高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法探究

馮天祥

高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)方法已得到數(shù)學(xué)教師的廣泛關(guān)注，但是卻沒有達到令人滿意教學(xué)效果。本文在分析教與學(xué)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，針對幾個具體問題來探究適合高職學(xué)生實際的教學(xué)方法，這種方法要求我們既要考慮教師的教，也要考慮學(xué)生的學(xué)，不可割裂二者之間的關(guān)系。

鑒于我國高職院校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好、教學(xué)時數(shù)較少及教學(xué)預(yù)期較高等問題的存在，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的取舍和教學(xué)方法的確定尤其重要，因此高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法的變革從未間斷過，但直到今天也沒有達到令人滿意的效果。教學(xué)活動由教與學(xué)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)手段構(gòu)成，而教學(xué)活動又規(guī)定并制約教學(xué)實踐的成功程度。[1]這就是說，教學(xué)方法涉及到教師的“教”、學(xué)生的“學(xué)”及教材三個方面，但是大多數(shù)教學(xué)方法所討論的僅僅是教師根據(jù)教材而采取的“教”法而忽視了學(xué)生的“學(xué)”法，使教學(xué)成為一種單邊活動。所以高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)方法仍然要繼續(xù)改革與探究，尋找適合學(xué)生實際的教與學(xué)的方法更加迫切。如前所述，教學(xué)方法應(yīng)該稱為教與學(xué)的方法更為準確。下面在分析教與學(xué)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，針對一些具體問題探究適合高職學(xué)生實際的教學(xué)方法。

一教與學(xué)的關(guān)系

現(xiàn)代教育理論認為：教學(xué)是教與學(xué)的交流與互動，是師生心靈的碰撞，在教學(xué)活動中通過語言、觀念、情感等的相互交流與溝通，達到分享彼此的思考、經(jīng)驗和知識，最終實現(xiàn)教學(xué)相長和共同發(fā)展；教學(xué)是在教學(xué)過程中教與學(xué)的有機結(jié)合，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生積極主動地學(xué)習(xí)，不僅要教會學(xué)生學(xué)習(xí)知識，更要教會學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教的活動要圍繞學(xué)的活動來開展，學(xué)生的學(xué)是教師的主要依據(jù)，教材是連結(jié)教與學(xué)的紐帶。筆者認為，教與學(xué)具有如下關(guān)系：[2]

學(xué)比教更重要。教的目的是為了輔助學(xué)，老師教得再好，學(xué)生不學(xué)仍然不會有好的教學(xué)效果；教師教授的內(nèi)容也是通過學(xué)習(xí)得到的；學(xué)可以離開教師的教，但教離不開學(xué)，教師離開了學(xué)生就不是教師，而學(xué)生卻可以自學(xué)知識。

教為學(xué)指引方向。缺少教師的教，學(xué)習(xí)會走許多彎路，改變正確的方向，容易走向極端；缺少教師的教，學(xué)習(xí)會變得雜亂無章，不易形成體系，而且很難進行深入的研究與探索；缺少教師的教，學(xué)易于走向死胡同，一旦走入死胡同就難以自拔；缺少教師的教，學(xué)會事倍功半，因為數(shù)學(xué)的邏輯嚴密性會使學(xué)望而生畏，一些數(shù)學(xué)思想和方法會變得不可思議。

總之，學(xué)不能離開教，教也離不開學(xué)，二者之間相輔相成，相得益彰。

二幾個具體問題的教學(xué)實踐

在高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，我們發(fā)現(xiàn)對一些問題的教學(xué)，看似非常簡單，學(xué)生學(xué)習(xí)的效果卻不能令人滿意，從教的角度很難找出根源。我們不得已轉(zhuǎn)換思路，從教與學(xué)的關(guān)系出發(fā)，查出其中原因之一就是沒有處理好教與學(xué)的關(guān)系：

1三階行列式的計算

對于三階行列式的對角線法則的教學(xué)，一般都用轉(zhuǎn)彎算法實現(xiàn)其計算，我們在教學(xué)中，考慮到學(xué)生的實際情況，給出了所謂的不轉(zhuǎn)彎計算方法如下：

對于學(xué)生的學(xué)，我們提醒學(xué)生注意：三階行列式的展開式是六個項的代數(shù)和，其中三個項帶有“+”號，三個項帶有“-”號，每個項都是行列式的三個元素的乘積；在行列式中一些元素為負數(shù)時，留意這些符號的變化。

2矩陣的乘法

矩陣的乘法雖然不是學(xué)習(xí)的難點，但是高職院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往存在計算速度慢，準確性差等困難。經(jīng)過一段時間的調(diào)查了解，認真思考，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對兩個矩陣的乘積矩陣的行數(shù)和列數(shù)不很清楚，同時對于乘積矩陣的元素cij該怎樣計算也不明白。為此我們在教與學(xué)兩方面都進行了改進，實踐證明這樣的教學(xué)效果很好。

對教的問題，著重強調(diào)：（1）乘積矩陣AB的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，乘積矩陣AB的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù)；（2）矩陣矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)是乘積矩陣AB有意義的條件；（3）cij是乘積矩陣AB的第i行第j列的元素，它是由矩陣A的第i行元素（從左至右的順序）ai1，ai2，，…，ain與矩陣B的第j列元素（從上至下的順序）b1j，b2j，…，bsj對應(yīng)乘積之和，即cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）。

