如何理解函數(shù)的概念

羅紅梅

摘 要：函數(shù)概念是數(shù)學(xué)中的一個極其重要的基本概念，它貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的核心概念，也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石.然而函數(shù)概念的學(xué)習(xí)又是一大難點，很多學(xué)生都反映函數(shù)的概念十分抽象，很難把握，初學(xué)者很難抓住其內(nèi)涵.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，結(jié)合實際，將函數(shù)概念與實際相結(jié)合，從而使學(xué)生更好地掌握其定義.

關(guān)鍵詞：函數(shù)概念；高中數(shù)學(xué)；集合

在高中教材中，函數(shù)的概念是這樣的：給定非空數(shù)集A，B，如果按照某個對應(yīng)法則f，使得A中任一元素x，都有B中唯一確定的y與之對應(yīng)，那么從集合A到集合B的這個對應(yīng)，叫做從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：x→y=f （x），x∈A.集合A叫做函數(shù)的定義域，所有y組成的集合叫做函數(shù)的值域，記為C.

所以，要把握函數(shù)的概念需要明確兩點：（1）A、B都是非空數(shù)集.（2）集合A中的任何元素（任意性），通過某種對應(yīng)關(guān)系，在B中都要有唯一確定的元素與之對應(yīng)（唯一性）.從函數(shù)的定義可以看出，不能一對多，否則與唯一性相悖，但是可以多對一.下面我將從兩方面來分析如何加深對函數(shù)概念的理解.

一、客人住宿理論

我們可以將函數(shù)的概念與客人住宿問題聯(lián)系起來.將客人用數(shù)字編號并看成集合A中的元素，將房間用數(shù)字編號看成集合B中的元素.首先，每個人都必須要安排一個房間（對應(yīng)于任意性），其次每個人都只能住一個房間（對應(yīng)于唯一性，不能一對多），再次多個人可以住同一個房間（即允許多對一）.所有客人的集合即是定義域，所有住了人的房間的集合即是值域.

下面，我們通過兩道例題來分析一下：

例1.下列集合A到集合B的對應(yīng)f是函數(shù)的是（ ）

A.A={ -1，0，1 }，B={ 0，1 }，f：A中的數(shù)平方

B.A={ 0，1 }，B={ -1，0，1 }，f：A中的數(shù)開方

C.A=Z，B=Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)

D.A=R，B={ 正實數(shù) }，f：A中的數(shù)取絕對值

解析：按照客人住宿理論，選項A，-1，1對應(yīng)于1，0對應(yīng)于0.相當(dāng)于每個客人都安排了房間，且-1，1兩個客人住同一個房間.

選項B，由于1開方后有1和-1與之對應(yīng)，故相當(dāng)于一個人住了兩個房間，一對多，不符合函數(shù)定義.

選項C，由于0在B中沒有元素與之對應(yīng)，即沒有給客人0安排房間.

選項D同C.所以正確的選項是A.

例2.下列表示集合A到集合B的函數(shù)的是（ ）

解析：選項A，客人1一個人住了兩個房間，違背了唯一性.

選項B，每個客人都安排了房間，并且住了同一個房間，屬于多對一的情況，是函數(shù).

選項C，3沒有安排房間，與任意性不符.

選項D，5沒有安排房間，與任意性不符.

二、豎直判斷法

鑒于函數(shù)不能一對多的原則，判斷給定的圖象能不能表示函數(shù)圖象，可以用豎直判斷法.即用任意一條平行于y軸的直線與給定的圖象相交，若存在交點個數(shù)不止一個的情形，則可以斷定該圖像不是函數(shù)圖象.

例3.下列圖象表示y是x的函數(shù)的是（ ）

解析：用豎直判斷法，由于A、B、D平行于y軸的直線與圖象都有兩個或兩個以上交點，很顯然只有C可以表示函數(shù)的圖象.

函數(shù)是數(shù)學(xué)中極其重要的概念，學(xué)好函數(shù)對后續(xù)的學(xué)習(xí)具有舉足輕重的作用，本文列舉的兩種方法是掌握函數(shù)概念的重要方法.客人住宿理論主要針對具體給定的某種對應(yīng)關(guān)系，關(guān)鍵是抓住每個人都要安排房間，且不能住多于一個房間.豎直判斷法主要針對給定圖象，判斷圖象是否為函數(shù)圖象.雖然兩種方法適用對象不同，但是它們都能很直觀地幫助初學(xué)者理解函數(shù)的任意性、唯一性、確定性等性質(zhì)，是值得推廣使用的方法.

（作者單位 中國人民解放軍裝備學(xué)院昌平士官學(xué)校）