分類，讓數(shù)學(xué)探究更有價值

張益趣

《3的倍數(shù)的特征》是人教版第八冊的教學(xué)內(nèi)容，對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，有從2、5的倍數(shù)的特征中引入的、有讓學(xué)生通過擺火柴棒研究的，其中不乏好點子好設(shè)計。但是，大部分教師都要拋出一個問題讓學(xué)生思考：“火柴棒的總根數(shù)跟3的倍數(shù)有什么聯(lián)系？”或者干脆問“3的倍數(shù)和數(shù)位上的數(shù)字的和有什么關(guān)系？”總覺得教師對學(xué)生的引導(dǎo)過于直接，對于五年級的學(xué)生，經(jīng)過這樣的提問，一般都能找到3的倍數(shù)的特征，也能用語言來表述。我認為，關(guān)鍵在于不但要讓學(xué)生找到3的倍數(shù)的特征，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)位上的數(shù)字的和與3的倍數(shù)之間的關(guān)系。我考慮，能不能在本節(jié)課中運用分類，讓學(xué)生自主探究呢？以下是兩個教學(xué)片段：

【教學(xué)片段一】

讓學(xué)生用30秒時間，寫3的倍數(shù)，大部分學(xué)生都從小到大寫了25個左右，教師板演了10個：105、111、156、273、300、339、504、918、1527、2442…然后提出探究的任務(wù)。

師：請你給自己寫的3的倍數(shù)分類，看看能不能找到規(guī)律。限時2分鐘。

（結(jié)束）學(xué)生回答。

生1：3、6、9；12、15、18、21、24…按位數(shù)分類。（有3人和他一樣）

師：按位數(shù)分類，那么3位數(shù)里哪些是3的倍數(shù)呢？103、208是3的倍數(shù)嗎？（學(xué)生回答不出）

生2：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30；33、36、39、42、45、48、51、

54、57、60、63、66…（有32人和他一樣）

師：你分類的標準是什么？

生2：個位是0、9的各歸為一類，共兩類。

生3：共十類。個位是0的一類，個位是1的一類，個位是2的一類，一直到個位是9的一類。

師：懂了。3、33、63是一類；6、36、66是一類，共十類。那21253是不是3的倍數(shù)，能迅速判斷嗎？（生無語）

師：看來，分類的方法很多。但是，哪一種分類才能幫助我們發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，是有價值的呢？（學(xué)生陷入沉思）

以上學(xué)生的分類方法，都有不同的標準，從單一分類的角度來看，沒有問題。但是對于尋求3的倍數(shù)的特征，卻沒有意義。大部分學(xué)生是從2、5的倍數(shù)的特征中受到啟示，這是學(xué)生的經(jīng)驗，卻是一種負遷移。課前，我也想到了，那么是不是就一定要先提醒學(xué)生，不要走彎路呢？我認為，負遷移也是一種寶貴的經(jīng)驗，經(jīng)歷過挫折，對知識的理解就會更加深刻，無需刻意回避。

【教學(xué)片段二】

師：繼續(xù)觀察這些數(shù)，還有其他分類方法嗎？限時5分鐘。（陸續(xù)有學(xué)生舉手，5分鐘后，共有15位學(xué)生舉手，巡視一遍。）

師：誰來介紹自己新的分類方法？

生1：3、21、30；6、15、24、33、42；9、18、36、45、63；39、48、57…

師：你的分類標準是什么？

生1：第一類，每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是3；第二類，每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是6；第三類，每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是9；第四類，每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是12；以此類推。

師：誰來幫他“以此類推”？

生2：每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是15，也是3的倍數(shù)；每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是18，也是3的倍數(shù)。

生3：每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是21，也是3的倍數(shù)；每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是24，也是3的倍數(shù)。

師：你能用一句話來表達嗎？

生4：每個數(shù)位上的數(shù)字的和是3、6、9、12、15、18等，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

生5：每個數(shù)位上的數(shù)字的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

師：很厲害。但是，我們需要驗證。判斷老師剛才寫的3的倍數(shù)（前5個）105、111、156、273、300。

生4：1加0加5等于6，6是3的倍數(shù)，105也是3的倍數(shù)。

生5：1加1加1等于3，3是3的倍數(shù)，111也是3的倍數(shù)。

……

（一個學(xué)生根據(jù)規(guī)律回答，其他學(xué)生用豎式驗證。）

生6：3的倍數(shù)的特征是找到了，但這樣的分類太亂。我一共分3類：

第一類：每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是3：3、12、21、30；

第二類：每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是6：6、15、24、42、51；

第三類：每個數(shù)數(shù)位上的數(shù)字的和是9：9、18、27、36、45…這樣的數(shù)是3的倍數(shù)。

師：那老師的這些數(shù)：339、504、918、1527、2442屬于哪一類呢？

生6：339，3加3加9等于15，然后1加5等于6，分到第二類；918，9加1加8等于18，然后1加8等于9，分到第三類；1527分到第二類；2442分到第一類。所有3的倍數(shù)沒有超出這三類的。

