用"高觀點(diǎn)"思想賞識(shí)中考數(shù)學(xué)試題

陳永浩 陳立彬

摘要：本文以浙江省臺(tái)州市中考數(shù)學(xué)試題為例，運(yùn)用克萊因的"高觀點(diǎn)"思想，多角度、多方位地深入剖析了中考數(shù)學(xué)試題的解法，歸納出試題的特點(diǎn)及其命制方法。

關(guān)鍵詞："高觀點(diǎn)"；中考試題； 命制方法

1 "高觀點(diǎn)"思想之由來(lái)

"高觀點(diǎn)"思想是德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因于20世紀(jì)初在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》這本書中提出來(lái)的.克萊因認(rèn)為，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單；一個(gè)稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過(guò)程以及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過(guò)[1]。

克萊因的"高觀點(diǎn)"思想主要是指用高等數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)剖析、俯視初等數(shù)學(xué)問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)是初中數(shù)學(xué)的發(fā)展和延伸，它們是一脈相承的.因此，我們可以用高等數(shù)學(xué)（包括高中數(shù)學(xué)，以下簡(jiǎn)稱高數(shù)）的觀點(diǎn)（知識(shí)、思想、方法等）來(lái)剖析、透視初中數(shù)學(xué)試題。

本文以浙江省臺(tái)州市中考數(shù)學(xué)試題為例，運(yùn)用"高觀點(diǎn)"思想，剖析試題的解法，分析試題的特點(diǎn)和命制方法。

2 "高觀點(diǎn)"思想下中考數(shù)學(xué)試題之賞識(shí)

在近幾年的浙江省臺(tái)州市中考數(shù)學(xué)一些試題中，有著或明或暗的高數(shù)背景，都可以從高數(shù)的視角來(lái)剖析，舉例如下：

[淺析]本題摒棄了通常的找規(guī)律型試題和給出新定義讓學(xué)生理解的命題方式，獨(dú)辟蹊徑，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，請(qǐng)學(xué)生給出合理的對(duì)象定義[2]，這與直接給出新定義的途徑正好相反。該題既考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)概括能力，又檢測(cè)了學(xué)生的"自我在線監(jiān)控與調(diào)節(jié)"的意識(shí)[2]。事實(shí)上，本題的三個(gè)式子中都有a⊕b =b⊕a 這個(gè)重要特征，即對(duì)稱性，它的背景就是高等代數(shù)中的對(duì)稱多項(xiàng)式。我們知道，在高等數(shù)學(xué)里，如果對(duì)于任意的i，j （其中1 ≦i

[淺析]函數(shù)最明顯的特征是模型屬性而非圖形屬性，畫函數(shù)圖像是為研究函數(shù)的性質(zhì)服務(wù)的，而不是為了研究圖像而研究圖像[2]。本題中，學(xué)生通過(guò)分析函數(shù)圖像特征斷定用二次函數(shù)來(lái)擬合，利用幾個(gè)特殊點(diǎn)確定函數(shù)解析式，求出函數(shù)的最值.從高等數(shù)學(xué)的角度思考，滿足已知條件的函數(shù)也可以用拉格朗日插值函數(shù)來(lái)表示：

[淺析]求橢圓的面積需要用高等數(shù)學(xué)中積分的知識(shí)來(lái)解決，即使如題意中所描述的采用"化整為零，積零為整""化曲為直，以直代曲"的方法，由于初中學(xué)生不清楚橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，分割求面積和求極限都不會(huì).在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力.事實(shí)上，數(shù)學(xué)直覺(jué)和合情推理能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分，但在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中普遍存在對(duì)這兩種能力重視和關(guān)注不夠[3]，該題的出現(xiàn)旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)和類比能力.盡管為了降低難度，命題者作了暗示性的鋪墊：希望通過(guò)正方形與矩形面積的關(guān)系啟發(fā)得出圓與橢圓的面積關(guān)系，但這種暗示作用甚。也許有人會(huì)這樣去猜測(cè)，把圓的面積公式πa2 看成πa·a ，再將其中的一個(gè)a換成b，但為什么可以這樣猜測(cè)呢？筆者以為，要解決這個(gè)問(wèn)題，還得從高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)詮釋，因?yàn)榘褕A壓縮成橢圓就是仿射變換的過(guò)程，在仿射變換下，任意兩個(gè)封閉曲線圍成的面積之比是仿射不變量，即

