對(duì)曲面上參數(shù)曲線二等分角軌線微分方程的理解

范丹陽(yáng)

摘 要：對(duì)曲面上參數(shù)曲線二等分角軌線微分方程進(jìn)行求解，解釋u-曲線和v-曲線的切向量的表示方法，即以在某點(diǎn)張成二維向量切空間Tps的兩個(gè)切向量和為基底，以在自然基底下的分量（ u， v）為其切向量，并對(duì)參數(shù)曲線的二等分角 1和 2關(guān)系的兩種情況 1= 2和 1+ 2= 進(jìn)行討論，利用曲面的第一基本形式求解，使得曲面上參數(shù)曲線二等分角軌線微分方程更加易于理解，有助于初學(xué)者對(duì)微分幾何課程更好地學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：正則參數(shù)曲面 二等分角軌線 第一基本形式

中圖分類(lèi)號(hào)：O185.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-3973（2013）007-100-02

1 預(yù)備知識(shí)

（1）正則參數(shù)曲面：設(shè)S是E3的一個(gè)子集。如果對(duì)于任意一點(diǎn)p∈S，必存在點(diǎn)p在E3中的一個(gè)鄰域V E3，以及E2中的一個(gè)區(qū)域U，使得在U和V∩S之間能夠建立一一的、雙向都是連續(xù)的對(duì)應(yīng)，并且該對(duì)應(yīng)（u，v）=（x（u，v），y（u，v），z（u，v）），（u，v）∈U，則稱(chēng)S是E3中的一張正則曲面，簡(jiǎn)稱(chēng)為曲面。

（2）切向量：設(shè)有正則參數(shù)曲面s：=（u，v），曲面s在每一點(diǎn)p∈s處的切空間Tps是由切向量（u，v），（u，v）張成的二維向量空間。曲面s在任意一點(diǎn)（u，v）的任意一個(gè)切向量是d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，其中（du，dv）是切向量d（u，v）在自然基底{（u，v），（u，v）}下的分量。

（3）曲面s的第一基本形式：令E（u，v）=（u，v）·（u，v），F(xiàn)（u，v）=（u，v）·（u，v） ，G（u，v）=（u，v）·（u，v） ，稱(chēng)它們?yōu)榍鎠的第一類(lèi)基本量，稱(chēng)I=E（du）2+2Fdudv+G（dv）2為曲面S的第一基本形式。

（4）假設(shè)在點(diǎn)（u，v）有兩個(gè)切向量d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv， （u，v）=（u，v） u+（u，v） v，則有：

或 （1）

（5）u-曲線、v-曲線：在曲面s取定一點(diǎn)p0，=（u0，v0），如果讓參數(shù)u固定，u=u0，而讓參數(shù)v變化，則動(dòng)點(diǎn)描出一條落在曲面s上的曲線（u0，v），稱(chēng)為曲面s上過(guò)點(diǎn)p0的v-曲線。同理，可以定義過(guò)點(diǎn)p0的u-曲線（u，v0）。

2 曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線所滿(mǎn)足的微分方程

設(shè)正則參數(shù)曲面s的參數(shù)方程是=（u，v），它的第一基本形式為：I=E（du）2+2Fdudv+G（dv2），在基底下{（u，v），（u，v）}，u-曲線的方向向量是（1，0），v-曲線的方向向量是（0，1）。

假定參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量是（du，dv），則根據(jù)（1）式，參數(shù)曲線的二等分角軌線與u-曲線的夾角余弦是：

（2）

與-曲線的方向向量的夾角余弦是：

（3）

因此參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量（du，dv）應(yīng)滿(mǎn)足下列方程：

由于EG-F2>0，化簡(jiǎn)之后得到：

綜上所述，曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線微分方程為：

由此解法可以看出其對(duì)u-曲線、v-曲線的方向向量的給出并沒(méi)有給出詳細(xì)的解釋?zhuān)@可能會(huì)給初學(xué)者在求解過(guò)程的理解上造成困擾，而且本解法直接給出參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量（du，dv）應(yīng)滿(mǎn)足方程：

