一道數(shù)學(xué)題的命題過程與反思

林光傳

摘 要：研究高考題，我們通常會(huì)分析它的命題意圖，然后尋找課本中的原題。希望從課本例題的變式，探究，推廣認(rèn)識(shí)課本例習(xí)題應(yīng)該如何有效的教學(xué)。本文試圖完整展現(xiàn)一道平面向量考題的命制背景和意圖、解析建議和反思。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)命題；有效教學(xué)；反思

一、命題背景和意圖

本題是蒼南縣2010屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)選擇題中考查平面向量的問題。為此，我參考了2009年各省市關(guān)于平面向量的高考試題。在2009年浙江省理科數(shù)學(xué)高考卷中，與平面向量有直接關(guān)系的題目有兩個(gè)。

（7）設(shè)向量a，b滿足︱a︱=3，︱b︱=4， =0.以a，b，a-b的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（ ）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（18）（本題滿分14分）在中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且滿足=，.=3.

（Ⅰ）求的面積；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值。

可見“平面向量”由于具有“數(shù)”與“形”的二重性，故而高考考查空間更具廣闊性，并且常常與其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行交匯考查. 平面向量的考查熱點(diǎn)在兩個(gè)方面：一是向量基本概念、基本運(yùn)算；二是向量的工具性，即運(yùn)用向量知識(shí)解決平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等的簡(jiǎn)單問題.一般來說，選擇、填空題重在考查平面向量的概念、數(shù)量積及其運(yùn)算律，解答題重在考查平面向量的綜合應(yīng)用，并且常與平面解析幾何、三角函數(shù)、立體幾何、數(shù)列等結(jié)合起來考查.因此，對(duì)平面向量的復(fù)習(xí)應(yīng)立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化運(yùn)算，重視應(yīng)用；同時(shí)，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

因?yàn)橐七x擇題，我又參考了近4年浙江省高考選擇填空題中考查平面向量的問題及其命題意圖和解析。

1. （2006浙江13）設(shè)向量a，b，c滿足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若

|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值是_________.

2.（2007浙江7）若非零向量a，b滿足，則（ C ）

A. B.

C. D.

3.（2008浙江9）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ C ）

（A）1 （B）2 （C） （D）

4.（2009浙江卷文）已知向量，.若向量c滿足，，則 c=（ ）

A. B. C. D.

由這幾個(gè)考題可見向量的模能夠很好的考查向量的數(shù)量積、幾何意義和坐標(biāo)運(yùn)算。能引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)、量和運(yùn)算”發(fā)展的角度理解“向量”。聯(lián)系課本必修4教材的例題和習(xí)題中發(fā)現(xiàn)，也有很多問題與這些考題相關(guān)，如2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示，例8，習(xí)題2.3 B組第4題，習(xí)題2.4A組第3題，B組第2題，復(fù)習(xí)參考題A組第5、13題，B組第2題，等等。

為此，我希望命制一個(gè)基礎(chǔ)選擇題，能夠連結(jié)課本例習(xí)題和高考題，同時(shí)可以一題多解。試圖由一個(gè)問題就能輻射復(fù)習(xí)平面向量的基本運(yùn)算和幾何意義，提高復(fù)習(xí)的有效性，也能體現(xiàn)教學(xué)和復(fù)習(xí)回歸課本的重要性。命制的問題如下：

7.已知平面向量與的夾角，且，若，則 的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

二、考題解析建議

一個(gè)問題的分析應(yīng)當(dāng)能夠結(jié)合高考要求和教材要求，滲透本知識(shí)點(diǎn)對(duì)學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)要求，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生基本的解題方法和能力技巧。

分析一、

結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性，，，故 。

利用是求向量的模的基本方法之一，結(jié)合三角函數(shù)使本題更具張力。

分析二、可知，A、B、P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P是線段AB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)。簡(jiǎn)圖如右，由余弦定理并結(jié)合選擇題的特性，可得。

分析三、如右簡(jiǎn)圖建立平面直角坐標(biāo)系，可知點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B在圓弧上運(yùn)動(dòng)。

方案一、設(shè)點(diǎn)B（x，y），由得點(diǎn)P（），所以，故

方案二、設(shè)點(diǎn)B（），

由得點(diǎn)P（），所以，故

分析二和分析三，運(yùn)用了平面向量的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算處理平面向量問題，使得向量的研究更加深入。

