數(shù)學教學中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題能力的實踐①

陸正海 楊子圣

(江蘇省泰州中學 225300)

1 問題的提出

“解決問題”是相當長的一段時期及至當下數(shù)學教育的重要形式，而《義務教育課程標準(2011年版)》早已將原來總目標中的“解決問題”改為“問題解決”，進行修改的目的是為了更加重視學生問題意識培養(yǎng)，以及解決問題綜合能力的培養(yǎng)，強調(diào)學生在具體的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，提高分析問題和解決問題的能力；修訂中的普通高中《數(shù)學課程標準》中課程目標進一步明確了通過高中數(shù)學課程的學習，“……；提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)；…….”.事實上,在初高中數(shù)學課程教學中，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)必須憑借數(shù)學化過程，其核心環(huán)節(jié)就在于，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并加以分析和解決.

新課程強調(diào)培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力,強調(diào)數(shù)學要促進學生的思維發(fā)展就應當培養(yǎng)學生的問題意識,只有成功地使學生產(chǎn)生問題的教學,才能真正調(diào)動學生的學習積極性.然而在現(xiàn)行的數(shù)學教學中,部分老師還是很少為學生提供發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的平臺,仍停留在傳統(tǒng)意義上的“老師問學生答”的“解決問題”基本模式上,因此學生沒有時間發(fā)現(xiàn)問題,也不可能自主發(fā)現(xiàn)問題,更談不上提出問題和解決問題了.由此可見，在初高中數(shù)學教學中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力是使學生獲得數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑,應該成為數(shù)學教師教學設計的出發(fā)點和教學行為轉(zhuǎn)變的方向.

2 培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略與方法

數(shù)學教學中要使學生產(chǎn)生學習的興趣,就要精心創(chuàng)設教學情境,吸引學生的注意力，激發(fā)其求知欲與好奇心,激發(fā)學生對數(shù)學知識學習的熱情,進而引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，拉近學生與新知識的距離,讓學生真正成為學習的主人.如何培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力呢?

2.1 概念教學中提出問題

數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中.通過高中數(shù)學課程的學習,學生能在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗；養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁.因此，數(shù)學抽象思維訓練是培養(yǎng)學生提出問題能力的重要途徑和方法.

例1向量及其運算的教學

向量和物理學有著密切的聯(lián)系，物理學研究的基本對象之一是矢量，矢量是既有大小又有方向的量.如力、位移、速度、加速度、動量、電場強度等，這些量貫穿于物理學的許多分支，矢量是現(xiàn)實存在的，可以觀察、感受到的，物理學中的矢量是向量的現(xiàn)實模型；向量的加法運算可以以位移的合成為背景；向量的數(shù)乘運算以位移或速度的倍數(shù)為背景，可使學生對數(shù)與向量的數(shù)乘運算的結(jié)果仍然是向量有直觀的認識；兩個向量的數(shù)量積運算以力所做的功為背景.所以，向量及其運算是物理學中矢量及運算的抽象，教學中應引導學生從物理情境中抽象出數(shù)學概念和問題，培養(yǎng)學生的問題意識、創(chuàng)新意識和應用意識.

2.2 數(shù)學理論建構(gòu)過程中提出問題

抽象建立起來的數(shù)學概念和理論,其不斷發(fā)展完善過程的教學也是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要途徑.

例2一脈相承的共線向量定理和平面(空間)向量基本定理

共線向量定理：共線的的向量可選擇其中一個非零向量為基向量，用它可以表示共線的任一向量,即若b∥a，且a≠0，則有且只有一個實數(shù)λ，使b=λa.

事實上因為b∥a，

而唯一性常用反證法，

若又有b=λ′a(λ′≠λ)，

則λ′a=λa，(λ′-λ)a=0，

|(λ′-λ)a|=0，|(λ′-λ)|·|a|=0，

因為a≠0，所以|a|≠0，

所以(λ′-λ)=0，

即λ′=λ與假設λ′≠λ矛盾，

故λ是唯一的.

說明：

(1)非零向量a可看成所有共線向量的基向量；

①單位化a；②乘以|b|；③確定符號.