3 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題特征之分析

3.1 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)。

仔細(xì)分析這些試題，我們不難發(fā)現(xiàn)它們有以下一些特征：

①背景深：

試題背景源于高數(shù)，它從不同的角度、不同的思維抓住了初中與高數(shù)的銜接點(diǎn)，立意新，背景深，這類試題或者以高數(shù)符號(hào)、概念直接出現(xiàn)，或者以高數(shù)的概念、定理作為依托，融于初中數(shù)學(xué)知識(shí)之中，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).因此這類試題靠猜題押題是不行的，體現(xiàn)了試題的公正性、公平性，為命題者喜歡。

②落點(diǎn)低：

問(wèn)題的設(shè)計(jì)雖然來(lái)源于高數(shù)，但解決問(wèn)題的思想、方法卻是初中所學(xué)的，決不會(huì)超綱，思維雖高落點(diǎn)卻低，它能有利于引導(dǎo)學(xué)生提高思維的邏輯性、敏捷性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

③要求高：

試題的設(shè)計(jì)旨在考查知識(shí)的基礎(chǔ)上，能寬角度、多觀點(diǎn)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有層次深入地考查數(shù)學(xué)思維能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展打下基礎(chǔ)。

3.2 "高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的命制方法。

相比而言，高數(shù)所涉及的知識(shí)點(diǎn)當(dāng)然要比初等數(shù)學(xué)所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我們編制初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效策略。升格就是把問(wèn)題從局部歸結(jié)為整體，從低維提高到高維，從具體提升到抽象的策略；降格是遵循人們認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律，把復(fù)雜、多元、高維的問(wèn)題情形，分解、降維為簡(jiǎn)單、一元、低維的情形，如特殊化方法，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的情形。

"高觀點(diǎn)"思想下初中數(shù)學(xué)試題的命制并不是高數(shù)知識(shí)和方法的簡(jiǎn)單下嫁，而是充分利用高數(shù)的背景，通過(guò)初等化的處理和巧妙設(shè)計(jì)，使之貼近初中學(xué)生的思維認(rèn)知水平，達(dá)到一定的考查目的。

3.2.1 直接引用法。

直接引用法是指將高數(shù)中某些命題、概念、定理、公式等直接移用為初中數(shù)學(xué)試題的一種做法.事實(shí)上，高數(shù)中有許多抽象化的概念本身就是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展和延伸，在考查學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)水平的同時(shí)，也考查了學(xué)生對(duì)高數(shù)知識(shí)的理解能力。

例4（2009年第10題） 若將代數(shù)式中的任意兩個(gè)字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個(gè)代數(shù)式為完全對(duì)稱式，如 a+b+c就是完全對(duì)稱式。下列三個(gè)代數(shù)式：①（a-b）2 ；②ab+bc+ca ；③a2b+b2c+c2a。其中是完全對(duì)稱式的是（ ）

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

[淺析]該題中的完全對(duì)稱式就是直接引用于高等代數(shù)中的對(duì)稱多項(xiàng)式。

3.2.2 適當(dāng)改編法。

根據(jù)高數(shù)有關(guān)知識(shí)，結(jié)合相應(yīng)的考查要求，適當(dāng)?shù)貙?wèn)題進(jìn)行改編，使之能符合初中學(xué)生的知識(shí)能力要求范圍內(nèi)，可以有效地運(yùn)用初中所掌握的知識(shí)和方法予以解決。這類方法可以簡(jiǎn)單分為三種：演變法、初化法和高化法。

