對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)中極限思想的探討

孫國(guó)元

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；極限思想

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1009-010X（2013）08-0078-01

“雙基”變“四基”是2011年版課標(biāo)的一個(gè)標(biāo)志性變化，于是，數(shù)學(xué)的“基本思想”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，成為了教育工作者研究、實(shí)踐和追求的重要課程目標(biāo)，并把數(shù)學(xué)思想提到了前所未有的高度，如數(shù)形結(jié)合思想、符號(hào)化思想、模型化思想、函數(shù)思想等等。有一次我在遠(yuǎn)程輔導(dǎo)批閱日志時(shí)，突然發(fā)現(xiàn)一位老師發(fā)散性地提到了極限思想。我對(duì)她的認(rèn)識(shí)抱有異議，于是我們展開了討論。

那位教師在日志中寫道：現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。如在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時(shí)，老師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是教不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)，讓學(xué)生初步體會(huì)“無(wú)限”思想，在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1÷3=0.333……是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無(wú)限的，在直線、射線、平行線的教學(xué)中，可讓學(xué)生體會(huì)線的兩端是可以無(wú)限延長(zhǎng)的。她還說(shuō)：前些日子我發(fā)的一帖（論壇中）：射線是射出去的線嗎？當(dāng)學(xué)生提出“噴水槍射出的水也是射線”時(shí)，其實(shí)就是給學(xué)生滲透極限思想的最好生成資源。只是那時(shí)還不知道極限思想需要老師精心地去培養(yǎng)，細(xì)心地去呵護(hù)。

看到這兩段話，我認(rèn)為她在極限思想的認(rèn)識(shí)上有很嚴(yán)重的誤區(qū)，于是在評(píng)語(yǔ)中寫到：借鑒別人的東西要用自己的頭腦思考，不說(shuō)你的觀點(diǎn)錯(cuò)誤與否，因?yàn)檫@不是你的觀點(diǎn)。極限和無(wú)限是兩個(gè)不同的概念，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)，1÷3=0.333……是一個(gè)循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的，是無(wú)限的等等，嚴(yán)格地說(shuō)，這些都不是極限思想，而是從有限到無(wú)限的思想。

原來(lái)她日志中的兩段話是在網(wǎng)上看到的，如獲至寶，便拿來(lái)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容談自己的認(rèn)識(shí)，其學(xué)習(xí)精神可以說(shuō)十分可貴。我也在網(wǎng)上搜到了同樣的結(jié)論，如“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的九個(gè)思想方法”中的極限思想。但這并不能證明其正確性。于是我們進(jìn)行了進(jìn)一步的探討和交流，最后達(dá)成如下共識(shí)。

以上觀點(diǎn)只是體現(xiàn)了“無(wú)限”的觀念，并不是真正意義上的“極限”， “無(wú)限≠極限”。如果說(shuō)對(duì)上述無(wú)限過(guò)程的處理是對(duì)極限思想的滲透，那一定是錯(cuò)誤的，是對(duì)極限思想的誤解，更會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生誤導(dǎo)。所以，教師必須正確認(rèn)識(shí)極限的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限。

數(shù)列極限的標(biāo)準(zhǔn)定義：對(duì)于數(shù)列{Xn}，如存在一個(gè)常數(shù)a，對(duì)于任意的ε>0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，Xn-a<ε成立，那么稱a是數(shù)列{Xn}的極限。

函數(shù)極限的標(biāo)準(zhǔn)定義：設(shè)函數(shù)f（x），在|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意ε>0，總存在正整數(shù)X，使得當(dāng)x>X時(shí)，f（x）-A<ε成立，那么稱A是函數(shù)f（x）在無(wú)窮大處的極限。

設(shè)函數(shù)f（x）在X0處的某一空心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)于任意ε>0，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng) fx- X0<δ時(shí)，f（x）-A<ε成立，那么稱A是函數(shù)f（x）在x0處的極限。

上述概念是非常抽象的，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及不到。需要理解和滲透的只是極限思想。也就是說(shuō)：“無(wú)限≠極限”，無(wú)限的結(jié)果有兩種可能，可能是收斂的，也可能是發(fā)散的。只有收斂的無(wú)限過(guò)程才能體現(xiàn)極限的思想。由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)還比較貧乏，他們只能通過(guò)一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“有限、無(wú)限”、“無(wú)限地逼近”，為將來(lái)學(xué)習(xí)“收斂”這個(gè)數(shù)學(xué)概念積累一些感性的認(rèn)識(shí)。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的一個(gè)重要方面。

極限思想是人們從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，了解它有重要意義。滲透極限思想實(shí)際上也是微積分思想的滲透。在小學(xué)階段，如圓的面積、球的體積等公式的推導(dǎo)過(guò)程，體現(xiàn)了化曲為直、化圓為方的極限思想和方法，在通過(guò)有限想象無(wú)限，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢(shì)，想象它們的最終結(jié)果。既使學(xué)生掌握了計(jì)算公式，又萌發(fā)了無(wú)限逼近的極限思想。還有循環(huán)小數(shù)中的0.999……=1等現(xiàn)象，這些認(rèn)識(shí)過(guò)程，既可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有利于學(xué)生對(duì)極限和量變質(zhì)變思想的認(rèn)識(shí)。這都是很好的滲透點(diǎn)。受年齡特征的制約，小學(xué)生對(duì)極限思想不會(huì)有深刻的理解，但這并不等于教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對(duì)極限思想的滲透，相反應(yīng)該抓住一切可以利用的契機(jī)加以滲透，為他們形成數(shù)學(xué)思想、提高抽象思維能力，以至將來(lái)學(xué)習(xí)極限理論奠定基礎(chǔ)。

然而，培養(yǎng)學(xué)生的無(wú)限觀念是形成極限思想的基礎(chǔ)，離開無(wú)限談極限是沒(méi)有任何意義的。所以，也不應(yīng)該因?yàn)椤盁o(wú)限≠極限”而忽視對(duì)無(wú)限性的教學(xué)。

另外“噴水槍射出的水也是射線”這一生成資源要正確處理，從無(wú)限的角度說(shuō)，它應(yīng)該是拋物線（平拋）。如果說(shuō)是給學(xué)生滲透極限思想最好的生成資源，那么它一定是反面教材。