一道課本習(xí)題的幾種思考視角

吳水榮

有時(shí)一道題目可用多種方法解答，平時(shí)做題不應(yīng)只著眼于做出這道題，而要嘗試用多種解法解答.嘗試從多個(gè)角度解題，可以拓寬思路，在遇到其他類型的題目時(shí)會(huì)有意外收獲.下面我們就以課本的一道題對(duì)一題多解相關(guān)問(wèn)題作思考.

人教版A版選修4—5《不等式選講》第41頁(yè)第5題：已知2x+3y-4z=10，求x+y+z的最小值.

命題意圖：主要考查柯西不等式的知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，難度適中.對(duì)于這道題，若能調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)，從不同的視角進(jìn)行思考，就能探索出多種解法.

一、解法探究

1.不等式的視角

分析：（三維柯西不等式）設(shè)是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)b=b=b=0或存在一個(gè)數(shù)，使得時(shí)，等號(hào)成立.可利用此不等式及其取等號(hào)的條件.

解法1：根據(jù)柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值.

2.向量的視角

分析：若能構(gòu)造空間向量，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立.可利用此向量不等式及其取等號(hào)的條件.

3.方程的視角

4.幾何的視角

點(diǎn)評(píng)：我們對(duì)方法的認(rèn)識(shí)和使用往往是分散的，用一個(gè)方法能解決所面臨的問(wèn)題就滿足了.通過(guò)前面的探究和思考，我們認(rèn)為：這些方法之間似乎存在關(guān)聯(lián).

首先，三維柯西不等式的證明與方程的配方有關(guān).

最后，三維柯西不等式也可用空間幾何方法證明.

我們看到了四種方法的聯(lián)系，一脈同根，組成一個(gè)方法鏈，充分顯示了知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系和橫向貫通.有了這樣的認(rèn)識(shí)，各種方法之間不再孤立，使用時(shí)可以相互啟發(fā)，相互借鑒.

二、試題鏈接

三、2013年高考題的延伸

2013年湖南高考卷理科第10題：

該題從柯西不等式、向量的方法、方程的角度解決較容易，從幾何的視角：點(diǎn)到面的距離的角度考慮較難，為什么？如何將a+4b+9c表示空間點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方呢？

四、柯西不等式的延伸

三角視角：利用三角形的兩邊之和大于第三邊.

總之，找出解法是解題的關(guān)鍵，找出一種解法就是溝通了條件與結(jié)論之間的一個(gè)聯(lián)系，找出多種解法就是溝通了多個(gè)聯(lián)系.因此，“一題多解”的過(guò)程就是深入理解數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是溝通已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)之間更深刻聯(lián)系的過(guò)程.通過(guò)以上研究：不等式、向量不等式、配方、判別式……組成了一個(gè)方法鏈；代數(shù)、幾何、向量是脈脈相通的.有意識(shí)地積累“知識(shí)鏈、方法鏈”，“舉一反三”“觸類旁通”就能落到實(shí)處.