高等數(shù)學(xué)中有關(guān)分段函數(shù)分界點問題的探討

摘 要： 分段函數(shù)是一元函數(shù)微積分學(xué)中的一類重要函數(shù)，本文通過具體的實例分析探討了關(guān)于分段函數(shù)的分界點在極限、連續(xù)性、可微性（可導(dǎo)性），以及復(fù)合函數(shù)等方面的問題，幫助學(xué)生提高有關(guān)分段函數(shù)應(yīng)用的解題技巧.

關(guān)鍵詞： 分段函數(shù) 分界點 可微性（可導(dǎo)性） 復(fù)合函數(shù)

注：判斷分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性，應(yīng)先判斷其在分界點處的極限是否存在，若極限不存在，則函數(shù)在該點不連續(xù)；若極限存在，則要進一步判斷極限值是否等于該點的函數(shù)值，若相等，則函數(shù)在該點連續(xù)，否則函數(shù)在該點間斷.

三、 分界點處的可微性

由于分段函數(shù)是一元函數(shù)，而一元函數(shù)可導(dǎo)與可微是等價的.因此判斷分段函數(shù)在分段點處的可微性只需判斷分段函數(shù)在分段點處是否可導(dǎo)即可，那么，如何判斷分段函數(shù)在分段點處的可導(dǎo)性呢？

注：由上例可以看出判定分段函數(shù)在分界點處的可導(dǎo)性或可微性通常有兩種方法：（1）用導(dǎo)數(shù)的定義及左、右導(dǎo)數(shù)來確定分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)是否存在；用這種方法解決問題比較準確，并且導(dǎo)數(shù)的定義式——極限的存在性，不需討論或驗證一些前提條件，是首選的好辦法.因此，在解這類題目的時候，特別是初學(xué)時，用這種方法比較合適；（2）可以借助可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系來討論，但此方法只能判別函數(shù)在該點處不可導(dǎo)，有一定的局限性.

四、兩個分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)

注：將兩個分段函數(shù)復(fù)合時，復(fù)合函數(shù)[g（x）]的定義域取決于g（x）的取值情況.

以上主要對一元函數(shù)中分段函數(shù)的極限、連續(xù)、可微（可導(dǎo)）、復(fù)合函數(shù)等問題進行了簡單的討論，其實在多元函數(shù)的微積分學(xué)中，這些問題也會經(jīng)常遇到，可見分段函數(shù)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用是一般函數(shù)難以替代的.因此學(xué)習(xí)時必須掌握分段函數(shù)的特點，同時理解極限、連續(xù)、可微（可導(dǎo)）、復(fù)合函數(shù)的定義，從研究對象的定義入手 ，簡化分段函數(shù)在微積分學(xué)中的應(yīng)用問題.

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]陳剛.關(guān)于高等數(shù)學(xué)中極限思想的研究[J].工科數(shù)學(xué)，2001.