三點共線思想在極值中的應(yīng)用

毛軍

極值問題一直是數(shù)學中的一個難點，也是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的一個考點，所以掌握一些基本的方法對極值問題的求解是很必要的，并且可以達到事半功倍的效果，三點共線思想方法就是一種在求極小值中經(jīng)常用到的方法，下面列舉幾例以作參考。

一、三點共線思想在直線中的應(yīng)用

例1、P為直線x-y+1=0上一點，A點（-3，5）B點（0，3）為平面上兩點，求│PA│+│PB│最小值。

分析：如圖，作點B關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點B'，連接AB'。易發(fā)現(xiàn)當P為直線x-y+1=0與線段AB'交點時，即A，P，B'三點共線時│PA│+│PB│取得最小值，且│PA│+│PB│=│PA│+│PB│=│AB'│。

解：。作點B關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點B'，求得B'的坐標為（2，1），再由兩點間距離公式可以求得。

點評：這是動點到兩個定點間距離和最小的一個典型例題，請仔細體會。

例2、已知實數(shù)x，y滿足條件x>0，y>0，且x+y=4，則函數(shù)的最小值。

分析：可以把和看成兩個Rt△ABC，Rt△A'B'C'的斜邊AB和A'B'，Rt△ABC的一條直角邊AC=x，Rt△A'B'C'的一條直角邊A'C'=y，再把這兩個直角三角形放到一起，使得A和A'重合，A'C'和AC在同一條直線上，則，，問題就轉(zhuǎn)化為求直線一動點到兩個定點的距離和最小，且。

解：Z=5。建立直角坐標系（如圖），設(shè)A（A'）點的坐標為（x，0），B點的坐標為（0，1），C點的坐標為（0，0），B'點的坐標為（4，2），C'點的坐標為（4，0）。作點B關(guān)于x軸的對稱點B'，求得點B'的坐標為（0，-1），連接B'B"，再由兩點間距離公式可以求得。

二、三點共線思想在圓錐曲線中的應(yīng)用

例3、（1）拋物線C：y2?=4x上一點P到點A（3，4）與到準線的距離和最小，則點P的坐標為______________。

（2）拋物線C：y2?=4x上一點Q到點B（4，1）與到焦點F的距離和最小，則點Q的坐標為。

分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則│PH│=│PF│，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線時，距離和最小。

（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QR⊥l交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小。

解：（1）（2，）。連PF，當A、P、F三點共線時，│AP│+│PH│=│AP│+│PF│最小，此時AF的方程為即y=2（x-1），代入y2=4x得P（2，2），（注：另一交點為（），它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去）

（2）（）。過Q作QR⊥l交于R，當B、Q、R三點共線時，│BQ│+│QF│=│BQ│+│QR│最小，此時Q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，∴Q（）。

點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細體會。

例4、F是橢圓的右焦點，A（1，1）為橢圓內(nèi)一定點，P為橢圓上一動點。

①│PA│+│PF│的最小值為；

②│PA│+2│PF│的最小值為。

分析：PF為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑PF'或準線作出來考慮問題。

解：（1）4-。設(shè)另一焦點為F'，則F'（-1，0）連AF'，PF'

當P是F'A的延長線與橢圓的交點時，│PA│+│PF│取得最小值為4-。

（2）3作出右準線l，作PH⊥l交于H，因a2=4，b2=3，c2=1，a=2，c=1，e=，