對“正弦定理”教學(xué)的幾點(diǎn)理解

張宏海 王曉慧

摘 要：“正弦定理”是課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五第一章第一節(jié)的內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式，這樣有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的再創(chuàng)造過程。高中數(shù)學(xué)課程還應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。

關(guān)鍵詞：正弦定理；教學(xué)目標(biāo)定位；教學(xué)診斷；效果分析

一、教學(xué)內(nèi)容分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中的邊角關(guān)系和三角形全等的判定，本課是在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究任意三角形中的邊角關(guān)系。教師帶領(lǐng)學(xué)生從已有知識出發(fā)，通過探究得到正弦定理，理解定理的內(nèi)容并能運(yùn)用正弦定理解決三角形的兩類問題，結(jié)合三角形全等的判定，理解在已知邊邊角的情況下，三角形解的個數(shù)不確定的問題。學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、平面向量、圓等內(nèi)容，使得對這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，課本中按照從簡原則和最近發(fā)展區(qū)原則，采用“作高”的方式證明了正弦定理。教學(xué)過程中，為了發(fā)展學(xué)生的思維，使之學(xué)會思考數(shù)學(xué)問題，可以再引導(dǎo)學(xué)生從向量、作外接圓、三角形面積計算等幾個角度找到證明的途徑，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識相互緊密聯(lián)系的特點(diǎn)。

二、本課的生活背景與教學(xué)目標(biāo)定位

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實(shí)踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展。如：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？怎樣測出在海上航行的輪船的航向和航速？在生產(chǎn)、生活實(shí)際中也會遇到類似問題。例如：怎樣確定樓間距，使得一樓的住戶也能得到較為充足的陽光？怎樣充分利用廢舊鋼板來節(jié)約成本？這些都是學(xué)生非常感興趣的生活問題，數(shù)學(xué)無處不在，正如荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾在他所著的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中所講：“數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一是幫助學(xué)生構(gòu)造數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)。”

教學(xué)過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷提出問題、解決問題、初步應(yīng)用等過程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將解三角形作為幾何度量問題展開，重點(diǎn)在正弦定理的應(yīng)用，而不必在恒等變換上進(jìn)行過于繁瑣的訓(xùn)練。這就要求在教學(xué)中突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化的思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究、再創(chuàng)造過程。基于此，本課的教學(xué)目標(biāo)定位在：

1.能在創(chuàng)設(shè)的問題情境中激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，從已有的知識出發(fā)，探究、發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。學(xué)生會初步運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類問題。

2.學(xué)生能夠在平等的教學(xué)氛圍中通過學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評價，體會觀察、猜想、由特殊到一般歸納得出結(jié)論的數(shù)學(xué)方法。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析

1.教學(xué)重點(diǎn)：從知識的角度講，正弦定理的探索發(fā)現(xiàn)及其初步應(yīng)用；從培養(yǎng)學(xué)生的角度講，重視學(xué)生在探究正弦定理的過程中分析問題、解決問題能力的提高；從教師的角度講，重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

2.教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的證明。了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，解的情況不唯一。

四、教學(xué)診斷分析

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，在必修四中又研究了任意角的三角函數(shù)，所以很容易根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，得出直角三角形中的正弦定理，從而引出課題：這一結(jié)論在任意三角形中還成立嗎？證明這個結(jié)論是一個難點(diǎn)，特別是在鈍角三角形中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生如何化未知為已知，可以找到解決問題的途徑。運(yùn)用定理解三角形不難，但是在運(yùn)用定理的過程中，有一點(diǎn)是學(xué)生不容易想到也難以理解的，就是在已知三角形中兩邊和其中一邊的對角時，解的情況不唯一。教師通過引導(dǎo)學(xué)生回憶初中所學(xué)的三角形全等的判定，理解“邊邊角”不能判定三角形全等，本節(jié)課只需要讓學(xué)生知道這一點(diǎn)，詳細(xì)探究在以后完成。

五、教法特點(diǎn)分析

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾在他所著的《數(shù)學(xué)教育學(xué)》一書中指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”“數(shù)學(xué)活動是思維活動，對數(shù)學(xué)家而言，這是一個發(fā)現(xiàn)活動；對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，我們要教給學(xué)生的不是死記現(xiàn)成的材料，而是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理（自己獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)科學(xué)上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的東西），學(xué)生發(fā)現(xiàn)那些在科學(xué)上早已被發(fā)現(xiàn)的東西的時候，他是像第一次發(fā)現(xiàn)者那樣去推理的?！痹诟ベ嚨撬柕恼撌鲋幸仓赋觯骸皩W(xué)生通過自己努力得到的結(jié)論和創(chuàng)造是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的一部分?！毙抡n標(biāo)也在倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式?；谶@種理念的指導(dǎo)，結(jié)合本課的教學(xué)內(nèi)容，采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，以生活中可能遇到的測量問題來創(chuàng)設(shè)問題情境，以問題驅(qū)動課堂，使學(xué)生的思維始終活躍于解決問題的探究活動中，通過師生之間、學(xué)生之間的評價來完善對問題的理解和對定理的應(yīng)用，創(chuàng)造和諧、愉快、平等的學(xué)習(xí)氛圍，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生體驗(yàn)快樂學(xué)習(xí)。同時，要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣并逐步提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]（前蘇聯(lián)）A·A·斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1984.

[2]（荷）弗萊登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.