師：厲害?。ㄗ屍渌麑W(xué)生說了兩個四位數(shù)，用他的方法來判斷是不是3的倍數(shù)，大概有三十個左右的學(xué)生能用這樣的方法分析。老師又舉了一個反例。）

師：誰能用幾句話來概括？

生6：一個數(shù)，每個數(shù)位上的數(shù)字的和是3、6、9，如果和大于9的，數(shù)位上的數(shù)再加，直到出現(xiàn)一位數(shù)，如果是3、6、9，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

師：真佩服你們！

第二天，有學(xué)生告訴我他發(fā)現(xiàn)了一種更快判斷3的倍數(shù)的方法，不用把數(shù)位上的數(shù)都加起來，比如538，3是3的倍數(shù)就不要管它了，只要5加8加一下，13不是3的倍數(shù)，538就不是3的倍數(shù)。我又說了一個四位數(shù)2076，學(xué)生分析，6是3的倍數(shù)，不去管它，2加7是9，9是3的倍數(shù)，整個數(shù)就是3的倍數(shù)。

學(xué)生的探究能力如此之強，是我沒想到的，學(xué)生快速判斷3的倍數(shù)的方法，實際上已經(jīng)綜合了很多的知識，盡管不能很明確地用語言來表達，但是，方法是完全正確的，其實這又是一個學(xué)生新的探究的開始。從本節(jié)課中，我有幾點小小的感悟：

一、教師不要害怕學(xué)生探究的失敗

學(xué)生第一次探究的失敗，完全是正常的，這是他們運用已有的經(jīng)驗，進行探究后的結(jié)果。盡管這種經(jīng)驗的遷移是負作用的，但是從失敗到成功的過程，記憶是深刻的。負遷移在教學(xué)中比比皆是，我們不但不能回避，而且要好好利用，要讓學(xué)生積累對數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，同時能將“經(jīng)驗材料組織化”。

二、教師要給學(xué)生創(chuàng)造探究的機會

學(xué)生的探究能力其實是教師意想不到的。最后一位學(xué)生對3的倍數(shù)的概括（一個數(shù)，每個數(shù)位上的數(shù)字的和是3、6、9，如果和大于9的，數(shù)位上的數(shù)再加，直到出現(xiàn)一位數(shù)，如果是3、6、9，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。），盡管實際的意義不是很大，但是它更具有橫向的關(guān)聯(lián)，2的倍數(shù)特征是：個位是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)；5的倍數(shù)的特征是個位是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。或許，這種類比聯(lián)想更容易讓學(xué)生理解新的知識，更何況是學(xué)生自己探究出來的。其實很多教學(xué)內(nèi)容我們都可以讓學(xué)生進行探究，關(guān)鍵是教師如何給學(xué)生提供一個探究的載體，一種探究的環(huán)境。

三、教師對學(xué)過的知識要經(jīng)常地進行整合

新教材的特點是有些知識點分得比較散，所以教師要經(jīng)常把學(xué)生學(xué)過的知識，在新知中不知不覺地再應(yīng)用，再鞏固。溫故而知新，在復(fù)習(xí)與鞏固中，學(xué)生會對舊知有更高的認識、更深的理解，也容易排除學(xué)生對新知的畏難思想。同時要經(jīng)常地對各種知識進行串聯(lián)，編織學(xué)生知識的網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生認識到各種知識之間是相互關(guān)聯(lián)相互作用的，以利于學(xué)生解決一些實際問題或綜合性問題。

四、教師要經(jīng)常在教學(xué)中滲透一些數(shù)學(xué)思想

分類是一種數(shù)學(xué)思想，同時也是一種數(shù)學(xué)思維的工具。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第一冊學(xué)生就接觸了分類《整理房間》、第七冊《角的分類》、第八冊《三角形的分類》，讓學(xué)生對分類有了更多的理解。其實在生活中，無處不在的分類：超市貨物的擺放、自己書本的整理、性別之間、班級之間等等。對于分類的標準、分類的原則，學(xué)生在不知不覺中有了感悟。借助分類，有40%的學(xué)生找到了3的倍數(shù)的特征，學(xué)生完全是在觀察、嘗試、驗證的基礎(chǔ)上探究的，是自主的行為研究。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，滲透了很多數(shù)學(xué)思想，如集合、對應(yīng)、假設(shè)、比較、類比、轉(zhuǎn)化、分類、統(tǒng)計思想等，在教學(xué)中合理地運用這些數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響是深遠的，也會讓我們的數(shù)學(xué)探究活動更有意義，更有價值。

（作者單位 浙江省慈溪市逍林教辦）