如何運用圖式表征思考數(shù)學(xué)問題

一、問題的提出

認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為，在解答數(shù)學(xué)問題的時候，學(xué)生的頭腦中會呈現(xiàn)相應(yīng)的表象，也可以說是人的內(nèi)部表征在運作。表征，就是信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式。在教學(xué)中，教師可以通過學(xué)生的外在表征優(yōu)化學(xué)生的思維。表征技術(shù)是針對數(shù)學(xué)學(xué)困生的教學(xué)干預(yù)措施之一。事實上，數(shù)學(xué)學(xué)困生有基本算數(shù)技能上的缺陷，他們面對的更大的困難是數(shù)學(xué)解題。

一些認(rèn)知心理學(xué)家把問題表征劃分為言語分析表征和視覺空間表征兩大類。前者主要借助言語邏輯進行，后者主要通過建立視覺空間圖形進行。Hegarty等人指出，視覺空間表征可分為圖像表征（pictorial representation，如建構(gòu)生動詳細(xì)的物體的視覺圖像）和圖式表征（schematic representation，如善于表征物體之間的空間關(guān)系，善于想象空間轉(zhuǎn)換等）。圖像表征形象地再現(xiàn)問題的表面特征，但沒有建立相應(yīng)的空間結(jié)構(gòu)，而圖式表征建構(gòu)了數(shù)量關(guān)系的空間結(jié)構(gòu)模式。

視覺空間表征在傳統(tǒng)上被認(rèn)為是一種理想的數(shù)學(xué)教學(xué)策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運用圖和列表分析和解決數(shù)學(xué)問題就是圖式表征的一種外在表現(xiàn)形式。MaryHegarty、俞國良、徐速等學(xué)者的研究揭示：圖式表征的運用與成功解決數(shù)學(xué)問題呈正相關(guān)，數(shù)學(xué)優(yōu)秀生運用圖式表征的比率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于數(shù)學(xué)學(xué)困生。在這些研究的基礎(chǔ)上，本文通過測試和訪談來探討數(shù)學(xué)優(yōu)秀生運用圖式表征解決數(shù)學(xué)問題的一般心理過程以及運用表征思考數(shù)學(xué)問題的教學(xué)策略。

二、研究方法

我從某小學(xué)選取四、五、六年級各3個班級，每個班40到50人，作為測驗對象，并請數(shù)學(xué)教師根據(jù)學(xué)生平時的成績在各年級選出優(yōu)、中、差學(xué)生各2名，三個年級共54名學(xué)生作為個別訪談的對象。

根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平編制的數(shù)學(xué)測試卷，涉及非視覺化題目（NVP：nonvisual problem）與視覺化題目（VP：visual problem），包括方位問題、行程問題、植樹問題和集合問題等問題。

學(xué)生以班級為單位在一節(jié)課里完成數(shù)學(xué)測驗后，我對選定的54名學(xué)生進行個別訪談，每個學(xué)生的訪談時間大約為10到15分鐘。訪談時，我讓學(xué)生看著已經(jīng)做過的試卷向教師解釋解題思路，然后教師根據(jù)草稿紙的內(nèi)容與學(xué)生的口頭敘述，再次確定學(xué)生的表征類型。

三、研究結(jié)果

1.使用圖式表征策略的自覺性和適切性

研究發(fā)現(xiàn)，高年級的學(xué)生能比較自覺地用圖思考問題，低年級的學(xué)生則需教師提示。使用圖式表征思考的必要性與題目本身的特點有很大的關(guān)系，也就是說使用圖式表征策略并不是最好的。研究發(fā)現(xiàn)，涉及方位的數(shù)學(xué)問題，使用圖的適切性較大，如地點坐標(biāo)、植樹問題。如果能利用數(shù)量關(guān)系分析出結(jié)果，那么使用圖分析問題的適切性不大。

如果學(xué)生覺得利用圖表思考對解題幫助不大，或者覺得用數(shù)量關(guān)系分析更為簡單，教師就不要使用圖表指導(dǎo)了。當(dāng)然，還有一個原因就是他們根本不懂得如何用圖。

2.探討圖式表征策略的一般思維過程

在學(xué)生訪談中，我選取了各年級的20名數(shù)學(xué)優(yōu)秀生，讓他們說出利用圖表思考的思維過程，從中找出共性，提煉出認(rèn)知加工過程中的要點。優(yōu)秀生運用圖式表征思考的一般過程：先根據(jù)題目意思畫一個簡圖，在關(guān)鍵地方記上標(biāo)記，把數(shù)字條件標(biāo)在圖上，找出條件與問題的關(guān)系，最后得出問題的答案。

對照Zazkis等人提出的數(shù)學(xué)問題的解決中視覺化與分析表征相互作用的螺旋上升模型（Visualizer/Analyzer模型或V/A模型），我發(fā)現(xiàn)學(xué)生表述出的思維過程確實具有視覺化思維和分析性思維兩個要素，而且兩者在建構(gòu)對數(shù)學(xué)概念的豐富性的理解中互為補充并得到整合。Zazkis提出的模型指出解題思維開始于第一步的視覺化操作（V1），解題者畫出圖表或在頭腦中出現(xiàn)心理表象，第一步分析推理（A1），然后對V1中的圖表或心理表象進行推理，接著螺旋上升循環(huán)A1和V1的步驟，不斷地修正圖。當(dāng)然，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)問題，循環(huán)的次數(shù)是極少的。

