分類思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

殷志琴

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，用以實現(xiàn)數(shù)學(xué)探究、猜想、轉(zhuǎn)化等思想方法.近年來，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，是每一位數(shù)學(xué)教師積極探索、努力踐行的方向，也是符合新課改標(biāo)準(zhǔn)、推行素質(zhì)教育的有效途徑.

數(shù)學(xué)分類思想，是根據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論的思想貫穿始終，應(yīng)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題能起到事半功倍的效果，對學(xué)生高效解決問題帶來極大的方便.而分類的過程又能充分培養(yǎng)學(xué)生思考問題的嚴(yán)謹(jǐn)性和提升學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)律的探索能力.

一、滲透分類思想，養(yǎng)成分類的意識

教師要充分利用學(xué)生原有的分類知識和分類能力，把它正向遷移到數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)中來，形成分類思想的有效滲透.

初一年級的數(shù)學(xué)就對數(shù)域進(jìn)行了擴(kuò)充.根據(jù)實際生產(chǎn)、生活的需要，以及學(xué)生在小學(xué)學(xué)過正數(shù)和零的基礎(chǔ)，以0下的氣溫、存取錢、水位的上升和下降等實際問題引入負(fù)數(shù)，從而將數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)，這時就要引導(dǎo)學(xué)生對有理數(shù)進(jìn)行分類，這也是學(xué)生在初中階段首次體驗分類思想，并充分感受到分類標(biāo)準(zhǔn)不同，就有不同的分類方法.例如，可以按有理數(shù)的定義分類，分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；可以按有理數(shù)的性質(zhì)符號分類，分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)；也可以按小數(shù)分類，分為有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù).通過絕對值的知識也能很好地滲透分類思想.通過數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生體驗絕對值的意義，即一個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離就是這個數(shù)的絕對值，這里重點領(lǐng)悟 “點與點之間的距離”，讓學(xué)生明白絕對值——距離——非負(fù)數(shù)之間的聯(lián)系和滲透，從而產(chǎn)生給有理數(shù)的絕對值分類的意識，即“正數(shù)的絕對值等于它本身；零的絕對值是零；負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)”，形成恰當(dāng)?shù)姆诸惙绞?在學(xué)習(xí)用式表示數(shù)后，又可對式進(jìn)行分類，即整式分為單項式和多項式，通過對單項式、多項式的學(xué)習(xí)為后繼整式加減的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

二、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性

在教學(xué)中滲透分類思想時，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對象的屬性，不重復(fù)、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答，掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關(guān)鍵所在.

1.根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類

學(xué)習(xí)三角形的外心知識時，要根據(jù)三角形的形狀分類討論三角形外心與三角形的位置關(guān)系：銳角三角形外心在三角形內(nèi)部；直角三角形外心在斜邊的中點處；鈍角三角形外心在三角形的外部.這些分類要通過學(xué)生親自尺規(guī)作圖來感受，讓學(xué)生自主形成良好的分類意識.

在直線和圓的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)中，我們是根據(jù)直線與圓的公共點的個數(shù)來進(jìn)行分類的：當(dāng)直線與圓沒有交點時叫做直線與圓相離；當(dāng)直線與圓有且只有一個公共點時，叫做直線與圓相切；當(dāng)直線與圓有兩個公共點時叫直線與圓相交.

在學(xué)習(xí)圓周角定理證明時，可根據(jù)圓心與圓周角的位置不同分別討論，如圓周角的一條邊經(jīng)過圓心時，這種情況比較特殊也容易證明，在這種特殊情況下證得結(jié)論，即“同弧所對的圓周角是該弧所對圓心角的一半”，再將這種方法遷移到圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部時的證明上，也就是通過作直徑達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.這也是分類思想在定理證明中的重要體現(xiàn).

三、 引導(dǎo)分類討論，提高合理解題的能力

近年來中考命題最后一個壓軸題綜合性較強(qiáng)，尤其第三個問題一般都是開放式的，內(nèi)容涉及二次函數(shù)、解直角三角形、圓、一元二次方程、三角形的相似等重要知識.因此教學(xué)中要讓學(xué)生認(rèn)識到分類的重要意義，讓學(xué)生學(xué)會將一些綜合復(fù)雜的問題進(jìn)行正確的分類，提煉出清晰的解題思路.

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：其一是在代數(shù)式或函數(shù)或方程中，根據(jù)字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內(nèi)解決問題；其二是根據(jù)幾何圖形的點和線出現(xiàn)的不同位置的情況，逐一討論解決問題.

五、分類討論要注意的問題

1.熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對稱性，根據(jù)圖形的特殊性質(zhì)，找準(zhǔn)討論對象，逐一解決.在探討等腰或直角三角形存在時，一定要按照一定的原則，不要遺漏，最后要綜合.

2.討論點的位置，一定要看清點所在的范圍，是在直線上，還是在射線或者線段上.

3.圖形的對應(yīng)關(guān)系多涉及三角形的全等或相似問題，對其中可能出現(xiàn)的有關(guān)角、邊的可能對應(yīng)情況加以分類討論.

4.代數(shù)式變形中如果有絕對值、平方時，里面的數(shù)開出來要注意正負(fù)號的取舍.

5.考查點的取值情況或范圍.這部分多是考查自變量的取值范圍的分類，解題中應(yīng)注意性質(zhì)、定理的使用條件及范圍.

6.函數(shù)題目中如果說函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有交點，那么一定要討論這個交點是和哪一個坐標(biāo)軸的哪一半軸的交點.

7.由動點問題引出的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動方式改變后（比如從一條線段移動到另一條線段），所寫的函數(shù)式應(yīng)該進(jìn)行分段討論.

實踐證明，在現(xiàn)有教材的教學(xué)中著力滲透分類的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生掌握正確分類的思想方法，并結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法，就能啟發(fā)學(xué)生的探究性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

（責(zé)任編輯 金 鈴）