共線的的向量可選擇其中一個非零向量為基向量，用它可以表示共線的任一向量,那平面內(nèi)、空間內(nèi)的向量,是否有相應的理論呢?水到渠成地引導學生提出了新的問題.

例3有心二次曲線的“垂徑定理”

下面的圖形是從圓的兩個性質(zhì)定理引導學生提出橢圓和雙曲線(有心二次曲線)的類似性質(zhì)問題的示意圖(圖中M是弦AB中點或曲線上一點,有關斜率存在時).

(x-a)2+(y-b)2=R2?mx2+ny2=1,(mn≠0)

這里的本質(zhì)其實就是通過類比思維發(fā)現(xiàn)問題提出問題，這樣的情形在我們平常的教學中比比皆是，自然也是很重要的培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的途徑.

2.3 數(shù)學問題解決的過程中提出問題

數(shù)學問題解決是一種積極探索和克服障礙的活動過程,它所采用的途經(jīng)和方法是新的，至少其中某些部分是新的，這些方法和途徑是已有數(shù)學知識和方法的重新組合,這種重新組合通常構(gòu)成一些更高級的規(guī)則和解題方法，因此數(shù)學問題解決的過程又是一個發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過程.

例4“設而不求”在導數(shù)應用中的運用

導數(shù)應用的所有問題都以研究導函數(shù)f′(x)的零點, 即方程f′(x)=0的解為基礎, 當斷定方程f′(x)=0有解, 但又發(fā)現(xiàn)其解不能求或不易求時, 就可引導學生提出新的解題構(gòu)想，即“設而不求 整體代入”的方法.

已知函數(shù)f(x)=xex-1，g(x)=lnx+kx，若f(x)≥g(x)對任意x∈(0,+∞)恒成立，求實數(shù)k的最大值.

解由f(x)≥g(x)分離參數(shù)得

則k≤h(x)min，

顯然x>0時，函數(shù)x2ex+lnx單調(diào)遞增，

值域為R，有唯一的零點,但不可求,

這時發(fā)現(xiàn)問題并引導學生提出新的解決問題的思路和方法, 即“設而不求”方法.

且x∈(0,x0)時，h′(x)<0，h(x)遞減，

x∈(x0,+∞)時，h′(x)>0，h(x)遞增，

2lnx0+x0=ln(-lnx0)，

lnx0+x0=ln(-lnx0)+(-lnx0)，

而函數(shù)lnx+x單調(diào)遞增，

所以k≤1，k的最大值為1.

例5一道填空題的解法探究

在平面直角坐標系中，圓C1：(x+1)2+(y-6)2=25，圓C2：(x-17)2+(y-30)2=r2.

若圓C2上存在一點P，使得過點P可作一條射線與圓C1依次交于點A、B，滿足PA=2AB，則半徑r的取值范圍是____________.[5,55]

學生以及教輔資料中有關這道題的很多解法都是利用特殊情形和極限情形得到答案的,教學中應引導學生發(fā)現(xiàn)這類解法的問題并提出如何給出嚴謹?shù)慕夥?

設C1到直線PA的距離C1M=d，

由PA=2AB，得PM=5AM，

從而圓C2與C3有公共點，則不等式組

對0≤d<5能成立，

所以5≤r≤55.

可見，這樣的解題反思也是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要途徑.

3 結(jié)束語

數(shù)學新課程強調(diào)培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力,強調(diào)數(shù)學要促進學生的思維發(fā)展就應當培養(yǎng)學生的問題意識,只有成功地使學生產(chǎn)生問題的教學,才能真正調(diào)動學生的學習積極性.長期的數(shù)學問題解決學習，能培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光去觀察身邊的事物，用數(shù)學的思維方法去分析日常生活中的現(xiàn)象.在數(shù)學問題解決過程中學生還能切身感受到運用數(shù)學知識解決問題后的成功體驗，這不僅可以增強學生學好數(shù)學的信心，還可以使他們更加深刻地感受到自己所學的數(shù)學知識都是有用的.在教學中挖掘數(shù)學問題解決中隱藏的培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新能力的巨大潛力，引導學生加強數(shù)學問題解決的學習，充分發(fā)揮其培養(yǎng)學生探索精神和創(chuàng)新能力的功能，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)、實施素質(zhì)教育的必然要求.