故此，這個研究結(jié)合學(xué)生的訪談記錄，在V/A模型的理論基礎(chǔ)上提出了以下運用圖式表征思考問題的一般性思維過程，讓數(shù)學(xué)學(xué)困生借鑒，給教師的數(shù)學(xué)教學(xué)提供提示。

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這次研究把以上概括提煉出來的運用圖式表征思考數(shù)學(xué)問題的思維模式簡稱為“畫圖思考五步法”，希望可以使數(shù)學(xué)學(xué)困生在解題時思維方式得到改進。

3.有效運用圖式表征思考數(shù)學(xué)問題的教學(xué)策略

（1）通過抽象化逐步消除圖像表征的干擾

在課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生使用畫圖的策略，如在解應(yīng)用題時腦中要出現(xiàn)一幅圖。但是老師們并沒有意識到不同類型的圖對數(shù)學(xué)問題的解決的作用是不同的，甚至是相反的。

只有抓住了問題中事物空間關(guān)系的、動態(tài)的、結(jié)構(gòu)化的圖式表征策略才能有效地促進數(shù)學(xué)問題的解決，而只是抓住題目中人或物的視覺外觀或其他無關(guān)細(xì)節(jié)的圖像表征則會妨礙數(shù)學(xué)問題的成功解決。然而，數(shù)學(xué)學(xué)困生可能并沒有意識到腦中無意浮現(xiàn)的，或有意想象出的事物的具體形象和細(xì)節(jié)會妨礙數(shù)學(xué)問題的解決。所以，教師要引導(dǎo)學(xué)生不要在圖上寫太多的文字，不要畫得太具體，以簡潔的線條、圖形或符號標(biāo)記代表問題中的元素即可。

（2）學(xué)會建立元素之間的關(guān)系

從小就培養(yǎng)學(xué)生用點和線來聯(lián)系事物或元素之間的關(guān)系，建構(gòu)思維圖式分析問題，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會有很大的幫助。Deloache指出，模型和地圖是現(xiàn)實環(huán)境的類比，圖式關(guān)系對非視覺關(guān)系的表征實質(zhì)上也是一種類比或比喻。他從發(fā)展的角度引用Center關(guān)于類比推理的理論，提出學(xué)生建構(gòu)一個空間表征要具備的條件。首先，學(xué)生要能認(rèn)識到一個圖表實際上是一個表征。其次，學(xué)生能認(rèn)識到兩套信息彼此之間存在某種形式上的關(guān)系，并在兩套信息之間選擇正確的對應(yīng)方式，也就是說學(xué)生知道利用圖表可以幫助他們思考問題，幫助他們根據(jù)題意提煉出精簡的數(shù)量結(jié)構(gòu)關(guān)系，從而成功解題。

（3）教師的示范和學(xué)生的自主建構(gòu)

研究表明：教育對空間表征能力有很大的影響，而問題解決者不會使用空間表征策略正反映出他們?nèi)狈ο到y(tǒng)的指導(dǎo)。認(rèn)知加工過程是一個獲取、整理、分析信息的過程。這個過程既需要學(xué)生自主建構(gòu)的經(jīng)歷，更需要教師的方法指導(dǎo)。對于“畫圖思考五步法”，教師可在例題上采用出聲思維的手段向?qū)W生演示圖表的建構(gòu)過程，利用圖表幫助學(xué)生確定對解題有用的信息，圖表的抽象程度取決于學(xué)生的理解能力。教師在示范之后，應(yīng)給學(xué)生提供一個相似的問題，要求學(xué)生使用類似的方法建構(gòu)出他們自己的圖表。

（4）選擇表征與表征轉(zhuǎn)換

表征轉(zhuǎn)換主要指言語分析表征和視覺空間表征的轉(zhuǎn)換，其中又有言語和符號的轉(zhuǎn)換、圖像和圖式的轉(zhuǎn)換。表征轉(zhuǎn)換的訓(xùn)練方法是設(shè)計練習(xí)要求學(xué)習(xí)者不斷地把文字轉(zhuǎn)變成圖畫（嘗試畫圖）或看圖寫話，學(xué)會靈活運用數(shù)字和符號，把圖變成標(biāo)記，再依據(jù)題意把元素聯(lián)結(jié)起來，形成關(guān)系。這需要學(xué)習(xí)者受到長期的課堂影響，積累成功的體驗，從而形成意識與能力。

因此，對整體認(rèn)知水平較低的數(shù)學(xué)學(xué)困生來講，表征轉(zhuǎn)換具有一定的難度。Novick的表征轉(zhuǎn)換機制提出了兩個成功選擇和建構(gòu)適合的表征形式的決定因素：解決問題的綜合知識與以往運用某種表征的經(jīng)驗?？梢?，前者受學(xué)生數(shù)學(xué)知識儲備的影響，后者則可以通過教師對學(xué)生進行相關(guān)的訓(xùn)練獲得經(jīng)驗。所以，教師要有意識地指導(dǎo)和提示學(xué)生采用不同的表征策略解題，從而獲得成功的經(jīng)驗。