善用模型思想，巧解數(shù)學(xué)問題

尹志偉

【摘 要】模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增加的一個(gè)核心概念。在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式，及各種圖表、圖形等都是數(shù)學(xué)模型。通過數(shù)學(xué)建模教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)方法，又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識以及分析和解決實(shí)際問題的能力。

【關(guān)鍵詞】模型思想 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識 培養(yǎng)初探

作為數(shù)學(xué)的基本思想之一，模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增加的一個(gè)核心概念。

一、如何理解模型思想

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對模型思想的說明是：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！睆臄?shù)學(xué)教育的角度來看，建立模型思想本質(zhì)上是幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，而培養(yǎng)學(xué)生模型思想的基本活動就是建立模型。從廣義的角度看，一切數(shù)學(xué)的概念、原理和數(shù)學(xué)的理論體系，都視為數(shù)學(xué)模型；就其狹義而言，是指能描述或反映特定問題或具體事物關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義。這說明模型思想的應(yīng)用包括三大步驟：從現(xiàn)實(shí)到數(shù)學(xué)模型——從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，尋找相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；處理數(shù)學(xué)模型——求解模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；得到原問題的結(jié)果——討論結(jié)果的意義，檢驗(yàn)結(jié)果的適切性。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的幾種模型

隨著數(shù)學(xué)教育界“數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”的不斷深入，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用性的教育迫在眉睫。數(shù)學(xué)應(yīng)用性包括兩個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)精神、思想和方法；二是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、鞏固數(shù)學(xué)方法，又可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識以及分析和解決實(shí)際問題的能力。初中階段常見的模型有方程（組）模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型和統(tǒng)計(jì)模型。

1.方程（組）模型

方程（組）是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系最基本的數(shù)學(xué)模型，求解此類問題的關(guān)鍵是：針對給出的實(shí)際問題，設(shè)定合適的未知數(shù)，找出等量關(guān)系，求出結(jié)果。

2.不等式模型

現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系是普遍存在的，許多現(xiàn)實(shí)問題很難確定具體的數(shù)值，但可以求出或確定問題中某個(gè)量的變化范圍，從而對所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識。

例：某商品的售價(jià)是528元，商家出售這樣的商品可獲利10%～20%，設(shè)進(jìn)價(jià)為x元，則x的取值范圍是 。

3.函數(shù)模型

新課標(biāo)要求學(xué)生能用函數(shù)表示法刻畫某些實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系變化，結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進(jìn)行初步預(yù)測，能用一次函數(shù)、二次函數(shù)等來解決簡單的實(shí)際問題。學(xué)習(xí)了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學(xué)生頭腦中已經(jīng)有了函數(shù)模型。因此，一些實(shí)際問題可以利用函數(shù)模型解決。

其實(shí)，我們也可以把方程（組）模型、不等式模型和函數(shù)模型統(tǒng)稱為代數(shù)模型，它們往往緊密關(guān)聯(lián)。

例：為了援助失學(xué)兒童，李明從2012年1月份開始，每月一次將相等數(shù)額的零用錢存入已有部分存款的儲蓄盒內(nèi)，準(zhǔn)備每6個(gè)月一次將儲蓄盒內(nèi)存款一并匯出（匯款手續(xù)費(fèi)不計(jì)）。2月份存款后清點(diǎn)儲蓄盒內(nèi)有存款80元，5月份存款后清點(diǎn)儲蓄盒內(nèi)有存款125元。

（1）在李明2012年1月份存款前，儲蓄盒內(nèi)已有存款多少元？（2）為了實(shí)現(xiàn)到2015年6月份存款后存款總數(shù)超過1000元的目標(biāo)，李明計(jì)劃從2013年1月份開始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t為整數(shù)），求t的最小值。

【分析】本題綜合考查學(xué)生應(yīng)用方程組和不等式解決實(shí)際問題的能力。

4.幾何模型

在日常生活中，諸如臺風(fēng)、航海等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，需要轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。重點(diǎn)談兩個(gè)經(jīng)典的幾何模型。

