對一道解析幾何高考題的推廣

儲今雨

(北京師范大學附屬中學 100052)

高中遇到的很多解析幾何題，特別是一些證明題，給人的感覺總是充滿了機緣巧合.通過學習分析探究這些題目，發(fā)現(xiàn)所給的條件往往都是一般問題的特殊化處理.一些看似簡單的條件，往往都是做了精心的設計.因此在解題過程中，對所給條件內(nèi)在聯(lián)系的把握至關重要.

下面以2017年全國高考北京卷理科的第18題為例，對題目條件相關問題進行了探究，以揭示看似簡單的條件背后的秘密.

(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點．

解(Ⅰ)略.

圖1

得4k2x2+(4k-4)x+1=0．

因為點P的坐標為(1,1)，

所以直線OP的方程為y=x，

點A的坐標為(x1,x1)．

故A為線段BM的中點．

分析設直線的方程為y=kx+b(k≠0)，

得k2x2+(2kb-1)x+b2=0．

也就是當點P(1,1)不變時，D換成y軸上除原點外的其他點，結論就不成立了，因此拋物線的方程是由點P(1,1)決定的，這說明D與P之間是有聯(lián)系的.

探究2過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N，點M,N是否會與點P重合呢？

也即直線DP與拋物線C只有一個交點，所以點M,N不會與點P重合.

探究3解決了上述兩個問題，對題目條件作進一步分析：直線DP與拋物線C只有一個交點，等價于直線DP是拋物C線的切線.那么能否從切線的角度將點D的范圍推廣呢？也就是對于拋物線C:y2=2px，過y軸上除原點外的任意一點D作拋物線的切線DP，若其他條件不變，A為線段BM的中點的結論仍成立嗎？

分析設D(0,b)，直線l的方程為y=kx+b(k≠0)，

得k2x2+2(kb-p)x+b2=0．

故A為線段BM的中點．

由此可得出：

推廣1已知拋物線C:y2=2px，過y軸除原點外的任意一點D作拋物線的切線DP，切點P，過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點A,B，其中O為原點．則A為線段BM的中點.

探究4再將點D的范圍作進一步的推廣：對于拋物線外任意點D，是否有類似的結論成立？原題中的其他條件是否也要變化？原題中點A,B是過點M作x軸的垂線分別與直線OP,ON的交點，與x軸垂直的直線也可以看作是與y軸平行的直線.從拋物線的角度來看，y軸是切線，O是切點，所以當點D推廣時，過點D作拋物線的兩條切線，點A,B是過點M作與一條切線平行的直線分別與直線QP,QN的交點，A還是線段BM的中點嗎？

分析設D(x0,y0)，當x0=0時，已證明.下面證明x0≠0的情況，設切點Q(x3,y3),P(x4,y4)，此時y0y3y4≠0.如圖2，直線DQ的斜率一定存在，則直線DQ:y3y=p(x+x3)，

直線DP:y4y=p(x+x4)，

解得2px0=y3y4，2y0=y3+y4.

①

直線PQ:y0y=p(x0+x)，

因為D，M,N在一條直線上，

所以(y1-y0)(x2-x1)=(y2-y1)(x1-x0)，

圖2

得(y1-y0)(y2+y1)=2p(x1-x0)，

化簡得y1y2-y0y2-y0y1+2px0=0，

將①代入得

(y1+y2)(y3+y4)=2y1y2+2y3y4

②

若證明A為線段BM的中點，只要證明點M關于A的對稱點A′在直線QN上.A′在直線QN上等價于

(yA′-y3)(x2-x3)=(y2-y3)(xA′-x3)，

即證 (yA′-y3)(y2+y3)=2p(xA′-x3)

③

又xA′=2xA-x1

2y32y4+y3y12+y4y12-y32y1-y32y2-2y12y2+3y1y2y3-3y1y3y4+y1y2y4-y2y3y4=0

④

原命題就是證明上式恒成立.

左邊變形為

(y3-y1)(2y3y4+2y1y2)+y1(y1y3+y2y3+y1y4+y2y4)-y3(y1y3+y1y4+y3y2+y2y4)

把②變形為y1y3+y2y3+y1y4+y2y4=2y1y2+2y3y4

顯然④成立，因此猜想得證.

由此得出：

推廣2已知拋物線C:y2=2px，過拋物線外任意一點D作拋物線的兩條切線，設切點為P,Q，過點D作直線l與拋物線C交于不同的兩點M,N，過點M作與DQ平行的直線與直線PQ,QN交于點A,B，則A是線段BM的中點.

探究5類似地，如果把拋物線換成橢圓和雙曲線，同理可證類似結論仍成立.由此可得到以下兩個結論: