解高中數(shù)學填空題的常用方法

葛丹

江蘇高考數(shù)學必做題部分由填空題和解答題兩種題型組成，其中填空必做題14道70分.它具有題小、量大、靈活多樣、結(jié)構(gòu)簡單、知識覆蓋面寬、概念性強、運算量不大、不需要解題過程、能力要求較高等特點，考查的是基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法理解掌握的熟練程度.數(shù)學填空題只要寫出正確結(jié)果，不要求寫出解答過程，給考生提供了自由想象與施展創(chuàng)造才華的廣闊空間.填空題又不像選擇題有備選項，徹底消除了依靠“蒙”的僥幸心理.切實提高“三基”水平，訓練優(yōu)化思維的各種品質(zhì)，掌握一些解填空題的常用方法，是攻克填空題的根本.求解填空題的基本策略是要在“準”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法等.

一、直接法

直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果，這是解填空題的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，熟練應(yīng)用解方程和解不等式的方法，自覺地、有意識地采取靈活、簡潔的解法.

二、特殊化法

在一般情況下成立的結(jié)論，在特殊條件下也必然成立，在此原理的指導下，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當特殊值（或特殊函數(shù)，或特殊角、圖形特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等）進行處理，從而得出探求的結(jié)論，就形成了解填空題的化繁為簡、出奇制勝的特殊化法.

例2（2012年高考浙江卷理科15）在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則AB·AC=.

解析此題最適合的方法是特例法.

假設(shè)△ABC是AB=AC的等腰三角形，

如圖，AM=3，BC=10，AB=AC=34，

cos∠BAC=34+34-1002×34=-817，AB·AC=34·34·（-817）=-16.

三、數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”， “數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學思想方法，當單純依賴“數(shù)”或“形”很難形成思路，或求解十分煩瑣時，就應(yīng)考慮兩者結(jié)合，優(yōu)勢互補，往往會使解題取得突破性進展，獲得“柳暗花明”之效.

例3（2012年高考天津卷理科14）已知函數(shù)y=|x2-1|[]x-1的圖像與函數(shù)y=kx-2的圖像恰有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是.

四、等價轉(zhuǎn)化法

通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.有一類“恒成立”問題，若按照常規(guī)思路，往往需要煩瑣的討論，若把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域或最值的問題，則問題常常就迎刃而解了.這種問題的求解方法就是等價轉(zhuǎn)化法.

例4（2012年高考江蘇卷12）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+15=0，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心， 1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是.

解析根據(jù)題意，將x2+y2-8x+15=0化成標準形式為（x-4）2+y2=1，得到該圓的圓心為M（4，0），半徑為1，若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需要圓心M（4，0）到直線y=kx-2的距離d≤1+1即可，所以有d=|4k-2|k2+1≤2，化簡得k（3k-4）≤0，解得0≤k≤43，所以k的最大值是43.