二次函數(shù)型問題及變式

摘 要： 二次函數(shù)型問題是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考和學(xué)業(yè)水平考試的重點(diǎn)與難點(diǎn).二次函數(shù)型問題形式多樣，解題方法靈活.但有些學(xué)生在解答二次函數(shù)型問題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，甚至束手無策.本文就一個(gè)習(xí)題教學(xué)案例進(jìn)行分析與拓展，總結(jié)了二次函數(shù)型問題的幾個(gè)常見類型，旨在鞏固二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，揭示二次函數(shù)型問題常見的解決思路與方法.

關(guān)鍵詞： 二次函數(shù)型問題 變式 數(shù)學(xué)表達(dá)能力 習(xí)題教學(xué)

習(xí)題課是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的一種重要的不可或缺的課型.習(xí)題教學(xué)的重點(diǎn)在于及時(shí)掌握學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題的認(rèn)知基礎(chǔ)和心理狀態(tài)，對(duì)學(xué)生易錯(cuò)題進(jìn)行仔細(xì)分析，拓展與變式，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.加強(qiáng)習(xí)題教學(xué)案例分析是提高習(xí)題教學(xué)效率的切實(shí)可行的措施.本文就一個(gè)習(xí)題教學(xué)案例的分析，小結(jié)了常見二次函數(shù)型問題及其解決思路.

一、一個(gè)習(xí)題教學(xué)案例

設(shè)函數(shù)f（x）=■（a<0）的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)（s，f（t））（s，t∈D）構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則的值為（ ）

（A）-2 （B）-4 （C）-8 （D）不能確定

習(xí)題設(shè)計(jì)說明：本題旨在考查函數(shù)f（x）=■（a<0）的定義域、值域.主要分析思路是：設(shè)關(guān)于x的方程■（a<0）的兩個(gè)根分別為x■，x■，由題意得|x■-x■|=f■（x），即■=■，則|a|=2■，解得a=-4，所以選B.此題是對(duì)學(xué)生是否掌握了用數(shù)形結(jié)合思想方法解決二次函數(shù)型問題的一次很好的檢驗(yàn).但統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，只有62%的學(xué)生做對(duì).經(jīng)過分析與教學(xué)反思，我對(duì)此題進(jìn)行了拓展變式.

二、案例拓展與變式

1.與二次函數(shù)定義域有關(guān)的問題

（1）已知n∈N■，函數(shù)f（x）=n（n+1）x■-（2n+1）x+1圖像在軸上截距之和為？搖 ？搖.

分析：已知拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為■、■，這兩點(diǎn)間距離為■-■，所以當(dāng)n∈N■時(shí)，所求截距之和為

■[（1-■）+（■-■）+…（■-■）]=■（1-■）=1.

2.與二次函數(shù)值域有關(guān)的問題

（2）若函數(shù)y=lg（ax■+2x+1）（a∈R）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，y=lg（2x+1），其值域是R，符合題意；

當(dāng)a≠0時(shí)，得a>0△=4-4a≥0？圳0

3.利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決定義域和值域共存問題

（3）①若關(guān)于x的不等式x■-ax+a+1<0對(duì)于x∈（2，3）都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

②若存在x∈（2，3），使得x■-ax+a+1<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為？搖 ？搖.

分析：①由已知，得△=（-a）■-4（a+1）>0，f（2）≤0f（3）≤0？圯a≥5；

②設(shè)x■-ax+a-1=0，則（x-1）（x-a+1）=0，

解得x=1或x=a-1.由已知，得拋物線y=x■-ax+a-1與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（1，0），（a-1，0），且a-1>2，因此a>3.

（4）若關(guān)于x的不等式x■-ax+a<0有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是？搖 ？搖.

解：設(shè)f（x）=x■-ax+a，其圖像對(duì)稱軸是x=■.

由△=（-a）■-4a>0，解得a<0或a>4.

當(dāng)a<0時(shí)，■<0，且f（1）>0，f（0）=a<0，

由題意得f（-1）<0f（-2）≥0，

即1+2a<04+3a≥0，解得-■≤a<-■；

當(dāng)a>4時(shí)，■>2，且f（1）>0，f（2）=4-a<0，

由題意得f（3）<0f（4）≥0，

即9-2a<016-3a≥0，解得■

三、結(jié)語

對(duì)習(xí)題教學(xué)案例分析與拓展變式是習(xí)題教學(xué)的一種好的形式.二次函數(shù)型問題是易錯(cuò)問題，它是教與學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是高考與學(xué)業(yè)考試的重點(diǎn)與難點(diǎn).二次函數(shù)型問題分類與解決有助于學(xué)生理解二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，有利于揭示二次函數(shù)型問題常見的解決思路與方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐明.小填空，大乾坤[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（6）：61-63.

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