S-dual 模型產(chǎn)生的原初黑洞和次級(jí)引力波*

強(qiáng)琪超 彭智謙 郜青

(西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,重慶 400715)

在S-dual 暴漲模型中通過(guò)在非正則動(dòng)能項(xiàng)中引入峰值函數(shù),可產(chǎn)生豐度可觀的原初黑洞和次級(jí)引力波.該模型分別在1012,108 和105 Mpc–1 對(duì)原初密度擾動(dòng)的功率譜進(jìn)行放大,產(chǎn)生了質(zhì)量量級(jí)分別為10–13 太陽(yáng)質(zhì)量、地球質(zhì)量、行星質(zhì)量的原初黑洞,以及峰值頻率分別為毫赫茲、微赫茲、納赫茲的次級(jí)引力波.其中在10–13太陽(yáng)質(zhì)量附近的原初黑洞可以解釋全部的暗物質(zhì),產(chǎn)生的次級(jí)引力波能被未來(lái)的空間引力波探測(cè)器探測(cè)到.

1 引言

2016 年2 月11 日,美國(guó)激光干涉引力波天文臺(tái)(LIGO)宣布在2015 年9 月14 日人類首次直接探測(cè)到了引力波[1].這是21 世紀(jì)物理學(xué)最重大的發(fā)現(xiàn),它宣告了引力波天文學(xué)時(shí)代的到來(lái),同時(shí)也為在強(qiáng)場(chǎng)和非線性區(qū)域檢驗(yàn)引力理論提供了全新的手段.該發(fā)現(xiàn)獲得了2017 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng).這些引力波事件發(fā)現(xiàn)的黑洞有可能是原初黑洞.暴漲時(shí)期的密度擾動(dòng)在進(jìn)入輻射為主時(shí)期,就塌縮形成了原初黑洞[2]及次級(jí)引力波[3].原初黑洞可以解釋暗物質(zhì)[4]以及第九行星[5]等問(wèn)題.次級(jí)引力波作為隨機(jī)引力波背景可以被脈沖星計(jì)時(shí)陣列(PTA)[6]以及未來(lái)的空間引力波探測(cè)器LISA[7],太極[8]和天琴[9]等探測(cè)到.近期有很多研究工作討論能產(chǎn)生原初黑洞的暴漲模型.

要產(chǎn)生足夠豐度的原初黑洞暗物質(zhì),在小尺度上的擾動(dòng)需要在10–2量級(jí)[10],而在大尺度上又需要滿足微波背景輻射限制的10–9量級(jí)[11].一部分研究工作考慮用具有拐點(diǎn)或是非最小耦合的暴漲模型來(lái)討論在小尺度上對(duì)功率譜的放大.在引入非動(dòng)能項(xiàng)的暴漲中如K/G 暴漲模型,有一種利用峰值函數(shù)來(lái)研究在小尺度上放大功率譜的新機(jī)制.這種新的機(jī)制同時(shí)適用于Higgs 暴漲和T 暴漲模型,且峰值函數(shù)和暴漲模型的函數(shù)形式都不會(huì)受到太大的限制,同時(shí)產(chǎn)生的引力波可以是寬譜或窄譜.

S-dual 起源于對(duì)電荷和磁荷的狄拉克量子化條件,其意味著在量子電動(dòng)力學(xué)中和電荷弱耦合的理論與和磁單極強(qiáng)耦合的理論等價(jià).這種體現(xiàn)強(qiáng)弱對(duì)偶的S-dual 后來(lái)被推廣到IIB 型超弦理論中.對(duì)于S-dual[12]暴漲模型,伸縮子標(biāo)量場(chǎng)?的勢(shì)函數(shù)在S-dual 變換下,g→1/g或?→-?是不變的,其中g(shù)～e?/M,M是具有普朗克質(zhì)量量綱的數(shù)值.S-dual 暴漲模型在一定置信度范圍符合普朗克衛(wèi)星的觀測(cè)結(jié)果.本文主要研究在帶峰值函數(shù)的非正則動(dòng)能項(xiàng)這種新的機(jī)制下,S-dual 暴漲模型產(chǎn)生的原初黑洞和次級(jí)引力波.

