對工科院校大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一點思考

摘 要： 本文以矩陣可逆的條件為例，綜合線性代數(shù)以及概率的基本知識，給出了矩陣可逆在通信系統(tǒng)中的噴泉碼上的應(yīng)用，求出了噴泉碼正確解碼的概率.這啟示廣大教師，在平時的教學(xué)中應(yīng)該努力理論聯(lián)系實際，這不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且對他們靈活地掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識也有非常重要的促進作用.

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù) 概率論 矩陣可逆 線性無關(guān)

1.引言

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，經(jīng)常會有學(xué)生這樣問：“為什么要學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)，學(xué)了有什么？”這個問題不是一兩句話能回答清楚的.我們在實際教學(xué)中，應(yīng)該努力做到以學(xué)生為中心，針對他們所關(guān)心的問題進行有針對性的引導(dǎo)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.同時，教師在探索這些問題答案的過程中，眼界為之寬廣，使自己的水平得到提高，從而更好地做好教學(xué)工作.下面就以線性代數(shù)里面的教學(xué)過程為例說明這一過程.矩陣可逆是線性代數(shù)中的一個基本內(nèi)容，在實際應(yīng)用中有著非常重要而又有趣的應(yīng)用，在教學(xué)中適當(dāng)添加這些內(nèi)容，能讓我們的教學(xué)更生動，讓學(xué)生更有興趣學(xué)習(xí).

2.矩陣可逆的基本條件

本節(jié)中我們給出矩陣可逆的一些基本定義和定理[1]，引出我們后面的內(nèi)容.

定義1：我們稱n階方陣A是可逆的，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E成立.

同時，把矩陣可逆和解方程組聯(lián)系在一起，還能夠得到如下定理：

定理1：方程組Ax=b有解的充要條件是方陣A可逆.

而在學(xué)習(xí)了向量組的線性無關(guān)性以及秩的概念后，我們還能夠得到關(guān)于方陣可逆的等價條件：

定理2：n階方陣A是可逆的充要條件是，由方陣A的行向量組成的向量組的秩是n，或者說這n個向量是線性無關(guān)的.

3.噴泉碼中的矩陣可逆問題

在現(xiàn)代通信中，為了準(zhǔn)確傳輸信息，通常會對要傳輸?shù)膬?nèi)容進行編碼.噴泉碼就是一種非常有效的編碼方式，其基本原理是，對要傳輸?shù)拇a字，我們可以設(shè)為向量a■，a■，…，a■，發(fā)送方首先隨機的選取系數(shù)c■，c■，…，c■，然后利用這些系數(shù)不斷的發(fā)送這些向量的線性組合c■a■+c■a■+c■a■，直到接收方恢復(fù)出向量a■，a■，…，a■為止.在這一過程中，我們可以看到接收方接收到的都是a■，a■，…，a■的線性組合，因而可以把解碼的過程看做是如何從線性方程組中解出a■，a■，…，a■.

由定理1可知，方程組是否有解等價于求矩陣A可逆的概率是多少.一般的，向量a■，a■，…，a■中每個元素都是0或1，所以，噴泉碼的解碼概率就轉(zhuǎn)化為如下的一個數(shù)學(xué)問題：

設(shè)矩陣A中的元素以相等的概率取0或者1，那么矩陣A可逆的概率是多少？

對于這一問題，我們可以這樣解答：

首先，矩陣A中的元素不是0就是1，這樣總共有2■種可能性.其次，當(dāng)矩陣A可逆時，它的每一行的元素應(yīng)該這樣選?。簩τ诘谝恍?，可以選取除了全0以外的任一種，因此有2■-1種可能性，對于第二行，不能是第一行的線性組合，因而有2■-2種可能性，對于第三行，不能是第一行和第二行的線性組合，因而有2■-2■種可能性.如此繼續(xù)下去，對第n行，有2■-2■種可能性.因而矩陣A可逆的概率是：

■？搖■…■.

當(dāng)n大于10時，能夠證明，這個概率接近于0.289，是比較小的概率.

從上面的例子中我們的體會是，教師在課堂教學(xué)過程中，應(yīng)該要努力拓展自己的思維，引導(dǎo)學(xué)生思考，這樣才能讓學(xué)生學(xué)會怎樣解題，才能學(xué)會自己尋找問題，并學(xué)會在遇到問題時，多方探索，得到滿意的答案[2].

3.結(jié)語

本文介紹了矩陣可逆這一問題在實際中的應(yīng)用.從實際教學(xué)效果來看，學(xué)生對這一問題非常感興趣，教學(xué)效果非常好.在平時教學(xué)過程中，我們應(yīng)努力理論聯(lián)系實際，提高教學(xué)水平.

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].高等教育出版社，第四版，2003.

[2]喬治·波利亞.怎樣解題[M].上海科技教育出版社，2007.

基金項目：湖北省教研課題（項目編號：省20050312），湖北工業(yè)大學(xué)教研課題 （編號：2010015，2012048，2012050）