拓展思考1、若改為，的取值范圍？點(diǎn)P的軌跡方程？

拓展思考2、若，的取值范圍？點(diǎn)P在哪些位置取得最值，為什么？

三、命題反思

問題對(duì)數(shù)學(xué)的重要性不言而喻，哈爾莫斯說問題是數(shù)學(xué)的心臟，華羅庚也曾說過：“對(duì)一個(gè)問題的本質(zhì)不了解，就是碰上機(jī)會(huì)也是枉然。入寶山而空手回，原因在此”。波利亞還出版專著《怎樣解題》試圖揭示解數(shù)學(xué)題的一般規(guī)律。有鑒于此，命制的數(shù)學(xué)題應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)某一方面的基本要求，并且努力讓學(xué)生了解問題的本質(zhì)，以后碰上機(jī)會(huì)不至于空手而回。所以我認(rèn)為一個(gè)好的數(shù)學(xué)題至少有兩個(gè)功能，即考查功能和教學(xué)功能。考查功能主要明確考什么，教什么和學(xué)什么。教學(xué)功能主要明確怎么考，怎么教和怎么學(xué)。

（一）對(duì)命題過程的反思。首先，明確命題意圖。充分學(xué)習(xí)《考試說明》和《學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》的內(nèi)容和要求，結(jié)合教材要求和課本例習(xí)題，并研究相應(yīng)的高考題，明確高考備考的方向。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念，它作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，在三角、解析幾何、立體幾何、復(fù)數(shù)以及物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移等相關(guān)內(nèi)容中有著廣泛的應(yīng)用。復(fù)習(xí)中要把知識(shí)點(diǎn)、訓(xùn)練目標(biāo)有機(jī)結(jié)合起來，重點(diǎn)掌握有關(guān)概念、性質(zhì)、運(yùn)算公式、法則等，正確掌握這些基本知識(shí)是學(xué)好本章的關(guān)鍵，而且要將它與其它知識(shí)，如曲線、數(shù)列、函數(shù)、三角等知識(shí)綜合運(yùn)用，以體現(xiàn)向量的工具性。其次，適當(dāng)控制難度，不人為拔高。平面向量在高考選擇題中畢竟是一個(gè)中等偏于容易的問題，所以能體現(xiàn)基礎(chǔ)要求就可以了。人為的設(shè)置障礙，說明在命題時(shí)受單純知識(shí)觀的主導(dǎo)，只考核學(xué)生知識(shí)掌握的準(zhǔn)確度，卻忽視了命題的能力立意。第三，不避陳題。近4年浙江省平面向量都與向量的模有關(guān)。新課程下，課堂教學(xué)改革的方向在“新”與“活”上強(qiáng)調(diào)太多，體現(xiàn)在命題上，以新題、活題為標(biāo)準(zhǔn)，其實(shí)很多好的陳題有同樣甚至能更好地為教學(xué)診斷提供科學(xué)的依據(jù)。第四、盡量一題多解。在分析問題時(shí)能充分聯(lián)系，以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)，能變式教學(xué)，由淺入深，淺入深出。第五，命題后的反思。命制一個(gè)好題，需要多做題、多看題和多研究題，尤其是課本的例習(xí)題和近年的高考題，許多高考題可以在教材中找到原題，即由課本中的例題、習(xí)題引申，變化而來的。這些題目考查的都是現(xiàn)行高中教材中最基本且最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，所用到的方法也是通性通法，淡化了特殊技巧。既體現(xiàn)了高考的公平公正，也對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)回歸教材，重視基礎(chǔ)起到了良好的導(dǎo)向作用。

（二）對(duì)課本例習(xí)題、命題和高考題關(guān)系的反思。我用下圖表表示三者的關(guān)系。命題是連接課本例習(xí)題和高考題的橋梁，當(dāng)然這里的命題可以是我們自己原創(chuàng)，也可以是別人的題目的選擇和改編。

（三）命題促進(jìn)課本例習(xí)題有效教學(xué)的反思。知識(shí)點(diǎn)往往是孤立地分階段進(jìn)行教學(xué)的，所以課本的例習(xí)題也往往是針對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)而設(shè)計(jì)的，很少出現(xiàn)像高考題那樣縱橫聯(lián)系的綜合題。這就導(dǎo)致例習(xí)題與高考題之間的跨度太大，所以有人說就算你把課本的題目都弄懂了在高考中也不能得高分。目前在教學(xué)中，我們大多是選擇別人的題目，自己改編的很少，原創(chuàng)的題目就更少了。這樣做雖然能使視野更加開闊，但是卻未必最適合自己學(xué)生的實(shí)際情況，也就未必是最有效的，同時(shí)減緩了教師自身的發(fā)展。新課程明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生“不斷追求新知，獨(dú)立思考，會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題”。對(duì)我們何嘗不是這樣的要求。

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