①演變法 演變法是指將高數(shù)的定理公式等的條件和結(jié)論進(jìn)行演變，或以公式、定理為載體，可以通過(guò)對(duì)概念的延伸或弱化，或增加適當(dāng)?shù)乇尘?，轉(zhuǎn)而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

問(wèn)題，通過(guò)適當(dāng)演化，用表格創(chuàng)設(shè)背景，所考查的知識(shí)內(nèi)容沒(méi)有改變。

②初化法 初化法是指將高數(shù)的問(wèn)題、概念、原理等進(jìn)行特殊化、初等化、具體化、低維化的處理，使之成為具體的初等化內(nèi)容。

例6（2006年第17題） 日常生活中，"老人"是一個(gè)模糊概念.有人想用"老人系數(shù)"來(lái)表示一個(gè)人的老年化程度.他設(shè)想"老人系數(shù)"的計(jì)算方法如下表：

[淺析]此題是高等數(shù)學(xué)中的模糊數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)中的分段函數(shù)相結(jié)合后初等化處理的一種設(shè)問(wèn)形式，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力，引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)更多地關(guān)注背景深刻、趣味無(wú)窮、應(yīng)用廣泛但又是學(xué)生能夠理解和接受的數(shù)學(xué)。

③高化法 高化法是指將初等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)、概念等升華為高數(shù)的語(yǔ)言、符號(hào)和概念，是學(xué)生所學(xué)知識(shí)的延伸，考查學(xué)生的探究能力和后續(xù)學(xué)習(xí)能力。

例7（2008年第10題） 把一個(gè)圖形先沿著一條直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動(dòng)對(duì)稱變換.在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖4）。結(jié)合軸對(duì)稱變換和平移變換的有關(guān)性質(zhì)，你認(rèn)為在滑動(dòng)對(duì)稱變換過(guò)程中，兩個(gè)對(duì)應(yīng)三角形（如圖5）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所具有的性質(zhì)是（ ）

（A）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線與對(duì)稱軸垂直

（B）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸平分

（C）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分

（D）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線互相平行

[淺析]本題從植物葉子的構(gòu)造特征中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)平移與軸對(duì)稱的組合變換，是將單一的圖形變換升華為復(fù)合變換，旨在考查學(xué)生對(duì)新定義的理解.它也明白地告訴學(xué)生，自然界中的許多現(xiàn)象都可用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言區(qū)描述，簡(jiǎn)潔而準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)是有趣的也是有用的.從高等數(shù)學(xué)看，幾何變換的發(fā)展正是從軸對(duì)稱出發(fā)，通過(guò)數(shù)學(xué)概念的弱抽象（減弱數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的抽象）過(guò)程，探究各種不變量：軸對(duì)稱變換→合同變換→相似變換→仿射變換→射影變換→拓?fù)渥儞Q，因此，軸對(duì)稱變換是幾何變換的基礎(chǔ)，該題可以引導(dǎo)學(xué)生在變換過(guò)程中積極尋找不變量。

結(jié)語(yǔ)

"站得高才能看得遠(yuǎn)"，從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體性和數(shù)學(xué)教育的連續(xù)性的角度上說(shuō)，用"高觀點(diǎn)"思想分析初中數(shù)學(xué)試題，可以較好地解決一些困惑問(wèn)題，是一把利器.

當(dāng)然，盡管中考數(shù)學(xué)試題中有一些高數(shù)知識(shí)的背景，但是我們也不提倡教師在課堂教學(xué)中把高數(shù)內(nèi)容下放給學(xué)生，否則勢(shì)必會(huì)加重學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，再說(shuō)你想教也是教不完的！在學(xué)生充分掌握初中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，我們可以借助實(shí)例和直觀，滲透一些為學(xué)生所能接受的高數(shù)的初步知識(shí)（最近發(fā)展區(qū)），突出思想和方法，重視思維訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)理解和應(yīng)用，不追求嚴(yán)格的證明和邏輯推理，積極發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，從而最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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