對于學(xué)，我們提請學(xué)生注意：首先應(yīng)判斷矩陣A與矩陣B的乘積AB是否有意義，在乘積AB有意義的前提下，確定乘積矩陣AB的行數(shù)和列數(shù)，最后是按照求乘積矩陣AB的元素cij的規(guī)則逐一求出它的各個元素，也就是乘積矩陣AB的第i行第j列的元素cij是由矩陣A的第i行元素從左至右取出來與矩陣B的第j列元素從上至下取出來作兩兩乘積的和。同時應(yīng)該讓學(xué)生進行適量計算，讓學(xué)生熟悉矩陣乘法的規(guī)則和原理。

3利用初等行變換化一個矩陣為行簡化階梯型矩陣

高職院校的學(xué)生對矩陣的初等行變換能夠掌握，也能夠理解行簡化階梯型矩陣的概念，但是他們在利用矩陣的初等行變換將一個矩陣化為行簡化階梯型矩陣時，都存在不同程度的困難，改變了多種教學(xué)方法都沒有解決這個問題，于是考慮在教與學(xué)關(guān)系上處理這個問題，經(jīng)過教學(xué)實踐，這樣的教學(xué)能夠取得較為滿意的效果。

對于教的問題，強調(diào)了思路與步驟：第一步處理矩陣的第1列元素。首先看矩陣的第一列是否有非零元，如果沒有非零元，則處理矩陣的第二列元素。如果有非零元，看看矩陣的第一列元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個元素“1”，然后可以通過行的交換把這個“”變到第1行第1列的位置，并用這個“”將第1列的其他元素全部化為零。第二步處理矩陣的第二列元素?？创藭r矩陣的第二列第二個及其下面的元素中是否有非零元，如果沒有非零元，則直接處理矩陣的第三列元素。如果有非零元，看看這些元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個元素“1”，然后可以通過行的交換把這個“1”變到第2行第2列的位置，并用這個“1”將第2列的其他元素全部化為零。第三步處理矩陣的第三列元素?？创藭r矩陣的第三列第三個及其下面的元素中是否有非零元，如果沒有零元，則直接處理矩陣的第四列元素。如果有非零元，看看這些元素中有沒有“1”，如果沒有“1”，就想法造一個元素“”，然后可以通過行的交換把這個“1”變到第3行第3列的位置，并用這個“”將第3列的其他元素全部化為零。后面只需重復(fù)這一過程，就能把給定矩陣化成行簡化階梯型矩陣。

對于學(xué)生的學(xué)，我們提請學(xué)生注意：（1）這里的“1”是指的一個單位，并不一定真為1；（2）沒有“1”造“1”的方法很多，所以化一個矩陣為行簡化階梯型矩陣的方法也很多；（3）對于第列元素的處理，是考慮第列元素中第個及其下面那些元素中有無非零元開始的，隨著的變化考慮的元素的多少和位置都有變化；（4）要給學(xué)生實際操作的機會和時間。

4實對稱矩陣的對角化

將一個實對稱矩陣對角化，如果某個特征值對應(yīng)多個線性無關(guān)的特征向量，就需要求出這個特征值所對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量組，然后將這些線性無關(guān)特征向量正交化和單位化，實際計算時非常麻煩，學(xué)生難以掌握，準確率相當?shù)汀Ｎ覀冡槍χ挥袃蓚€自由未知量的特殊情形，直接取正交的特征向量再單位化就可以了。具體來說：

對于教師的教，只有兩個自由未知量的情形x1=ax2+bx3，只要取濁1=（0-b，a）T，η2=（a2+b2，a，b）T就能保證濁1，濁2相互正交。如對x1=x2-x3，因為a=1， b=-1，所以取濁1=（0，1，1）T，濁2=（2，1，1）T，濁1=（0，1，1）T，濁2=（2，1，-1）濁。

對于學(xué)生的學(xué)，要求按照給定的公式先取出兩個正交的特征向量來，然后再單位化就可以了。在教學(xué)實踐中，對于一般的三階實對稱矩陣的對角化，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠用這樣的方法完成。這種定式教學(xué)也就是一種技巧或技能，他對于基礎(chǔ)不是很好的學(xué)生卻能收到較好的教學(xué)效果。

總之，高職院校的數(shù)學(xué)教學(xué)要充分考慮到教師的教和學(xué)生的學(xué)這兩個方面。如果割裂二者的關(guān)系進行數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)的效果就會大打折扣，教師難教，學(xué)生不愿學(xué)的狀況就會出現(xiàn)，久之必然出現(xiàn)教師不愿教，學(xué)生討厭學(xué)的被動局面。如果我們在教的同時考慮到學(xué)生的學(xué)，卻會慢慢改變學(xué)生不愿學(xué)的現(xiàn)狀。當然這樣的教學(xué)方法對于基礎(chǔ)好、反映快的學(xué)生來說就不合適了，原因在于充分考慮當學(xué)生的學(xué)，往往帶有教師解決問題的烙印，限制了學(xué)生的發(fā)揮，學(xué)生思考得余地會被削弱。