（1）用勾股定理列方程的模型。

在直角三角形中，已知邊的關(guān)系時(shí)，經(jīng)?？梢越柚垂啥ɡ砹蟹匠?，模型思想在簡單問題中學(xué)生處理起來往往得心應(yīng)手，但在設(shè)計(jì)精巧的問題情境中，學(xué)生普遍表現(xiàn)出思維混沌，束手無策。

5.統(tǒng)計(jì)模型

在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)生活中，統(tǒng)計(jì)知識的應(yīng)用越來越廣泛。而數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面得到很好的體現(xiàn)。新課標(biāo)明確提出體會用樣本估計(jì)總體的思想。統(tǒng)計(jì)與概率是數(shù)學(xué)在生活、生產(chǎn)中應(yīng)用的重要方面。在教學(xué)中應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活、自然等領(lǐng)域的聯(lián)系。

三、如何培養(yǎng)學(xué)生的模型思想

培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，提高學(xué)生的建模能力，讓學(xué)生善于把實(shí)際問題、數(shù)學(xué)問題進(jìn)行合理有效的轉(zhuǎn)化，需要教師有意識地長期對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥和不斷地探究、反思，經(jīng)過思維碰撞、糾錯(cuò)磨練。

1.讓學(xué)生在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中感悟模型思想。

學(xué)生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個(gè)長期的過程。數(shù)學(xué)建模必須結(jié)合學(xué)生實(shí)際水平分層次逐步推進(jìn)，與正常教學(xué)內(nèi)容同步。教學(xué)過程中要讓學(xué)生循序漸進(jìn)，逐步提高。

2.使學(xué)生經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動過程。

“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動過程體現(xiàn)了課標(biāo)中模型思想的基本要求，也有利于學(xué)生在活動過程中理解、掌握有關(guān)知識與技能，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，感悟模型思想的本質(zhì)。這一過程更有利于學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

（1）精選例題，倡導(dǎo)有效示范。

數(shù)學(xué)教師應(yīng)善于思考，在備課時(shí)做個(gè)有心人，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該精選一些有代表性的、典型的建模題材作為主要的教學(xué)內(nèi)容。通過具體問題的建模示例，介紹建模的思想方法，能起到較為深刻的教育意義和作用。 同時(shí)也可兼顧一些趣味性和創(chuàng)新性，在具體選取案例時(shí)，可選擇有趣又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力、充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的案例。

（2）提升業(yè)務(wù)，促進(jìn)建模教學(xué)。

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，教師是關(guān)鍵。教師水平的高低直接決定著數(shù)學(xué)建模教學(xué)能否達(dá)到預(yù)期的培養(yǎng)學(xué)生能力的目的。我們的教師應(yīng)該有主動發(fā)展的需求，多參加各種學(xué)術(shù)會議、到名校去做訪問學(xué)習(xí)等等，更應(yīng)該通過各種渠道和方式，了解模型思想教學(xué)發(fā)展前沿的新趨勢、新動態(tài)。另外數(shù)學(xué)教師還必須更新教育理念，不斷積累和更新專業(yè)知識，其中包括較寬廣的人文和科學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教師只有不斷創(chuàng)新，努力提高自身素質(zhì)，才能適應(yīng)新的形勢，符合時(shí)代發(fā)展的要求。

（3）互相滲透，重視思想方法。

數(shù)學(xué)思想方法必須以一定的數(shù)學(xué)知識和技能為基礎(chǔ)，又能促進(jìn)知識的深化及能力的形成。在初中數(shù)學(xué)模型思想教學(xué)的過程中，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和強(qiáng)化，使它們相輔相成，融會貫通。相對而言，數(shù)學(xué)思想方法主要抓以下幾個(gè)：化歸思想、整體思想、變換思想和數(shù)形結(jié)合思想。在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，各種思想方法都有很好的應(yīng)用。因此，每年的中考中涌現(xiàn)了許多別具創(chuàng)意、獨(dú)特新穎的涉及多種思想方法的問題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨(dú)特的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]朱海峰，夏建平.全國中考試題歸類精選·數(shù)學(xué)[M].福建：福建少年兒童出版社，2012.

（作者單位：江蘇省無錫市崇安區(qū)教育局教研室）