利用定積分證明不等式

王小林

摘要：在中學(xué)和大學(xué)的教學(xué)中，關(guān)于不等式的證明方法，已有較多的人做了研究，較詳細(xì)地介紹了證明不等式的若干種常用的方法，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，結(jié)合利用定積分的幾何意義和平面圖形的面積大小關(guān)系，來證明某些不等式，學(xué)生更容易理解，證明過程也更簡單。

關(guān)鍵詞：定積分；證明；不等式

利用定積分證明不等式，主要是利用定積分的幾何意義和平面圖形的面積大小關(guān)系建立不等關(guān)系，進(jìn)而證明不等式。

一、用定積分證明代數(shù)不等式

例1.證明x>0時，■<1n（1+x）

原高等數(shù)學(xué)教材中通常利用拉格朗日中值定理來證明這個不等式，方法如下：

證明：首先取函數(shù)f（x）=1n（1+x），并取閉區(qū)間[0，x]

顯然f（x）在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理的條件

于是有f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0<ξ

因為f（0）=0，f′（x）=■故上式即為

1n（1+x）=■（0<ξ

由于0<ξ

x>0時，■<1n（1+x）

對上述證明過程，部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生總是覺得難于理解，為什么要取函數(shù)f（x）=1n（1+x），并取閉區(qū)間[0，x]，使用拉格朗日中值定理得出的結(jié)論還要作替換才能找到不等關(guān)系。

二、用定積分證明數(shù)列不等式

例2.求證1+■+■+…+■<2-■（n∈N，n≥2）

證明：函數(shù)y=■（x>0）是單調(diào)遞減的函數(shù)，其圖形如圖1所示，在曲線y=■上取兩點C（k，■）和Dk+1，■，再分別過這兩點引x軸的垂線，觀察圖形，矩形ABDE的面積<梯形ABDC的面積，AB=1，BD=■，于是

■<■■dx<（k=1，2，…n-1）

上面各式兩邊相加得到■+■+■+…+■<■■dx

所以■+■+■+…+■<-■+1，

故1+■+■+■+…+■<2-■

事實上，對函數(shù)y=■（x>0，P>0，且P≠1）來說，具有與圖1類似的圖形，

矩形ABDE的面積<梯形ABDC的面積<梯形ABDC的面積，

于是有不等式■<■■<■■+■，（k=1，2，3…，n-1）

以上各式兩邊相加，并記1+■+■+…+■=Sn，得到，

Sn-1<■x-pdx<■（2Sn-1-■），

Sn<■（n1-p-p）<■（1-■）+Sn，

當(dāng)p=2時，就證明了例題2

當(dāng)p=■時得不等式2■-1<■-■+Sn，于是Sn>2■+■-1■，由于n>1，■+■-1■>0

于是得不等式1+■+■+…+■>■（n>1）

三、利用函數(shù)y=xp-1（x>0，p>1）的定積分，來證明著名的Young不等式

例3.設(shè)a≥0，b≥0，■+■=1即（q=■），則有ab≤■+■（p>1）

證明：函數(shù)y=xp-1（p>1）在x>0時是單調(diào)遞增的（如圖2所示）

取x軸上點A（a，0），y軸上點B（0，b），

過點A引x軸的垂線，交曲線于y=xp-1于E，

過點B引y軸的垂線，交曲線于y=xp-1于D，

交線段AE于C，則矩形OACB的面積≤曲邊梯形OAE的面積+曲邊梯形ODB的面積，

又由y=xp-1得x=y■

于是ab≤■xp-1dx+■y■dy

積分得，ab≤■+■b■，而q=■

所以ab≤■+■

特別地，取p=q=2，得到a2+b2≥2ab。

參考文獻(xiàn)：

1.《高等數(shù)學(xué)》（工程類），陳如邦，高等教育出版社，2011年5月

2.《數(shù)學(xué)分析》，吉米多維奇

3.《試論解數(shù)學(xué)題中的轉(zhuǎn)化》，陳志云，數(shù)學(xué)通訊，1990年12月

【責(zé)編 張偉飛】