圓錐曲線的統(tǒng)一性

摘 要：圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在現(xiàn)實生活中也存在著許許多多的圓錐曲線，它們有著非常廣泛的實際應(yīng)用，因此有必要深入了解圓錐曲線各種性質(zhì).追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線、軌跡觀點、圓心運動、方程形式、曲線性質(zhì)等五個方面對圓錐曲線的統(tǒng)一性進行了歸納.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；統(tǒng)一性；定義；性質(zhì)

橢圓、雙曲線、拋物線同屬于圓錐曲線，它們都是可以由平面截圓錐面得到的截線，故而將這三種曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線；通過直角坐標系，圓錐曲線又與二次方程對應(yīng)，所以圓錐曲線又叫做二次曲線.圓錐曲線一直是幾何學研究的重要課題之一，在我們的現(xiàn)實生活中也存在著許許多多的圓錐曲線，它們有著非常廣泛的實際應(yīng)用，因此有必要深入了解圓錐曲線各種性質(zhì).本文將追尋前輩們的探索足跡，從錐面截線、軌跡觀點、圓心運動、方程形式、曲線性質(zhì)等五個方面對圓錐曲線的統(tǒng)一性進行歸納，希望有助于大家更全面地認識圓錐曲線.

我們來重新回顧一下圓錐曲線產(chǎn)生和發(fā)展的主要探索歷程：早在兩千多年前，古希臘數(shù)學家對它們已經(jīng)很熟悉了，古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線，用垂直與錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；當平面再傾斜一些就可以得到雙曲線.阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”.對于圓錐曲線，他們當初的主要興趣在于用它來幫助解決古代的三大作圖問題——化圓為方、倍立方和三等分角問題.直到16世紀，有兩件事促使了人們對圓錐曲線作進一步研究，一是德國天文學家開普勒（Kepler，1571～1630）繼承了哥白尼的日心說，揭示出行星按橢圓軌道環(huán)繞太陽運行的事實，二是意大利物理學家伽利略（Galileo，1564～1642）得出物體斜拋運動的軌道是拋物線.人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，而且是自然界物體運動的普遍形式.17世紀初，在當時關(guān)于一個數(shù)學對象能從一個形狀連續(xù)地變到另一形狀的新思想的影響下，開普勒對圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述，他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦點和離心率，并指出拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓，這為圓錐曲線現(xiàn)代的統(tǒng)一定義提供了一個合乎邏輯的直觀基礎(chǔ).而當法國另外兩位數(shù)學家笛卡兒和費馬創(chuàng)立了解析幾何，人們對圓錐曲線的認識進入了一個新階段，對圓錐曲線的研究方法朝著解析法的方向發(fā)展，即通過建立坐標系，得到圓錐曲線的方程，進而利用方程來研究圓錐曲線，以期擺脫幾何直觀而達到抽象化的目標，也可求得對圓錐曲線研究高度的概括和統(tǒng)一.到18世紀，人們廣泛地探討了解析幾何，除直角坐標系之外又建立極坐標系，并能把這兩種坐標系相互轉(zhuǎn)換.1745年，歐拉發(fā)表了《分析引論》，這是解析幾何發(fā)展史上的一部重要著作，也是圓錐曲線研究的經(jīng)典之作，在這部著作中，歐拉給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述，從一般二次方程出發(fā)，圓錐曲線的各種情形經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，總可以化為標準形式.繼歐拉之后，三維解析幾何也蓬勃地發(fā)展起來，由圓錐曲線導出了許多重要的曲面諸如球面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面以及各種拋物面等.

一、錐面截線的統(tǒng)一

現(xiàn)在我們都知道，用一個平面去截一個雙圓錐面，會得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線.

如果用一個不過圓錐頂點的平面去截圓錐的側(cè)面，設(shè)圓錐的半頂角為α，圓錐的軸與平面所成的角為θ；當θ= ，交線是圓；當α<θ< ，交線是橢圓；當θ=α時，交線是拋物線；當0≤θ<α時，交線叫做雙曲線（如右圖）.

如果平面與圓錐側(cè)面只交于一點（如下圖a），當θ=α時，平面與圓錐側(cè)面相切于一條母線（如下圖b）；當θ<α時，平面與圓錐側(cè)面相交于兩條母線（如下圖c）.這幾種特殊的截線叫做退縮圓錐曲線.

二、軌跡觀點的統(tǒng)一

從點的集合或軌跡的觀點看，到一個定點F的距離和到一條定直線L的距離之比是一個常數(shù)e的點的軌跡叫做做圓錐曲線.這個定點F叫做焦點，這條定直線L叫做準線，常數(shù)e叫做離心率.當01時，它的軌跡是雙曲線.此外，當e=0時，橢圓退化為一個點F；當e=∞時，雙曲線退化為一條直線L（如右圖）.