2 放大功率譜

在S-dual 暴漲模型中,引入非正則動(dòng)能項(xiàng),作用量為

在暴漲之后的低能標(biāo)階段,非正則動(dòng)能項(xiàng)G(?)可以忽略,就回到廣義相對(duì)論的情況.背景演化方程為

在慢滾近似中,曲率擾動(dòng)方程為

功率譜P?和曲率擾動(dòng)?k的關(guān)系為

從上述等式中發(fā)現(xiàn),引入的非正則動(dòng)能項(xiàng)G(?)可以增強(qiáng)功率譜.在峰值?p附近,G(?)的主要貢獻(xiàn)來(lái)自于Gp(?) 且G(?)≈h,所以功率譜可以通過(guò)增大h實(shí)現(xiàn).如果要把功率譜從10–9的量級(jí)增大到10–2的量級(jí),h至少是107.另一方面,暴漲結(jié)束時(shí)宇宙膨脹的e 指數(shù)的倍數(shù)N為

所以Gp(?)同時(shí)也增大了N,且峰值函數(shù)對(duì)N的貢獻(xiàn)約為20,其中?*和?e分別代表出視界和暴漲結(jié)束時(shí)的?數(shù)值.峰值函數(shù)Gp(?)在小尺度上增大了功率譜,同時(shí)讓?*更加接近?e,由 于暴 漲理 論要求N的數(shù)值一般在50—60 之間,則在極慢滾之后的慢滾暴漲的Neff只能是40 左右.在遠(yuǎn)離峰值時(shí),峰值函數(shù)可以忽略不計(jì),其中非正則動(dòng)能項(xiàng)f(?)起主導(dǎo)作用,利用如下的變化形式:

結(jié)合U(Φ)=V[?(Φ)]=U0Φ1/3以及U0=(9Λ24/f0)1/6把非正則標(biāo)量場(chǎng)?變換為正則標(biāo)量場(chǎng)Φ.對(duì)于冪次勢(shì)函數(shù),U(Φ)=U0Φ1/3,Neff～40 ,得到譜指數(shù)ns=0.971 ,張標(biāo)比r=0.033 滿足2018 年普朗克衛(wèi)星的觀測(cè)限制結(jié)果.所以在這種機(jī)制下,S-dual 暴漲既滿足了大尺度上普朗克的限制結(jié)果又在小尺度上放大了功率譜.求解背景方程(5)—方程(7)和擾動(dòng)方程(8)得到功率譜的數(shù)值解,取f0=7.34×1054,M=0.1 ,h,w,?p,?*的數(shù)值見表1.表1 中“S”代表q=1的窄譜,“WS”代表q=5/4 的寬譜.下標(biāo)“1”,“2”,“3”分別代表峰值處于不同的位置,“1”代表峰值位置在1012Mpc–1(Mpc=3.26×106光年),“2”代表峰值位置在108Mpc–1,“3”代表峰值位置在105Mpc–1.N,ns,r和峰值對(duì)應(yīng)的尺度k的數(shù)值見表1,對(duì)應(yīng)的功率譜如圖1 所示,功率譜的數(shù)值見表2,結(jié)果表明ns≈0.968 ,r≈0.04 ,與普朗克衛(wèi)星的觀測(cè)結(jié)果[11]符合

圖1 不同模型的功率譜.實(shí)線代表q=1 的模型,虛線代表q=5/4 的模型.藍(lán)色、紅色和黑色分別代表峰值為1012,108 和105 Mpc–1 的模型.模型的參數(shù)和峰值見表1,峰值對(duì)應(yīng)的功率譜數(shù)值見表2.淺綠色區(qū)域是被CMB 觀測(cè)結(jié)果排除的參數(shù)范圍[11],粉色、天藍(lán)色和橘色區(qū)域分別代表EPTA[6],BBN[13],μ-distortion[14]排除的參數(shù)范圍Fig.1.Power spectra of the different models.Implement the model representing q=1,the dashed line represents the model of q=5/4.Blue,red and black respectively represent the model with a peak value of 1012,108 and 105 Mpc–1.Parameters and peak values of the model are in Table 1,and the power spectrum values corresponding to the peak value are in Table 2.The light green area is the parameter range excluded by the CMB observation results[11],and the pink,sky blue and orange areas represent the parameter range excluded by EPTA[6],BBN[13] and μ-distortion[14] respectively.

