疲勞可靠度分析的概率密度演化方法

摘要：基于概率守恒原理，推導出疲勞損傷和隨機參數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)服從的演化方程。據(jù)此計算的隨機疲勞損傷概率密度曲面和累積概率分布函數(shù)等值線可以給出疲勞損傷概率結構的演化規(guī)律，并用以分析給定損傷閾值的疲勞可靠度。常幅疲勞可靠度的數(shù)值解與試驗結果吻合良好。給定二級載荷各自的常幅疲勞壽命概率分布參數(shù)，根據(jù)Miner準則可以較好地預測二級低高加載變幅疲勞可靠度。

關鍵詞：疲勞；損傷；可靠度；概率密度演化

中圖分類號：TU311.3文獻標志碼：A文章編號：16744764（2013）06006706

疲勞損傷及斷裂問題是材料和結構失效的常見模式。有資料表明，70%～80%的金屬結構破壞與疲勞損傷及斷裂有關[1]。由于影響結構疲勞損傷及斷裂的因素甚多且物理機制復雜，如材料性質、結構組成、荷載、參數(shù)估計、模型誤差、使用環(huán)境等[2]，本質上均具有不可忽略的隨機性。因此，采用可靠度的方法分析結構疲勞損傷就成為一種自然的選擇。

疲勞可靠度分析常采用應力強度干涉模型[3]，可靠度求解方法幾乎無一例外地被引入疲勞可靠性分析，包括： Monte Carlo[4]、一次二階矩[4]、Markov擴散理論[5]、響應面法[6]、逆一次二階矩法[7]等。材料疲勞壽命變異性多為常幅試驗結果，但實際工程中承受的一般是變幅或隨機載荷。因此，疲勞可靠性分析中還不可避免地涉及疲勞損傷的累積問題，也引入了累積損傷模型的系統(tǒng)誤差。

疲勞可靠度分析理論一直是該領域的研究重點。針對傳統(tǒng)的應力強度干涉模型的不足，Liao等[8]建議了可以考慮非線性損傷累積的動力干涉模型。倪侃等[9]同建立了疲勞可靠度的二維概率Miner準則。Le等[10]建議了一種未知載荷信息時對結構進行疲勞可靠性分析的方法。通過對已產生疲勞損傷的構件進行剩余壽命測試，并與同類新構件的疲勞壽命進行比較，據(jù)此間接地推斷受損構件的疲勞載荷特性。Lu等[11]采用等效初始缺陷尺寸法（EIFS）進行了比例及非比例多軸加載條件下的疲勞壽命分析。王春生等[12]根據(jù)Bayes定理建立了既有鋼橋疲勞可靠度更新模型。Pan等[13]采用gamma隨機過程理論及BirnbaumSaunders雙變量概率分布分析了具有多個退化路徑的疲勞壽命問題。Pipinato等[14]采用線彈性斷裂力學研究了交通荷載損傷與地震損傷組合對橋梁疲勞壽命的影響。基于現(xiàn)場監(jiān)測疲勞載荷譜，Guo等[15]對加固鋼橋進行了疲勞可靠性分析。Sih[1619]開展了一系列多尺度疲勞可靠性研究，涉及跨越納觀、介觀、宏觀尺度時材料的疲勞可靠性分析。徐亞洲：疲勞可靠度分析的概率密度演化方法

本文基于概率守恒原理[20]，從隨機損傷演化的角度考察隨機源和疲勞損傷的聯(lián)合概率密度函數(shù)在循環(huán)加載過程中的變化規(guī)律，推導出描述聯(lián)合概率密度函數(shù)在損傷變化率輸運過程中滿足的演化方程，給出了相應的差分數(shù)值解法。最后，通過常幅疲勞及二級加載變幅疲勞試驗結果驗證了方法的正確性。

1隨機疲勞損傷演化方程

1.1隨機疲勞損傷模型

其中：Yn為隨機損傷過程；n為加載次數(shù)；Θ是確定隨機損傷的隨機參數(shù)集合；F是描述參數(shù)與隨機損傷過程的一般變換，確定著加載次數(shù)、疲勞應力幅、累積損傷法則、SN關系等因素與疲勞損傷的關系。事實上，疲勞循環(huán)應力本身是一個連續(xù)過程，只是采用SN曲線計算疲勞損傷時將其離散為與加載次數(shù)有關的過程。此外，與疲勞壽命的數(shù)量級相比可以視加載參數(shù)為連續(xù)變量，故以下基于此進行基本方程的推導。

1.2疲勞損傷的概率密度演化方程

將隨機疲勞損傷視為一般隨機過程，通過時變概率密度函數(shù)可以確定其概率結構的演化規(guī)律。為此，考慮初始隨機性隨疲勞損傷變化率輸運時隨機損傷與隨機參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的變化規(guī)律，基于概率守恒原理建立聯(lián)合概率密度函數(shù)的演化方程，據(jù)此可實現(xiàn)隨機疲勞損傷的演化規(guī)律分析。

4結論

考慮疲勞壽命變異性和載荷隨機性為疲勞損傷的隨機源，基于概率守恒原理推導出隨機參數(shù)與疲勞損傷聯(lián)合概率密度函數(shù)的損傷演化方程。采用兩步LaxWendroff差分格式可以獲得聯(lián)合概率密度函數(shù)的數(shù)值解，對其在隨機參數(shù)空間進行積分即可獲得隨機疲勞損傷的概率密度演化信息。給定損傷失效閾值，可以進一步計算其疲勞可靠度。此外，據(jù)此計算的疲勞損傷累積概率分布等值線可用以分析給定損傷閾值時疲勞壽命的可靠度，也可以分析給定加載次數(shù)時不同損傷閾值條件下的疲勞可靠度。

根據(jù)LY12CZ合金材料常幅試驗結果確定其對數(shù)疲勞壽命服從正態(tài)分布，給出其參數(shù)估計值。采用隨機損傷演化方程獲得隨機疲勞損傷概率密度函數(shù)的數(shù)值解，取損傷閾值等于1計算的疲勞可靠度與試驗疲勞可靠度吻合良好。此外，基于冷軋軟鋼兩級載荷各自常幅疲勞壽命分布參數(shù)，采用Miner準則計算累積疲勞損傷，根據(jù)疲勞損傷概率密度演化方法計算的低高兩級加載彎曲疲勞可靠度與試驗結果吻合較好。

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（編輯王秀玲）