ為材料密度；S為棒的橫截面積；J為棒的某一截面的慣性矩；t為時間。

用分離變量法解方程得：

(2)

式中：m為棒的質(zhì)量；d為直徑；L為試樣棒的長度；f為基頻振動的固有頻率。

式(2)只有在試樣的直徑與長度之比d/L趨于零時才能滿足，但實際測量時，由于不滿足d<

(3)

表1 徑長比與修正系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

2 實驗數(shù)據(jù)處理

2.1 基頻共振的判斷

實驗測量當(dāng)中，激發(fā)換能器、接受換能器、支架等部件都有自己的共振頻率，可能以其本身的基頻或高次諧波頻率發(fā)生共振。同時，試樣本身也會有多個共振峰，因此會在實驗中測到多組共振信號，必須采用一定方法判斷示波器上顯示的信號是否為試樣棒的共振頻率。

判斷方法如下：先通過理論計算，估算基頻共振頻率數(shù)值，真正的基頻共振頻率在估算頻率附近。實驗樣品中玻璃的楊氏模量理論值為71.68GPa，根據(jù)式(3)得：玻璃棒基頻共振頻率為730.5939Hz。

2.2 外延法數(shù)據(jù)擬合

根據(jù)方程(1)的解知，試樣在作基頻振動時存在兩個節(jié)點，它們的位置分別距端面0.224L和0.776L。這兩點的振動頻率即為基頻振動頻率。將試樣支撐在這兩個位置時振幅幾乎為0，試樣棒難以被激振。故測量這兩個點周圍點的振動頻率，再用外延法找到節(jié)點處的振動頻率。實驗測得玻璃棒共振頻率如表2所示。用電腦軟件進行數(shù)據(jù)擬合[3]，得到圖像，如圖1所示。

表2 實驗測得玻璃棒共振頻率

圖1 玻璃棒數(shù)據(jù)擬合圖像

3 實驗結(jié)論及證明

由擬合所得圖像知:玻璃棒在0.224L處共振頻率約為735.5Hz。將頻率升高到所判定的基頻2.74倍處，發(fā)現(xiàn)玻璃棒在2000Hz附近，存在共振，即一次諧波共振，證明735Hz為真正的基頻共振頻率。根據(jù)式(3)計算，得到玻璃棒楊氏模量E1=73.54GPa。結(jié)果接近真實值71.68GPa。相對誤差2.6%。

4 實驗分析

測量儀器會引起部分測量誤差，甚至導(dǎo)致部分材料無法測得。根據(jù)測量實際情況，總結(jié)出所測試樣棒需要滿足以下幾點要求：

1)試樣棒要長短適中，本實驗裝置中換能器距離最大21.00cm，最小可以達(dá)到4.50cm，要測量0.224L附近的共振頻率，則試樣棒的極限長度范圍為8.2～38.5cm。但使用外延法時，欲使測量結(jié)果更準(zhǔn)確，則試樣棒最佳長度為15～30cm。極限長度范圍的計算方法:換能器最小距離/0.552為試樣棒最短長度；換能器最大間距/0.552為試樣棒最大長度。

2)真實共振頻率應(yīng)與儀器共振頻率有較遠(yuǎn)差距，本實驗儀器DCY-系列共振頻率約為110Hz。由于儀器共振峰有一定寬度，若所測試樣棒真實共振頻率過于接近110Hz，則會受到儀器共振頻率干擾，導(dǎo)致測量錯誤。因此本實驗中真實共振頻率要在150Hz以上。在實驗之前必須搞清儀器共振頻率，實驗中必須避開這一頻率進行數(shù)據(jù)測量。

3)試樣棒不能彎曲，若試樣棒彎曲，則無法得到正確的測量頻率，并且試樣棒必須是脆性材料，這是共振法測量楊氏模量的局限，對于非脆性材料(如橡膠棒)，利用這種方法無法測得共振頻率。對于非脆性材料，可利用強迫振動方法測得其楊氏模量[4]。

5 結(jié)束語

共振法測量固體材料楊氏模量結(jié)果穩(wěn)定，理論同實驗吻合度好，適用于各種金屬及非金屬(脆性) 材料的測量，也可用于高溫下測量[5]。在測量過程中，找出基頻對稱型共振狀態(tài)是動態(tài)法測量楊氏模量的技術(shù)關(guān)鍵，這包含兩個問題:判斷試樣是否處于共振狀態(tài)與判別所出現(xiàn)的共振信號是否屬于對稱型基頻下的共振信號。

本實驗通過對數(shù)據(jù)結(jié)果的分析研究，找到了測量非金屬樣品楊氏模量的一般方法，同時研究了基頻共振的判斷過程，此法可以用于多種材料的測量和鑒頻。本實驗還證明了對于較長試樣棒，依然可以利用外延法，借助軟件擬合，得到較準(zhǔn)確的基頻共振頻率。

[1] 楊周琴．共振法測量金屬材料的楊氏模量實驗探討[J].新課程，2011(9)：64-65

[2] 李艷琴，趙紅艷，李學(xué)慧，胡瑞.動力學(xué)共振法測量固體楊氏模量[D].大連:大連大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，2009

[3] 萬志龍.Origin在動態(tài)法測量楊氏模量實驗中的應(yīng)用[J].技術(shù)物理教學(xué)，2009(2)：33

[4] 賀西平．強迫振動方法確定粘彈性細(xì)棒的復(fù)楊氏模量[J].聲學(xué)學(xué)報，2012(2)：193-197

[5] 周曉明．三種楊氏模量測量方法比較[J].實驗科學(xué)與技術(shù)，2011(6)：97-99