如何鋪設(shè)情境實現(xiàn)對數(shù)學(xué)歸納法的高效教學(xué)

時華

【摘要】文章對數(shù)學(xué)歸納法一課怎樣創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行分析、舉例、說明，層層遞進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生在情境中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題，在情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上通過聯(lián)想與識別達(dá)到教學(xué)效果.

【關(guān)鍵詞】歸納法；數(shù)學(xué)歸納法；情境

數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，也是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法.這一課的難點是正確理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，認(rèn)識到從“無限”到“有限”，從“量變”到“質(zhì)變” 的過程.因此在新課的處理上教師可以巧設(shè)一些情境，有助于學(xué)生更好地理解和掌握并且實現(xiàn)難點的突破.下面筆者將創(chuàng)設(shè)的情境一一舉例說明.

一、創(chuàng)設(shè)故事情境，引入財主兒子學(xué)寫字的故事

從前有個財主，想叫兒子識字，請來一位教書先生.先生把著學(xué)生的筆桿兒，寫一橫，告訴是個“一”字；寫兩橫，告訴是個“二”字；寫三橫，學(xué)生歸納出是個“三”字.學(xué)到這里，兒子認(rèn)為“萬”這個字好麻煩要寫一萬橫.類似的情境還有很多，例如：

（1）腦筋急轉(zhuǎn)彎：小明的爸爸有三個孩子，老大叫大毛，老二叫二毛，請問：老三叫什么呢？

（2）諺語：天下烏鴉一般黑.

其實，數(shù)學(xué)中有許多像這樣通過觀察、歸納、猜想得出的結(jié)論，然后可將情境導(dǎo)入數(shù)學(xué)，提出問題.

二、創(chuàng)設(shè)回想情境，回想等差數(shù)列通項公式的歸納猜想過程

請大家回想，“以前有像財主兒子那樣通過歸納猜想獲得過某些數(shù)學(xué)結(jié)論嗎？請舉例.”學(xué)生舉例：

故事導(dǎo)入后，再由生活聯(lián)系數(shù)學(xué)，達(dá)到了溫故知新的目的，也可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而對本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生強烈的求知欲.

三、創(chuàng)設(shè)生活情境，引入“買票難”這一社會熱點問題

春運期間，買票難也一直都是一個熱點問題，排了很長的隊伍卻不知道自己能不能買到票.一次，小華跑到前面問了問售票員：“我能買到去哈爾濱的票嗎？”售票員回答說：“票是充足的，已有人買到票.”然后她還說了一句話，小華立即高興地去排隊了，請問：售票員回答時又說了一句什么話呢？

告訴學(xué)生，售票員說：“如果前一個人能買到票，那么緊跟其后的一個人一定能買到票.”這個實例的選取可以引導(dǎo)學(xué)生將所有排隊的人能買到票的條件歸納總結(jié)如下：（1）第一個人能買到票；（2）售票員作出的“只要前面某人買到，緊跟其后的一個人就一定能買到”的承諾能兌現(xiàn).并且引入這樣的社會熱點問題，易激活學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點，同時有助于學(xué)生“由表及里”逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

四、創(chuàng)設(shè)游戲情境，引入多米諾骨牌游戲

多媒體展示游戲過程并且提出這樣的問題：假如骨牌有無限多塊，這個演示我們永遠(yuǎn)不可能看完，但你能據(jù)此確定骨牌一塊接一塊全部都倒下嗎？

通過前兩個（財主兒子學(xué)寫字和買車票）實例引導(dǎo)學(xué)生由歸納法到數(shù)學(xué)歸納法步驟的歸納，隨后多米諾骨牌游戲的動態(tài)演示，利用了學(xué)生的生活經(jīng)驗，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”生長新知，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.并且讓學(xué)生在形象生動的畫面中認(rèn)識從“有限”到“無限”的遞推過程，為教學(xué)難點突破提供直觀形象的解釋.從觸及到感悟再到運用遞推思想，學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)和步驟的認(rèn)識層層遞進(jìn).

此處的情境也可以選?。阂宰R數(shù)為例，小孩子識數(shù)，先學(xué)會一個，兩個，三個……這個時候，能夠數(shù)到十了；又過些時候，會數(shù)到二十，三十……一百了.后來到某個時候，他領(lǐng)悟了“我什么數(shù)都會數(shù)了”.這一飛躍，竟從有限躍到了無窮.怎么會的呢？解釋以上飛躍現(xiàn)象的原理，也正是數(shù)學(xué)歸納法.（1） 他知道從頭數(shù)；（2） 他知道一個一個按照次序數(shù)，而且不愁數(shù)了一個以后，下一個不會數(shù).于是，他就會數(shù)任何數(shù)了.情境創(chuàng)設(shè)后學(xué)生很容易能用類比的思想，類比到自然數(shù)n有關(guān)的命題.也就是：有一個與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題， 能夠證明當(dāng)n=n0時命題正確，如果我們能夠證明在n=k（k∈N，且k≥n0）時命題成立，當(dāng)n=k+1時命題也成立，那么這一個命題就對從n0開始的所有的自然數(shù)n全部成立.

至此，大部分學(xué)生已能歸納概括數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，理解其實質(zhì).但仍有小部分學(xué)生對此理解模糊，表現(xiàn)在：（1）把重點放在第二步（歸納遞推）上，而對第一步（歸納奠基）感到可有可無.（2）為什么可以先歸納假設(shè)呢？怎么可以作為條件來使用呢？怎樣實現(xiàn)遞推？此時可舉出具體反面事例說明.

五、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境

（1）奇數(shù)是2的倍數(shù).如果學(xué)生沒有第一步歸納遞推，直接假設(shè)“如果奇數(shù)k是2的倍數(shù)”卻能夠推出“那么下一個奇數(shù)k+2也是2的倍數(shù)”，很顯然這是個錯誤的結(jié)論.

（2）n2+n+11是質(zhì)數(shù).這個命題對于n=1，2，3，4，5，6，7，8，9都成立，但是對于n=10卻不成立，因為121是一個合數(shù).所以第二步歸納假設(shè)要用到，要形成遞推關(guān)系.

數(shù)學(xué)歸納法一課通過不斷地創(chuàng)設(shè)情境，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從“有限”認(rèn)識到“無限”，從“具體”認(rèn)識到“抽象”的數(shù)學(xué)思維策略，充分理解其原理和實質(zhì).在某種意義上說，一個理想情境的創(chuàng)始能使課堂教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華羅庚.數(shù)學(xué)歸納法[M].北京：科學(xué)出版社，2002.

[2]洪波. 怎樣應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法[M].上海：上海教育出版社，1979.