表1 模型參數(shù)及數(shù)值計(jì)算結(jié)果Table 1.Model parameters and the numerical calculation results.

表2 模型的峰值功率譜、原初黑洞質(zhì)量、豐度和峰值頻率的數(shù)值Table 2.Peak power spectrum of the model,the mass,abundance and peak frequency of the primary black hole.

q因子控制譜的寬窄形狀和峰值?p的位置.取不同的?p和q得到了不同的窄譜和寬譜功率譜.

3 原初黑洞暗物質(zhì)

在輻射為主時(shí)期,在小尺度上由于引力塌縮形成的密度擾動(dòng),重新進(jìn)入視界之后就有可能形成原初黑洞.忽略黑洞質(zhì)量的增加以及減少,原初黑洞在形成過(guò)程中的密度微元為

現(xiàn)在原初黑洞暗物質(zhì)的豐度為

其中M⊙是太陽(yáng)質(zhì)量,γ=0.2 ,現(xiàn)在暗物質(zhì)的能量密度ΩDMh2=0.12 ,當(dāng)T＞300 GeV 時(shí)無(wú)量綱參數(shù)g*=107.5;當(dāng) 0 .5 MeV ＜300 GeV 時(shí),g*=10.75 ,μc=9δc/4 且δc=0.4 .峰值處對(duì)應(yīng)的原初黑洞質(zhì)量與峰值尺度因子kpeak之間的關(guān)系為

將計(jì)算功率譜得到的數(shù)值結(jié)果代入方程(13)到方程(15)中,得到了原初黑洞的豐度以及峰值對(duì)應(yīng)的質(zhì)量,結(jié)果在表2 和圖2 中.不同的參數(shù)模型對(duì)應(yīng)不同的峰值位置,不同的峰值位置分別產(chǎn)生了不同質(zhì)量的原初黑洞暗物質(zhì),且都滿足目前的觀測(cè)結(jié)果限制.模型分別產(chǎn)生了質(zhì)量為 10-13M⊙,10-6M⊙, 10M⊙的原初黑洞暗物質(zhì).行星質(zhì)量10M⊙左右的原初黑洞可以解釋LIGO/Virgo 觀測(cè)到的引力波事件.質(zhì)量在 10-13M⊙附近的原初黑洞豐度接近1,可以用來(lái)解釋全部的暗物質(zhì).質(zhì)量在10-6M⊙附近的原初黑洞可以解釋第九行星.

4 次級(jí)引力波

第一級(jí)和第二級(jí)的擾動(dòng)混合在一起,一級(jí)標(biāo)量擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生二級(jí)張量擾動(dòng).在小尺度上的擾動(dòng)達(dá)到10–2量級(jí),在這么強(qiáng)的擾動(dòng)下重新進(jìn)入視界之后,張量和標(biāo)量的非線性耦合會(huì)產(chǎn)生次級(jí)引力波.二級(jí)張量擾動(dòng)hk為

式中,H=aH,輻射為主時(shí)期w=p/ρ=1/3 ,eij(k)是張量擾動(dòng),Φ是規(guī)范不變的巴丁勢(shì)函數(shù).輻射為主時(shí)期次級(jí)引力波的能量密度為

式中,Θ為Heaviside 函數(shù).Tc(u,v,1) 和(u,v,1)

