讓“數(shù)學(xué)模型”搭建成初中數(shù)學(xué)解答的橋梁

鐘建強(qiáng)

【摘要】本文主要闡述了運用“數(shù)學(xué)模型”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的解題思路以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的意義。

【關(guān)鍵詞】“數(shù)學(xué)模型” 初中數(shù)學(xué) 解題思路

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2013）05-0160-01

把“數(shù)學(xué)模型”概念引入初中數(shù)學(xué)課堂，運用數(shù)學(xué)模型方法引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，其效果很是明顯。但由于這一方法走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的時間不長，因此，如何更好地認(rèn)識和了解“數(shù)學(xué)模型”，如何運用它解答數(shù)學(xué)問題，自然成了我們數(shù)學(xué)教師談?wù)摰囊粋€新話題和探討的一個新領(lǐng)域。

“數(shù)學(xué)模型”的初步認(rèn)識

模型，本來是實物體存在的某種形狀。而所謂的數(shù)學(xué)模型是指通過抽象和模擬，利用數(shù)學(xué)語言（文字、符號、圖形）和方法對所解決的實際問題進(jìn)行的一種刻畫。近些年，它發(fā)展成為一門新學(xué)科，是數(shù)學(xué)理論與實際問題相結(jié)合的一門科學(xué)。它將現(xiàn)實問題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入的分析和研究，從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題，并為解決現(xiàn)實問題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)。

“數(shù)學(xué)模型”與初中數(shù)學(xué)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用主要是解題方法，即數(shù)學(xué)模型方法，它根據(jù)研究目的，對所研究的過程和現(xiàn)象的主要特征、主要關(guān)系、采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地、近似地表達(dá)出來的一種結(jié)構(gòu)，通過研究事物的數(shù)學(xué)模型來認(rèn)識事物的方法。一般地，通過數(shù)學(xué)建模來解決實際問題的過程稱為數(shù)學(xué)建模。

就初中數(shù)學(xué)而言，常見的數(shù)學(xué)模型有：方程、不等式、函數(shù)、幾何、概率等。

方程（組）刻畫現(xiàn)實世界中的等量關(guān)系；不等式（組）刻畫現(xiàn)實世界中的不等關(guān)系，如設(shè)計投資決策、人口控制、資源保護(hù)、生產(chǎn)規(guī)劃、商品銷售、交通運輸?shù)?；函?shù)或代數(shù)式刻畫變量之間的相互關(guān)系，涉及成本低、利潤或產(chǎn)出最大、效益最好等實際問題；幾何涉及圖形面積的計算、合理下料、跑道的設(shè)計與計算、工程選點定位、優(yōu)化設(shè)計等應(yīng)用問題；概率涉及到提前預(yù)測相關(guān)事件發(fā)生的可能性大小等。

“數(shù)學(xué)模型”的解題思路探微

運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的一般步驟是：明確實際問題，并熟悉問題的背景；構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；求解數(shù)學(xué)問題，獲得數(shù)學(xué)模型的解答；回到實際問題，檢驗?zāi)Ｐ?，解釋結(jié)果。

下面根據(jù)相應(yīng)模型舉幾個例子，并給出解答過程：

1.方程模型

解題思路：合理設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知的或隱含的等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式，然后解方程（組），驗證解的合理性。

如七年級：在月歷上用正方形圈出2×2個數(shù)的和是76，這4個數(shù)分別是幾號？

解：設(shè)最小的數(shù)為x，則其余3個數(shù)分別為x+1，x+7，x+8。

根據(jù)題意，得 x+x+1+x+7+x+8=76，4x=60，x=15。

因此，這4天分別是15號，16號，22號，23號。

再如，某物流公司為一客戶的物質(zhì)打包成件，其中書籍和食品共360件，書籍比食品多90件。求打包成件的書籍和食品各多少件？

分析：學(xué)生抓住書籍與食品兩個數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)x與y，建立方程模型求解。

解：設(shè)打包成件的書籍x件，食品y件，由題意得：x+y=360 x-y=90 解得：x=225，y=135

2.不等式模型

解題思路：合理設(shè)未知數(shù)，根據(jù)已知的或隱含的不等關(guān)系，列出含有未知數(shù)的不等式（組），然后解不等式（組），最后驗證解的合理性。

如八年級：某單位決定購買8臺空調(diào)，現(xiàn)有甲、乙兩種空調(diào)供選擇。甲種空調(diào)每臺0.8萬元，乙種空調(diào)每臺0.5萬元，經(jīng)過預(yù)算，本次購買空調(diào)所耗資金不能超過4.6萬元。

（1）設(shè)購買甲種空調(diào)x臺，請寫出x應(yīng)滿足的不等式；

（2）寫出所有的購買方案。

解：（1）0.8x+0.5（8-x）≤4.6；（2）解不等式，得x≤2。因為x為整數(shù)，所以x=0，1，2。

第一種方案是買0臺甲空調(diào)，8臺乙空調(diào)；

第二種方案是買1臺甲空調(diào)，7臺乙空調(diào)；

第三種方案是買2臺甲空調(diào)，6臺乙空調(diào)。

“不能超過”隱含著不等關(guān)系，這是選用不等式模型的主要依據(jù)。

3.函數(shù)模型

解題思路：根據(jù)實際問題或幾何中的等量關(guān)系，求出函數(shù)的解析式。

4.幾何模型

解題思路：將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形，然后根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)去求解。

如（七年級）：如圖1，要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸AB什么地方開溝，才能使水溝的長度最短？本題可以歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)模型“在直線上找一點，使這點到直線外一定點的距離最短”。

如（八年級）：如圖2，要在公路旁修建一個蔬菜收購站，由蔬菜基地A，B向收購站運送蔬菜，收購站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

這題可以歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)模型：“在直線上找一點，使這點到直線外兩點的距離之和最小”。

5.概率模型

解題思路：必須找出等可能結(jié)果的總數(shù)和某一事件可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)公式求解。

如（七年級）：小孫設(shè)的微機(jī)密碼由6位數(shù)字組成，每位上的數(shù)字都是0～9這十個數(shù)字中的一個。小孫忘了密碼，如果他任意撥一個密碼，恰好打開微機(jī)的概率是____。

“數(shù)學(xué)模型”的教學(xué)啟示

首先，運用數(shù)學(xué)模型教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生一種良好的數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)建模是一種主動的活動，要在現(xiàn)實中提取數(shù)學(xué)模型。在建模過程中，學(xué)生所面臨的主要問題是如何從雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)問題，并確定出問題的答案，這就要善于在其中分解與目標(biāo)相關(guān)連的最主要因素，常常先從建立簡單模型入手，逐步考慮各種建模要素，使模型按預(yù)定的目標(biāo)逐漸完善。

其次，運用數(shù)學(xué)模型教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)技能。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)模型的概念及建模的方法和技能，而且要培養(yǎng)學(xué)生把客觀事物的原型與抽象的數(shù)學(xué)模型相聯(lián)系的能力。

總之，運用數(shù)學(xué)模型教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)敏銳的洞察力，良好的想象力以及較強(qiáng)的抽象思維能力和創(chuàng)新意識。