數(shù)學(xué)問題2313號的簡證與探究

歐陽熙琴

(江西省贛州師范高等?？茖W(xué)校 341000)

在△ABC中，記BC=a,CA=b,AB=c,其半周長、面積分別為p、S;ra,rb,rc,ma,mb,mc,wa,wb,wc,ha,hb,hc分別是△ABC對應(yīng)邊上的旁切圓半徑、中線、內(nèi)角平分線、高．

《數(shù)學(xué)通報》2016年第7期刊登2313號問題：

經(jīng)筆者探究發(fā)現(xiàn)三角形的中線、內(nèi)角平分線及高線也有以上有趣性質(zhì)．即

由Heron公式知 2∑a2b2-∑a4=16S2，

又據(jù)平凡不等式 ∑a4≥∑a2b2，

得 ∑a2b2-16S2=∑a4-∑a2b2≥0，

其實上述過程就是對問題2313號的簡潔證明．

由權(quán)方和不等式得

定理1得證．

從而得ma≥wa，同理得mb≥wb，mc≥wc，又據(jù)熟知的wa≥ha，wb≥hb，wc≥hc，由此得到一個優(yōu)美的不等式鏈：

筆者進(jìn)一步通過研究得到如下更一般結(jié)果．

定理2對于n∈N+且n≥2,我們有

證明由冪平均不等式及權(quán)方和不等式得

則

旁切圓半徑、中線與高線的證明仿內(nèi)角平分線，故略．