高中數(shù)學(xué)解題中向量的有效運(yùn)用

摘 要： 高中數(shù)學(xué)向量知識的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，有助于學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科之間的聯(lián)系，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的使用價值.本文首先闡述向量的基本知識，然后重點(diǎn)探討向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué)解題 向量 運(yùn)用

長期以來，高中學(xué)生面對大量的習(xí)題，一些學(xué)生在解題時往往沒有頭緒，不知從何下手.向量是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一部分，也是重要內(nèi)容之一.在高中代數(shù)、幾何及三角函數(shù)中都得到了廣泛應(yīng)用.尤其隨著新課程的不斷改革，學(xué)生學(xué)習(xí)時不僅要掌握一章的相關(guān)知識，而且需要建立章節(jié)之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用各章知識.為此，必須加強(qiáng)向量在高中數(shù)學(xué)解題中的有效運(yùn)用，提高學(xué)生的解題效率，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力.

一、向量的認(rèn)識

向量早在十九世紀(jì)就已經(jīng)成為物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究和應(yīng)用的對象.到了二十世紀(jì)，向量被引入數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域.我國于上個世紀(jì)九十年代將向量并入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容.

1.向量是重要的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型

向量中應(yīng)用V代表集合，V構(gòu)成了向量的加法運(yùn)算交換群.V中，向量的數(shù)量積運(yùn)算能夠表達(dá)出向量的長度，當(dāng)V中的向量長度有了實(shí)際意義后，（V，R）對于向量的實(shí)數(shù)、加法及向量的乘法運(yùn)算均構(gòu)成了線性范疇.它是數(shù)學(xué)建模中的重要組成部分，同時也是線性代數(shù)、抽象代數(shù)、泛函分析的重要研究對象.因而，應(yīng)用向量知識，能夠很好地理解泛函分析、線性代數(shù)及抽象代數(shù)等基本的數(shù)學(xué)模型.

2.向量是連接幾何、代數(shù)的紐帶

向量是有向線段，因而可以表示物體的位置；而物體的位置和形狀，是幾何學(xué)的研究對象，因而向量也就可以從幾何學(xué)的角度來理解.由于向量有長度，因而可以利用其刻畫物體的面積、體積、長度等基本的幾何度量問題；由于向量具有方向性，因而可以應(yīng)用向量描述平面、直線等幾何對象的位置關(guān)系；代數(shù)研究中，有關(guān)加、減、乘、除的運(yùn)算，也同樣適用于向量的代數(shù)運(yùn)算中，因而向量運(yùn)算可以解決代數(shù)問題.

二、向量在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

對于高三學(xué)生來說，普遍具有一種思想認(rèn)識，那就是認(rèn)為時間比較緊，希望自己能夠把時間都花在解大量的習(xí)題上，對于見過的習(xí)題則很少進(jìn)行思考.這種解題上的誤區(qū)在于高三學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)解題能力和解題數(shù)量成正比例關(guān)系，他們解題更多的是為了完成任務(wù)，缺少解題中的反思過程.所以在高三數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考習(xí)慣.采取正確的解題技巧可提高他們的解題能力，使其成為學(xué)習(xí)的主人.

1.向量在立體幾何中的應(yīng)用

向量在立體幾何中應(yīng)用，與在平面幾何中的應(yīng)用模式一致，但加入了立體幾何中的空間想象，使得學(xué)生在傳統(tǒng)的幾何問題處理模式中存在一定的差異，因而，采用向量法能夠促使幾何問題簡化，化繁為簡，找到問題答案.

例題：在正方體ABCD-A■B■C■D■中，E是DD■的中點(diǎn).在棱C■D■上是否存在一點(diǎn)F，使B■F∥平面A■BE，證明你的結(jié)論.本題可以應(yīng)用向量法求解.如下圖1所示：

圖1

解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方形的棱長為2，則B（2，2，0），E（0，2，1），A■（0，0，2），B■（2，0，2），

∴■=（-2，2，1），BA■=（-2，0，2）.

設(shè)面BEA■的法向量為m=（x，y，z），則

m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA■=2x，2z=0，取x=1，則z=-1，y=■，∴m=（1，■，-1）.

假設(shè)在棱C■D■上是存在一點(diǎn)F，使B■F∥平面A■BE，設(shè)F（x■，2，2），（0≤x≤2），則■=（x■-2，2，2），則m·■=1×（x■-2）-■×2-（-1）×2=0，解得x■=1，∴當(dāng)F為C■D■中點(diǎn)時，B■F∥平面A■BE.

2.向量在平面幾何中的應(yīng)用

（1）利用向量法求出直線方程

例如：已知三角形ABC的三個頂點(diǎn)分別為A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），點(diǎn)E、F、D分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，求直線FD、EF、DE的方程.

解析：已知三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，A（0，-4），B（4，0），C（-6，2），能夠得知中點(diǎn)F，D，E的坐標(biāo)分別為（2，-2），（-1，1），（-3，-1）.設(shè)M（x，y）為DE上的一個點(diǎn)，由于■∥■，可以求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.

利用向量分析幾何元素之間的關(guān)系將上述問題轉(zhuǎn)換為共線向量與直線向量的問題，就能夠得出EF，F(xiàn)D的直線方程.

（2）向量法在不等式中的應(yīng)用

在求解不等式的過程中，可以采用向量法.例如，■±■的結(jié)構(gòu)，可以構(gòu)造向量的和與差，利用向量的三角不等式|■|-|■|≤|■+■|≤|■|+|■|求解.

例題：證明■+■≥5

證明：設(shè)■=（x-2），■=（5-x，1），由|■|+|■|≥|■±■|得出■+■≥■，結(jié)論■+■≥5.

利用向量法求解，比三角代換、兩點(diǎn)間的距離公式等都簡單，且解法新穎、構(gòu)思巧妙，同時也可以為學(xué)生展示出數(shù)學(xué)建模的整個過程，即問題—建?！€原，發(fā)揮向量的工具性作用.

3.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用，可以用來證明正余弦的兩角和與兩角差的問題.例如：證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

證明：設(shè)（e■，e■）是平面上的標(biāo)準(zhǔn)正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e■的夾角為a，b，與e■的夾角為β，且a>β.向量a在（e■，e■）下的坐標(biāo)為（cosα，cosβ），向量b在（e■，e■）下的坐標(biāo)為（cosβ，sinβ），則有|a|=|b|=1.所以■·■=|■|·|■|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

由此可見，三角函數(shù)中采用向量解法，能夠借用幾何的直觀性、簡潔性，更好地完成求解過程.

回顧以往，高中數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)習(xí)往往是基于一個圖形的性質(zhì)進(jìn)而推出另一個圖形的性質(zhì)，缺乏一定的創(chuàng)新性.這種解題模式缺乏一定的規(guī)律性，使得學(xué)生難以掌握解題技巧，提高解題的速度及正確率.而向量中的“形—數(shù)”推理法，有較強(qiáng)的規(guī)律性，適合高中學(xué)生應(yīng)用.同時，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，提高學(xué)生的解題速度及正確率，有利于學(xué)生在考試中取得優(yōu)秀成績.總而言之，向量作為一種數(shù)學(xué)工具，可以應(yīng)用其相關(guān)知識與理論、運(yùn)算方法，化繁為簡，進(jìn)行求解，從而在很大程度上減少運(yùn)算量，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

參考文獻(xiàn)：

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