這一結(jié)論在天體物理方面是有具體應(yīng)用的：當人造衛(wèi)星的初速度等于第二宇宙速度時，衛(wèi)星的軌道是拋物線；當人造衛(wèi)星的初速度小于第二宇宙速度時，軌道變成橢圓；當人造衛(wèi)星的初速度大于第二宇宙速度時，軌道就成了雙曲線的一支.

三、圓心運動的統(tǒng)一

兩條互相垂直的直線L與L1，垂足為K，定點O與動點O1在直線L1上，以O(shè)1為圓心以O(shè)1K為半徑做圓O1（如右圖）.

（1）如果動點即圓心O1在定點O的右邊，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的橢圓C1.

（2）如果動點即圓心O1從定點O右邊沿著直線L1向左移動與O重合，這時橢圓就變成了圓.

（3）如果動點即圓心O1沿著直線L1向右移動到無窮遠處，這時圓O1就是直線L，當點A在直線L上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O為焦點，以L為準線的拋物線C2.

（4）如果動點即圓心O1沿著直線L1從左邊回來，點A在圓O1上運動，定點O與點A連線的垂直平分線與連線O1A交點M的運動軌跡就是以點O、O1為焦點的雙曲線C3.

（5）如果動點即圓心O1從左邊沿著直線L1向右移動到與O重合，這時雙曲線退化為兩條相交的直線.

簡而言之，橢圓有兩個焦點O、O1（假定點O1在點O右邊），若O固定，考慮O1的移動，當O1向左移動，橢圓逐漸趨向于圓，O1與O重合時即為圓；當O1向右移動，橢圓逐漸趨向于拋物線，O1到無窮遠處時即為拋物線；當O1從無窮遠處由左邊回到圓錐曲線的軸上來，即為雙曲線；當O1繼續(xù)向右移動，O1又與O重合時即為兩相交直線，亦即退化的圓錐曲線.我們看到了這樣的事實：橢圓、拋物線、雙曲線、圓以及由兩條直線組成的退化圓錐曲線，都可以從其中一個連續(xù)地變?yōu)榱硪粋€，只需考慮焦點的各種移動方式.此外也可以說拋物線還有一個在無窮遠處的焦點，直線是圓心在無窮遠處的圓.

四、方程形式的統(tǒng)一

1.在平面直角坐標系中，圓錐曲線都可以用二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0（B≠0，A2+C2≠0）來表示，①當B2-AC<0時，它表示橢圓.②當B2-AC=0時，它表示拋物線.③當B2-AC>0時，它表示雙曲線.代數(shù)式B2-AC值的變化超過某一界限會引起曲線類型的改變，而這些曲線在代數(shù)上的區(qū)別只在于方程系數(shù)B2-AC的正負號.

另外，圓錐曲線還可以表示為：（1-e2）x2+y2-2px+p2=0.這是以定直線L為y軸，并且使x軸通過焦點F，得到的圓錐曲線的軌跡方程，其中p是定點F到定直線L的距離，e是離心率.

2.在極坐標系中，圓錐曲線也有統(tǒng)一的方程：當01時，該方程表示雙曲線.

五、曲線性質(zhì)的統(tǒng)一

由于圓錐曲線定義上的統(tǒng)一，必然會有其性質(zhì)上的統(tǒng)一，即具有相似的性質(zhì).以下就其中的一部分作些初步的探討.

性質(zhì)一：（1）橢圓與雙曲線上任一點M的兩條焦半徑MO、MO1與通過M點的切線夾相等的角度.

（2）拋物線上任一點M的焦半徑MO、MO1（過M平行于軸的射線）與拋物線在M點的切線夾相等的角度.

據(jù)此易知，圓錐曲線具有如下的光學性質(zhì).

橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)過橢圓周上反射后，反射都經(jīng)過橢圓的另一個焦點.

雙曲線的光學性質(zhì)：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點O處，光線或聲波射到雙曲線靠近O的一支上，經(jīng)過反射以后，就好像從另一個焦點O1處射出來一樣.

拋物線的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光線或聲波在經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸.

顯然，由圓心運動的統(tǒng)一定義直接可以得出性質(zhì)一的結(jié)論.下面再采用解析方法，以橢圓為例給出證明.

性質(zhì)二：已知切點（x0，y0），圓錐曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的切線方程統(tǒng)一的形式為

參考文獻：

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作者簡介：許永祥，男，出生于1970年10月，中學數(shù)學一級教師，工作單位為福建省漳浦道周中學（郵編363200）。

（作者單位 福建省漳浦道周中學）