在文獻(xiàn)[10]中給出.現(xiàn)在次級(jí)引力波的能量密度為

其中Ωr是輻射的能量密度.利用方程(19),將圖1中的功率譜代入方程(18)和方程(20)中,得到了現(xiàn)在次級(jí)引力波的能量密度,結(jié)果如圖3 所示.峰值對(duì)應(yīng)的頻率見表2.從表2 結(jié)果可以得到,峰值的頻率分別為毫赫茲、微赫茲和納赫茲.模型“WS1”,“WS2”,“WS3”對(duì)應(yīng)比較寬的峰值范圍,產(chǎn)生了寬譜的次級(jí)引力波.能夠產(chǎn)生行星質(zhì)量黑洞的模型“WS3”已經(jīng)被EPTA 的觀測(cè)結(jié)果排除.產(chǎn)生地球質(zhì)量左右黑洞的模型“WS2”可以解釋第九行星,產(chǎn)生的次級(jí)引力波可能被未來(lái)的空間探測(cè)器LISA,太極和天琴探測(cè)到.產(chǎn)生 10-13M⊙質(zhì)量黑洞的模型“S1”和“WS1”,可以解釋豐度接近1 的暗物質(zhì),同時(shí)產(chǎn)生的次級(jí)引力波峰值的能量密度為10–8左右,比原初引力波能量密度10–16的量級(jí)要強(qiáng)很多,也可能被未來(lái)的空間探測(cè)器LISA、太極和天琴探測(cè)到.

圖3 次級(jí)引力波的能量密度.模型參數(shù)同表1,峰值對(duì)應(yīng)的豐度和質(zhì)量在表2 列出.橘色虛線表示EPTA 的限制結(jié)果[6];天藍(lán)色虛線表示SKA 的限制結(jié)果[22];綠色虛線表示天琴的限制結(jié)果[9];紫色虛線表示太極的限制結(jié)果[8];棕色虛線表示LISA 的限制結(jié)果[7];灰色虛線表示aLIGO 的限制結(jié)果[23]Fig.3.Energy density of secondary gravitational waves,the model parameters are the same as Table 1,and the abundance and quality corresponding to the peak are listed inTable 2.The orange dotted line represents the limit result of EPTA[6];the sky blue dotted line represents the limit result of SKA[22];the green dotted line represents the limit result of Tianqin[9];the purple dotted line represents the limit result of Taiji[8];the brown dotted line represents the limit result of LISA[7];the gray dotted line represents the limit result of aLIGO[23].

5 結(jié)論

在S-dual 模型中,通過(guò)引入非正則動(dòng)能項(xiàng)的機(jī)制,實(shí)現(xiàn)在小尺度上對(duì)功率譜的放大,同時(shí)產(chǎn)生豐度可觀的原初黑洞以及可以被未來(lái)空間探測(cè)器探測(cè)到的次級(jí)引力波.在這種機(jī)制下,功率譜在大尺度上滿足觀測(cè)限制,且在小尺度上被放大到10–2量級(jí).取不同q數(shù)值時(shí),在不同峰值位置產(chǎn)生的引力波可以是寬譜或窄譜.不同的?p,分別對(duì)應(yīng)著不同尺度位置1012,108和105Mpc–1對(duì)功率譜的放大.產(chǎn)生了質(zhì)量量級(jí)分別為10–13太陽(yáng)質(zhì)量、地球質(zhì)量、行星質(zhì)量的原初黑洞,以及峰值頻率分別為毫赫茲、微赫茲、納赫茲的次級(jí)引力波.行星質(zhì)量的原初黑洞可以解釋被LIGO/Virgo 探測(cè)到的黑洞,地球質(zhì)量的原初黑洞可以解釋第九行星,10–13太陽(yáng)質(zhì)量的原初黑洞可以解釋全部的暗物質(zhì).納赫茲的次級(jí)引力波可以被PTA 探測(cè)到,毫赫茲的次級(jí)引力波可被未來(lái)的空間探測(cè)器探測(cè)到.通過(guò)本文的研究,驗(yàn)證了引入非正則動(dòng)能項(xiàng)的機(jī)制適用于Sdual 模型.