落球法測定液體的粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)中對無限廣延的分析

陳歡　孫衛(wèi)偉

摘 要：對影響液體粘滯系數(shù)的因素進(jìn)行分析，并針對其中的問題作了一些猜想與探究。在做落球法測液體粘滯系數(shù)實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于小球是在有限的容器內(nèi)沿軸線下落的，它不滿足斯托克斯定律的無限廣延的條件，所以會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響。此外，其它因素對小球的下落速度也會造成一定的影響。

關(guān)鍵詞：落球法 斯托克斯公式 無限廣延 粘滯系數(shù)

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1007-3973（2013）007-184-02

1 對斯托克斯定律的分析

由斯托克斯定律得，當(dāng)光滑的小球在無限廣延的液體中運(yùn)動時(shí)，若液體的粘滯性較大同時(shí)小球的半徑很小，而且在運(yùn)動中不產(chǎn)生旋渦，則小球受到的粘滯阻力f為

式中：d表示小球的直徑，v表示小球的速度，表示液體粘滯系數(shù)（就是液體粘滯性的度量，與溫度有密切的關(guān)系，對液體來說，隨溫度的升高而減少）。

本實(shí)驗(yàn)是用落球法來測量液體的粘滯系數(shù)。小球在液體中沿軸線豎直下落時(shí)會受到三個(gè)力：重力 gV、浮力 0gV、粘滯阻力f。其中，重力的方向豎直向下，粘滯阻力與浮力的方向豎直向上。

小球在運(yùn)動過程中，開始速度很小，所以小球受到的阻力也小，此時(shí)粘滯阻力與浮力之和小于重力，所以小球向下作加速運(yùn)動。但隨著小球速度的增加，小球所受到的粘滯阻力也逐漸增大，于是加速度會逐漸減小，直到加速度減為零。這時(shí)小球就做勻速運(yùn)動。我們將小球做勻速運(yùn)動的速度稱為收尾速度，記為v0 。

于是，結(jié)合（1）式可得液體的粘滯系數(shù)為

式中： 0是液體的密度， 是小球的密度，g是當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?/p>

可見，只要測得v0，即可由（2）式得到液體的粘滯系數(shù)。但是上述推導(dǎo)包括（1）、（2）式都需在特定條件下才能適用，即小球必須要在無限廣延的液體中運(yùn)動，但“無限廣延”在實(shí)驗(yàn)中是無法實(shí)現(xiàn)的。因此，我們主要通過外推法對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析，從而研究“無限廣延”對實(shí)驗(yàn)的影響情況。

2 對無限廣延的分析

一般情況下，當(dāng)小球在容器半徑為R、液體的高度為h的液體內(nèi)下落時(shí)，液體在各方向上都是無限廣闊的這一假設(shè)條件是不能成立的。因此，考慮到容器壁的影響，于是

（3）

式（3）含R和h的因子即反映了這一修正。

于是，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中容器對粘滯系數(shù)也會存在影響。

對此，我們可以對實(shí)驗(yàn)做如下探討：

2.1 橫向“無限廣延”之外推

橫向“無限廣延”之外推法測量蓖麻油的粘滯系數(shù)

方法：取直徑為2cm的剛球和一組直徑不同的管子（各管的直徑用D表示），每個(gè)管子上都分別用a、b兩條刻度線標(biāo)出相等的間距（記為h），注意a刻度線應(yīng)標(biāo)在小球已勻速運(yùn)動之后，然后測量出小球在a、b刻度線之間運(yùn)動所需的時(shí)間。

于是，我們通過大量實(shí)驗(yàn)得出：當(dāng)小球下落高度相同時(shí)，t與1/D成線性關(guān)系。它是一條以為縱坐標(biāo)軸，以1/D為橫坐標(biāo)軸的直線。設(shè)縱截距為t0，即表示當(dāng)1/D=0（D→∞）時(shí)的時(shí)間，于是我們就外推出了小球在橫向“無限廣延”的液體中勻速下落距離h所需的時(shí)間t0。

于是有

從而，可求出液體的粘滯系數(shù)：

若式中各量均采用國際單位，則的單位為帕·秒，記為，。

誤差計(jì)算：

最終測量結(jié)果表示成：

2.2 縱向“無限廣延”之外推

縱向“無限廣延”之外推法測量蓖麻油的粘滯系數(shù)

方法：取直徑為2cm的剛球和一組直徑相同的管子（管子直徑用D表示），每個(gè)管子上都用兩條刻線a、b標(biāo)出一系列不相等的間距（記為h），注意a刻線應(yīng)標(biāo)在小球已勻速運(yùn)動之后，然后分別測量出小球在a、b刻度線之間運(yùn)動所需的時(shí)間。

我們通過大量的實(shí)驗(yàn)得出：當(dāng)管子直徑相同時(shí)，t與1/h成線性關(guān)系。該直線的縱截距t0即表示當(dāng)1/h=0（h→∞）時(shí)的時(shí)間，于是我們外推出了小球在縱向“無限廣延”的液體中勻速下落距離h所需的時(shí)間。

圖2 t0與1/h的關(guān)系

（9）

將（9）式代入（2）式，可得

（10）

（10）式即為當(dāng)液體在橫向和縱向均滿足“無限廣延”條件下測量液體粘滯系數(shù)的計(jì)算公式。

3 其他因素對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的影響

在做落球法測液體粘滯系數(shù)的實(shí)驗(yàn)時(shí)，其他因素也會對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生一定的影響，比如：待測液體產(chǎn)生湍流也會造成一定的測量誤差，外界環(huán)境變化也會對實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生一定影響。所以，我們可以對實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)來減小實(shí)驗(yàn)誤差。

4 結(jié)語

以科學(xué)的態(tài)度對待實(shí)驗(yàn)，以創(chuàng)新的意識探索實(shí)驗(yàn)，才能體驗(yàn)到物理實(shí)驗(yàn)的巨大魅力。

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