安全拋物線方程的推導(dǎo)與應(yīng)用

鄭金

若在豎直平面內(nèi)從某一固定點(diǎn)以相同的初速率 、不同的拋射角發(fā)射質(zhì)點(diǎn)，則各運(yùn)動(dòng)軌跡組成拋物線族，如果有一條光滑曲線處處與這些拋物線相切，這條曲線就是此拋物線族的包絡(luò)線，也是一條拋物線。拋物線族中所有的拋物線都不會(huì)越出包絡(luò)線所界定的邊界線，也就是說(shuō)不論怎樣調(diào)整拋射角，都不能擊中包絡(luò)線以外的目標(biāo)，因此把包絡(luò)線稱為安全拋物線。

1 方程推導(dǎo)

1.1 問(wèn)題。在夏季從地面向云層發(fā)射防雹炮彈，初速度為v0，若忽略空氣阻力和重力加速度變化的影響，求炮彈所能達(dá)到區(qū)域的邊界方程。

1.2 分析。以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平分速度方向?yàn)閤軸方向，豎直向上為y軸方向，建立直角坐標(biāo)系，沿坐標(biāo)軸方向分解斜上拋運(yùn)動(dòng)，其位移分別為x=v0cosθ·t

可變形為關(guān)于tanθ的一元二次方程，

即（gx2）tan2θ-（2v20）tanθ+（2v20+gx2）=0。

這是所有符合條件的拋物線方程，可分兩類，一類不跟包絡(luò)線相切，其上各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)兩個(gè)θ ；另一類跟包絡(luò)線相切，由于切點(diǎn)不可能是兩條拋物線的交點(diǎn)，因此切點(diǎn)只對(duì)應(yīng)一條拋物線，即對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) θ。

同時(shí)，方程還表示所有拋物線上各點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)分兩類，一類在包絡(luò)線之內(nèi)，各點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的θ；另一類是邊界點(diǎn)，在包絡(luò)線上，是切點(diǎn)的集合，所以安全拋物線上各點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)唯一的拋射角θ。

關(guān)于tanθ的一元二次方程應(yīng)該有實(shí)數(shù)解。而且只要滿足θ取單值的條件，對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)就在包絡(luò)線上，僅當(dāng)判別式為零時(shí)，二次方程有單根，各點(diǎn)P（x，y）為切點(diǎn)，組成一條包絡(luò)線。可得到包

對(duì)于包絡(luò)線方程，當(dāng)拋射速度確定時(shí)，若x確定，則y取最大值；若y確定，則x取最大值。而當(dāng)某點(diǎn)確定時(shí)，則拋射速度取最小值。

2 方程應(yīng)用

例1 在傾斜角為θ的斜面底端向斜面上拋出物體，初速度為v0，當(dāng)拋射角a為多少時(shí)，落點(diǎn)最遠(yuǎn)？其值為多少？

解析 以拋出點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，