淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王治芳

摘要：本文主要介紹數(shù)學(xué)思想方法，及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)量關(guān)系；圖形關(guān)系。

數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖形結(jié)合起來解決問題的一種思維方式。一般地，人們把代數(shù)稱為“數(shù)”，而把幾何稱為“形”，數(shù)與形表面看是相互獨(dú)立，其實(shí)在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，由數(shù)想形，以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想，具有可以使問題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解；在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，數(shù)形結(jié)合，有利于學(xué)生分析題中數(shù)量之間的關(guān)系，豐富表象，引發(fā)聯(lián)想，啟迪思維，拓寬思路，迅速找到解決問題的方法，從而提高分析問題和解決問題的能力。抓住數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)，不僅能夠提高學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化能力，還可以提高學(xué)生遷移思維能力。

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)幾乎全部的知識(shí)中，處處以數(shù)學(xué)對(duì)象的直觀表象及深刻精確的數(shù)量表達(dá)這兩方面給人以啟迪，為問題的解決提供簡(jiǎn)捷明快的途徑。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳岸花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離?！?這就是在強(qiáng)調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來考慮的重要性。把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，可以使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化.因此，在教學(xué)中應(yīng)重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，正確引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價(jià)值。

在教材《有理數(shù)》里面用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是最簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)等概念，以及進(jìn)行兩個(gè)有理數(shù)的大小比較。

例如上圖，在數(shù)軸上的兩點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為a、b，則表示下列結(jié)論正確的是（ ）

（A） （B）a-b>0（C）2a+b>0（D）a+b>0

分析：本題首先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)a、b在數(shù)軸上的位置，得到a<-1、0

容易發(fā)現(xiàn)，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數(shù)量結(jié)合起來的解題，這種巧妙的結(jié)合可以使一些紛繁無緒，難以上手的問題獲得簡(jiǎn)解。

數(shù)形結(jié)合思想的滲透不能簡(jiǎn)單的通過解題來實(shí)現(xiàn)和灌輸，應(yīng)該落實(shí)在課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)探索過程中，如在《相反數(shù)》這節(jié)課，先從互為相反數(shù)的兩數(shù)在數(shù)軸上的特征，即它們分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的實(shí)例出發(fā)，揭示這兩數(shù)的幾何形象。充分利用數(shù)軸幫助思考，把一個(gè)抽象的數(shù)的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)。特別地規(guī)定：零的相反數(shù)是零。顯得自然親切，水到渠成。同時(shí)也讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法的引領(lǐng)下感受到了成功，初步領(lǐng)略和嘗試了它的功用，是一個(gè)非常好的滲透背景。

又如，在教材《平面圖形的認(rèn)識(shí)（一）》里我們會(huì)遇見這樣的問題：已知線段AB，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C使CA=3AB。（1）線段CB是線段AB的幾倍？（2）線段AC是線段CB的幾分之幾？

這個(gè)題目的呈現(xiàn)方式是圖形式，而設(shè)問內(nèi)容卻是一個(gè)數(shù)量問題。若學(xué)生不畫圖，則不易得到其數(shù)量關(guān)系，但學(xué)生只要把圖畫出，其數(shù)量關(guān)系就一目了然。此題的出題意圖即為數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)。

再看例2：完成下列計(jì)算：1+3=？

1+3+5=？

1+3+5+7=？

1+3+5+7+9=？

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，探索規(guī)律。

在這題的教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個(gè)算式和結(jié)果的特點(diǎn)）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。在探索過程中可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行相互合作交流，也可以提供如下的幫助：

列出一個(gè)點(diǎn)陣，用圖形的直觀來幫助學(xué)生進(jìn)行猜想。這就是典型的把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化到圖形中來完成的題型。再如，在學(xué)習(xí)“函數(shù)”知識(shí)的時(shí)候，更是借助于函數(shù)的圖象來探討函數(shù)的知識(shí)，這是數(shù)形結(jié)合思想的最生動(dòng)的應(yīng)用。

再看例題： 如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC，CD，DA運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖2所示，則△ABC的面積是（ ）

A、10 B、16

C、18 D、 20

分析引導(dǎo)：把問題中的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的幾何圖形有機(jī)的結(jié)合起來，并充分利用這種結(jié)合尋找解題的思路，使問題得到解決。另外，在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考查，根據(jù)問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，化難為易，獲取簡(jiǎn)便易行的辦法。本題要將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和△ABP的面積的變化與所給的圖像聯(lián)系起來，并找出對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。

解：根據(jù)圖像，可得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C走過的路程是4，即BC=4，點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，△ABP的面積未發(fā)生變化，點(diǎn)P走過的路程是5，故可得△ABC的面積為12 ×4×5=10。故選A。

在解決以上問題時(shí)，我們都用到了數(shù)形結(jié)合思想。 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面，“數(shù)”與“形”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系，數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，所以，我們一定要通過課堂的教學(xué)、習(xí)題的講解使學(xué)生充分地理解數(shù)中有形、形中有數(shù)、數(shù)形是緊密聯(lián)系的，從而得到數(shù)形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題。

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

參考文獻(xiàn)

周春荔.數(shù)學(xué)觀與方法論[J].北京：首都師范大學(xué)出版社，1996.8