并沒(méi)有對(duì)方程中的符號(hào)給出明確的解釋?zhuān)送?，方程的化?jiǎn)因?yàn)榉?hào)的存在而變得繁瑣，如果化簡(jiǎn)過(guò)程中沒(méi)有注意到符號(hào)的反復(fù)變換就很可能會(huì)使最后化簡(jiǎn)出的方程出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤。所以，對(duì)于曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線微分方程求解的這種解法過(guò)于簡(jiǎn)潔，沒(méi)能起到簡(jiǎn)單易懂的效果。

3 對(duì)曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線微分方程的理解

由部分二可以看出其對(duì)曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線微分方程的求解較為簡(jiǎn)潔，對(duì)于熟悉微分幾何課程的讀者而言能夠較容易地明白其中的解題思路和各種符號(hào)的表述方式以及化簡(jiǎn)方程的過(guò)程，但這對(duì)于微分幾何課程的初學(xué)者可能對(duì)參數(shù)曲面、參數(shù)曲線網(wǎng)和曲面的第一基本量、第一基本形式的理解和運(yùn)用不甚明了。針對(duì)這種情況，以下我們就給出了相對(duì)于部分二中的求解更為詳細(xì)化的求解，即對(duì)每一步驟的解法做了詳細(xì)的說(shuō)明。

設(shè)正則參數(shù)曲面s的參數(shù)方程是=（u，v），在基底{（u，v），（u，v）}下，設(shè)u-曲線為（u，v0），已知曲線（u，v）的切向量是 （u，v）=（u，v） u+（u，v） v，由于u為變量，v=v0等于定值，則 u=1， v=0，其中 u為u對(duì)自身求導(dǎo)， v為v0對(duì)v求導(dǎo)。所以，u-曲線的方向向量為（ u， v）=（1，0）。同理，當(dāng)v為變量，u=u0為定值時(shí)，v-曲線（u0，v）的方向向量為（ u， v）=（0，1）。

假設(shè)參數(shù)曲線的二等分角軌線的方向向量是（du，dv），二等分角軌線與u-曲線的夾角為 1，與v-曲線的夾角為 2，將 u=1， v=0代入（1）式，得到二等分角軌線與u-曲線的夾角余弦為：

，即（2）式。

將， u=0， v=1代入（1）式，則二等分角軌線與v-曲線的夾角余弦可表示為：

，即（3）式。

由于 1與 2分別為參數(shù)曲線與u-曲線、v-曲線的夾角，由于兩條曲線相交會(huì)形成兩個(gè)互補(bǔ)的夾角，所以此處需要同時(shí)考慮到以下兩種情況：

（1）當(dāng) 1= 2時(shí)，即參數(shù)曲面上的二等分角軌線分別與u-曲線和v-曲線的夾角相等時(shí)，我們有cos 1=cos 2，則由（2）和（3）式得：

由于，化簡(jiǎn)之后得到：

將之再化簡(jiǎn)可得：

。

（2）當(dāng) 1+ 2= 時(shí)，即參數(shù)曲面上的二等分角軌線分別與u-曲線和v-曲線的夾角互補(bǔ)時(shí)，我們有cos 1=-cos 2，則由（2）和（3）式可得：

由于，化簡(jiǎn)之后得到：

再化簡(jiǎn)可得

綜上所述，經(jīng)過(guò)對(duì)二等分角軌線所滿(mǎn)足的微分方程為的分析，使得更好被理解。還有很多書(shū)上介紹了這個(gè)方程的一個(gè)直觀的幾何解釋?zhuān)簎-曲線的單位切向量是，而v-曲線的單位切向量是，所以它們的夾角的平分線的方向向量是，即，所以方程du眃v=0成立（這里我們只做說(shuō)明，不詳細(xì)證明了）。

這些都促使我們對(duì)曲面上參數(shù)曲線的二等分角軌線所滿(mǎn)足的方程有了更好的理解，并在理解的基礎(chǔ)上加深對(duì)曲面上u-曲線，v-曲線和第一基本量的應(yīng)用有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。

參考文獻(xiàn)：

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