幾何概型中典型錯誤案例分析

陳洪強

摘 要： 幾何概型是區(qū)別于古典概型的另一類等可能概型，將研究有限個基本事件過渡到研究無限多個基本事件。求解幾何概型的概率，最關(guān)鍵就是分析基本事件的構(gòu)成以及“測度”的尋找；對于一個具體的問題能否用幾何概率模型公式計算其概率，關(guān)鍵是能否將問題幾何化，從建立的幾何模型入手，來解決概率問題。

關(guān)鍵詞： 幾何概型；概率；測度

本文為《高中數(shù)學(xué)課堂教師有效指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)策略的研究》課題研究成果

在高中階段的概率求值題中幾何概型占了很大的一部分內(nèi)容，在高考中也是一個難點。那么什么是幾何概型呢？簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。 幾何概型是區(qū)別于古典概型的另一類等可能概型，將研究有限個基本事件過渡到研究無限多個基本事件。求解幾何概型的概率，最關(guān)鍵就是分析基本事件的構(gòu)成以及“測度”的尋找；對于一個具體的問題能否用幾何概率模型公式計算其概率，關(guān)鍵是能否將問題幾何化，從建立的幾何模型入手，來解決概率問題。一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域D內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為：

這里要指出：D的測度不能為0，其中“測度”的意義依D確定。當(dāng)D分別為線段，平面圖形，立體圖形時，相應(yīng)的“測度”分別為長度、面積、體積、有時也為角度等。在求解幾何概型的概率問題時，學(xué)生常常因為對“測度”不理解，導(dǎo)致了對題目無從下手。

本文列舉3個典型錯誤案例來淺談幾何概型的問題：

【例題1】：在區(qū)間（0，1）中隨機地取兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于■的概率是___。

典型錯誤：x+y的范圍是（0，2），用（0，■）的長度除以（0，2）的長度，得到概率為P（x+y<■）=■=■。所以概率為P（x+y<■）=■*■*■=■。

典型錯誤分析：為什么會出現(xiàn)兩種不同的結(jié)果？用長度為測度，也就是用（0，2）內(nèi)每個點表示不同的基本事件，這樣一來，x+y=■與x+y=1發(fā)生的可能性被認為是一樣大，而事實上是不一樣大的。 因為x+y=■與x+y=1包含的基本事件不一樣多，即不符合幾何概型的定義，所以0

正確解法：（如圖1）。題目中有兩個變量，即x、y，建立平面直角坐標(biāo)系，?。?，0）、（0，1）、（1，1）、（0，0）為頂點做個正方形，然后?。ā?，0）、（0，■）、（0，0）為頂點做個三角形

【例題2】：在5升水中有兩個病毒，現(xiàn)從中隨機地取出一升水，含有病毒的概率是多大？

典型錯誤：因為病毒在這5升水中的分布可以看作是隨機的，取得的1升水可以看作構(gòu)成事件的區(qū)域，5升水可以看作是試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，所以含有病毒的概率P=■。

典型錯誤分析：因為在5升水中含有兩個病毒，我們不妨將這兩個病毒分別記作病毒甲和病毒乙，隨機地取1升水，由上題我們可知含有病毒甲的概率為■，含有病毒乙的概率也是■，而這兩種情況都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情況，所以應(yīng)當(dāng)將這種情況去掉。

正確解法：記“取一升水，含有病毒甲”為事件A；“取1升水，含有病毒乙”為事件B，則“既含有病毒甲又含有病毒乙”為事件A、B。

從而所求的概率為

【例題3】在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在△ABC的內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率？（如圖2）

典型錯誤：如圖3，在△ABC中，線段AB上取一點E，使AE=AC，在∠ACB內(nèi)作一條射線CM，求得概率為：

正確解法：如圖4，由于在∠ACB內(nèi)作射線CM，等可能分布是CM在∠ACB內(nèi)的任一位置（如右圖所示），因此所有基本事件的區(qū)域應(yīng)是∠ACB，

所以

在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率。這個答案是0.75。第二個解法說射線AM在角ACB內(nèi)是等可能分布的，為什么第一種解法點M在線段AB上不是等可能的？

典型錯誤分析：從幾何概型的定義來分析，任找一點，滿足條件的點的測度與點的測度之比。能不能從幾何概型的定義來分析，對于一個隨機事件，我們要將每個基本事件理解為從某個特定幾何區(qū)域內(nèi)隨機取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點。

1） 點M在線段AB上是等可能的，錯誤解法就是根據(jù)這個才有，AM < AC ，AB=■AC， 所以AM < AC的概率是■=■。

2） 按照角度均勻分布，AMC為等腰三角形以內(nèi)為滿足AM

之所以兩個概率不同，是因為相同的角度對應(yīng)在斜邊AB上的線段長度不同，假設(shè)角度均勻分布的時候，M落在任何相同角度跨度內(nèi)的幾率是一樣的，但是由于他們對應(yīng)的斜邊長度不同，按照長度均勻分布來M落在這些小區(qū)間的概率是不相同的，從而導(dǎo)致最終結(jié)果的區(qū)別。事實上，同樣角度對應(yīng)高線附近的線段長度要短。

在高中數(shù)學(xué)中，對于概率的要求就是要幫助學(xué)生體會隨機現(xiàn)象以及隨機性，學(xué)生在已經(jīng)掌握了一般性的隨機事件及概率的統(tǒng)計定義的基礎(chǔ)上，又學(xué)習(xí)了古典概型，在由古典概型向幾何概型的過渡和實際背景如何轉(zhuǎn)化為“測度”時學(xué)生會遇到一定的困難。這就導(dǎo)致了大多數(shù)學(xué)生都會采用典型錯誤解法，這是對幾何概型的定義把握不準(zhǔn)，理解模糊，將長度型、面積型、體積型、角度型混淆起來。幾何概型的關(guān)鍵是如何在實際背景中，找出幾何區(qū)域和如何去定該區(qū)域的“測度”。在把事件空間轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域時，常常構(gòu)造出錯誤的幾何區(qū)域，往往是因為沒有抓住幾何概型中的等可能。如第三例以角度為“測度”。因為射線CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置都是等可能的，若以長度為“測度”，就是錯誤的，因為M在AB上的落點不是等可能的。所以我們在確立幾何概型的基本事件時，一定要選擇好觀察測度，注意判斷基本事件的等可能性，要根據(jù)題意，該設(shè)一個變量還是兩個變量，即對幾何概型問題作出一維的還是二維甚至三維的判斷，是比較困難的。為了使學(xué)生知其然且知其所以然，我在上述例題中運用變式，即通過對表面相似而實質(zhì)不同的解法進行深入的研究，使學(xué)生真正理解何時設(shè)一個變量，何時設(shè)兩個變量或者三個變量。

今后，在課堂教學(xué)中我們應(yīng)有針對性地能夠?qū)?shù)學(xué)問題進行多層次、多角度、多方面的進行探索研究，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從多種表象中去自主歸納問題的本質(zhì)，再從問題的本質(zhì)中探索內(nèi)在的規(guī)律，從中不僅能增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)變能力，而且能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力和素質(zhì)，這將有助于幫助學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的不同方面，有助于學(xué)生對新的知識產(chǎn)生深切的體會，有助于養(yǎng)成學(xué)生以不同的全新的視角去看待問題，這必將有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探索和理解。

參考文獻

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3.陳鈺清；對一道幾何概型題解法的反思[J] ；中學(xué)數(shù)學(xué)雜志； 2010年01期