函數(shù)的圖象

唐剛

對(duì)于函數(shù)的圖象，高考試題的考查形式主要有兩種：一是考查函數(shù)圖象的辨識(shí)；其次是考查函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用，這種應(yīng)用主要體現(xiàn)在方程、不等式等與函數(shù)圖象的綜合問題上. 我們要有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，隨時(shí)準(zhǔn)備用圖象幫助我們分析、簡(jiǎn)化問題.

重點(diǎn)：掌握基本初等函數(shù)的圖象的畫法；掌握函數(shù)圖象的平移、伸縮、對(duì)稱、翻折變換規(guī)則；會(huì)利用函數(shù)圖象進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程或不等式中的問題；能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，利用圖象輔助分析、解決問題.

難點(diǎn)：用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想分析、解決問題. 觀察分析、推理論證能力的培養(yǎng).

在利用平移、對(duì)稱、翻折等變換作函數(shù)的圖象時(shí)，要特別注意漸近線、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、關(guān)鍵點(diǎn)的變換，以幫助我們獲得變換后的函數(shù)的性質(zhì).

3. 函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的四則運(yùn)算

（1）奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).

（2）兩個(gè)增函數(shù)的和還是增函數(shù)；兩個(gè)減函數(shù)的和還是減函數(shù).

4. 函數(shù)圖象的識(shí)別

在函數(shù)圖象的辨識(shí)問題中，一般是從該函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、極值等）、正負(fù)、特殊值三個(gè)方面進(jìn)行分析，排除錯(cuò)誤選項(xiàng). 對(duì)于自變量趨近于無窮大或無定義的點(diǎn)時(shí)，還需要注意極限思想的應(yīng)用. 如果遇到兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的情況時(shí)，首先要找到這兩個(gè)函數(shù)之間的聯(lián)系，然后假定其中一個(gè)圖象正確去判斷另一個(gè)是否與之矛盾.

思索 觀察即知y=f（x）的圖象比較好畫，所以不等式f（x）≥ax可轉(zhuǎn)化為y=f（x）的圖象不在y=ax的下方，可以考慮利用圖象解決.

破解 法1：利用函數(shù)圖象的平移、翻折變換，可快速作出y=f（x）的草圖如下：

思索 因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，所以f ′（x）=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2. 于是由3（f（x））2+2af（x）+b=0可得f（x）=x1或f（x）=x2.？搖又因?yàn)槿魏瘮?shù)f（x）滿足f（x1）=x1，所以可以考慮作出f（x）的草圖并觀察其與直線y=x1和y=x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得出方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù).

破解 由前面的分析已經(jīng)得知，原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x1和y=x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題. 注意到f（x）在極值點(diǎn)x1處滿足f（x1）=x1，故可作出f（x）的草圖如下：

當(dāng)x1

易知f（x）為增函數(shù)，所以對(duì)其定義域內(nèi)任意的x1，x2都有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））≥0.

注意到A（f（b），b），B（b， f（b））在f（x）上，所以（f（b）-b）·（b-f（b））= -（f（b）-b）2≥0.

即f（b）=b. 從而問題轉(zhuǎn)化為存在b∈[0，1]，使得f（b）=b成立. 即存在b∈[0，1]，使得a=eb-b2+b.

令F（b）=eb-b2+b，二次求導(dǎo)后可得F（b）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以1≤F（b）≤e. 故1≤a≤e，選A.

點(diǎn)評(píng) 本題中函數(shù)圖象的應(yīng)用不再是那么直接，而只是幫助我們分析問題，將原本不知道該怎么使用的條件轉(zhuǎn)化為能用常規(guī)方法處理的數(shù)學(xué)等式或不等式，顯然這是問題得以解決的最重要的一步，值得我們好好體會(huì).